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考点36 直线、平面垂直的判定及其性质

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考点 36 直线、平面垂直的判定及其性质
一、选择题 1.(2012·浙江高考文科·T5)设 l 是直线, ? ,β 是两个不同的平面( A.若 l ∥ ? , l ∥β ,则 ? ∥β C.若 ? ⊥β , l ⊥ ? ,则 l ⊥β B.若 l ∥ ? , l ⊥β ,则 ? ⊥β D.若 ? ⊥β , l ∥ ? ,则 l ⊥β )

【解题指南】可由线面平行与线面垂直的判定与性质进行判断. 【解析】选 B. 若 l ∥ ? , l ∥β ,则 ? 、β 可能相交;若 l ∥ ? ,则平面 ? 内必存 在一直线 m 与 l 平行,又 l ⊥β ,则 m ⊥β ,又 m ? ? ,故 ? ⊥β .故 B 对.若 ? ⊥ β , l ⊥ ? ,则 l ∥β 或 l ? β ,故 C 错;若 ? ⊥β , l ∥ ? , 则 l 与β 关系不确定, 故 D 错. 二、填空题 2.(2012·辽宁高考理科·T16)已知正三棱锥 P ? ABC,点 P,A,B,C 都在半 径为 3 的球面上,若 PA,PB,PC 两两相互垂直,则球心到截面 ABC 的距离为 ________. 【解题指南】利用条件,建立关于正三棱锥底面正三角形边长 a 的方程,求 a , 然后求三棱锥的高 h,则 R 减去 h 即为所求. 【解析】 由于 PA,PB,PC 两两垂直, 则点 P 在底面 ABC 上的射影就是正三角形 ABC 的中心 M,设正三角形 ABC
tP A M ? 棱锥的高 h, 在R
3 2 AM ? a a 3 a 的边长为 ,则三棱锥的侧棱长为 2 , ,三 PA2 ? PM 2 ? AM 2 ? ( 2 2 3 2 6 a) ? h2 ? ( a) ? h ? a 2 3 6

中, 由勾股定理得

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再设球心为 O,则 OM ? 底面ABC ,且 OM ? 3 ? h 在 Rt?OAM 中,由勾股定理得 又
h? 6 a 6 ,则解得 a ? 2 2 , 3?h ? 3? 6 6 3 a? 3? ?2 2 ? 6 6 3

OA2 ? OM 2 ? AM 2 ? ( 3) 2 ? ( 3 ? h) 2 ? (

3 2 a) 3

故球心到截面 ABC 的距离为 【答案】
3 3

.

三、解答题 3.(2012·湖北高考文科·T19) 某个实心零部件的形状是如图所示的几何体,其下部是底面均是正方形,侧面 是全等的等腰梯形的四棱台 A1B1C1D1-ABCD, 上部是一个底面与四棱台的上底面重 合,侧面是全等的矩形的四棱柱 ABCD-A2B2C2D2. (1) 证明:直线 B1D1⊥平面 ACC2A2; (2) 现需要对该零部件表面进行防腐处理, 已知 AB=10, A1B1=20, AA2=30, AA1=13 (单位:厘米) ,每平方厘米的加工处理费为 0.20 元,需加工处理费多少 元?

【解题指南】本题主要考查空间中的垂直关系的证明和表面积公式,解答本题的 关键是利用空间几何体的特征,结合空间想象能力,利用线线垂直达到线面垂
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直,再结合题意求出表面积得结果. 【解析】? 四棱柱 ABCD-A2B2C2D2 侧面是全等的矩形,
? AA2 ? AB, AA2 ? AD.又 AB ? AD=A. ? AA2 ? 平面 ABCD.

连接 BD, ? BD ? 平面 ABCD, ? AA2 ? BD. 根据棱台的定义知 ,BD 与 B1D1 共面 . 又已知平面 ABCD// 平面 A1B1C1D1, 且平面 ABCD ? 平面 BB1D1D=BD, 平面 BB1D1D ? 平面 A1B1C1D1= B1D1. 所以 BD// B1D1,于是由 AA2 ? BD, AC ? BD, BD// B1D1,可得 AA2 ? B1D1, AC ? B1D1. 又 AA2 ? AC=A,所以直线 B1D1⊥平面 ACC2A2; (2)由于四棱柱 ABCD-A2B2C2D2 底面是正方形,侧面是全等的矩形.所以 S1= S四棱柱ABCD?A B C D 上底面 ? S四棱柱ABCD?A B C D 的侧面 =(A2B2)2+4AB ? AA2=102+4 ?10 ? 30 ?
2 2 2 2 2 2 2 2

1 300(cm2). 又四棱台 A1B1C1D1-ABCD 上、下底面均是正方形,侧面是全等的等腰梯形,所以 S2= S四棱台A B C D ?ABCD的下底面 ? S四棱台A B C D ?ABCD的侧面 =(A1B1)2+4(AB+ A1B1)h÷2=202+2(10+20)
1 1 1 1 1 1 1 1

1 2 132 ? [ (20 ? 10)]2 ? 1 120(cm ). 2

所以 S= S1+ S2=2 420(cm2). 故需加工处理费 2 420×0.2=484(元). 4.(2012·陕西高考理科·T18) (Ⅰ)如图,证明命题“ a 是平面 ? 内的一条直线, b 是 ? 外的一条直线( b 不垂 直于 ? ) , c 是直线 b 在 ? 上的投影,若 a ? b ,则 a ? c ”为真. (Ⅱ)写出上述命题的逆命题,并判断其真假(不需要证明)

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【解析】 (Ⅰ) (证法一) 如图, 过直线 b 上任一点作平面π 的垂线 n, 设直线 a, b, c, n 的方向向量分别是 a, b, c, n ,则 b, c, n 共面,
? ? ? ? ? ? ?

根据平面向量基本定理, 存在实数 ? , ? 使得 c ? ?b ? ? n ,则 a ? c ? a ? (?b ? ? n) ? ? (a ? b) ? ? (a ? n) , 因为 a ? b ,所以 a ? b ? 0 ,又因为 a 辬? 故 a ? c ? 0 ,从而 a ? c ,即 a ? c . (证法二)如图,记 c ? b ? A ,P 为直线 b 上异于点 A 的任意一点,过 P 作 PO⊥π , 垂足为 O ,则 O ?c .
? ? ? ?
? ?
n

?

?

?

? ?

?

?

?

? ?

? ?

?? , n ? ? ,所以 n a? n?0,

? ?? ?

n ∵PO⊥π , a 辬? ,∴直线 PO⊥ a ,

又 a ? b , b ? 平面 PAO, PO ? b ? P , ∴ a ⊥平面 PAO,又 c 躠 平面 PAO,∴ a ? c . (Ⅱ)逆命题为: a 是平面π 内的一条直线,b 是π 外的一条直线(b 不垂直于 π) ,c 是直线 b 在π 上的投影,若 a ? c ,则 a ? b . 逆命题为真命题. 5.(2012·浙江高考文科·T20)如图,在侧棱垂直底面的四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AD∥BC,AD⊥AB,AB= 2 .AD=2,BC=4,AA1=2,E 是 DD1 的中点,F 是平面 B1C1E 与直线 AA1 的交点.
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1 EF∥A1D1; (1)证明:○ 2 BA1⊥平面 B1C1EF; ○

(2)求 BC1 与平面 B1C1EF 所成的角的正弦值. 【解题指南】考查线面间的位置关系,同时要注意棱柱性质的运用.
1 由 AD∥BC, BC ∥ B C 可得 AD∥ B C , 【解析】 (1)○ 1 1 1 1

又 B1C1 ? 平面AA1D1D ,AD ? 平面AA1D1D 所以 B1C1 ∥ 平面AA1D1D 又平面 B1C1E ? 平面AA1D1D = EF , 所以 B1C1 ∥ EF ,又 A1D1∥ B1C1 ,所以 EF∥A1D1
2 在 Rt?FA B 和 Rt?A B B 中 ○ 1 1 1 1

FA1 A1B1 1 ? ? A1B1 BB1 2

所以 Rt?FA1B1 ? Rt?A1B1B , ∴ ?A1FB1 ? ?BA1B1 ∵ ?A1FB1 ? ?A1B1F ? 90? ∴ ?BA1B1 ??A1B1F ? 90? ∴ BA1 ? B1F 由 AD⊥AB 可得 B1C1 ? A1B1 ,又 B1C1 ? BB1 ∴ B1C1 ? 面A1B1BA, 又 BA1 ? 面A1B1BA ,可得 BA1 ? B1C1 ,又 BA1 ? B1F ,且 B1F ? B1C1 ? B1 ∴BA1⊥平面 B1C1EF. (2) 设 A1B ? B1F =O ,连结 C1O.由(1)可知 BC1 与平面 B1C1EF 所成的角为 ?BC1O
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在 Rt?A1B1B 中, BB12 ? BO ? BA1 ,即 22 =BO ? 6 解得 BO =
4 BO 30 ∴ sin ?BC1O ? ? 6 ? BC1 2 5 15

4 6

∴BC1 与平面 B1C1EF 所成的角的正弦值为

30 . 15

6.(2012·北京高考文科·T16)如图 1,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,D,E 分 别为 AC,AB 的中点,点 F 为线段 CD 上的一点,将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的 位置,使 A1F⊥CD,如图 2.
A

A1 D F C B C E D F 图2 E B

图1

(1) 求证:DE∥平面 A1CB; (2) 求证:A1F⊥BE; (3) 线段 A1B 上是否存在点 Q,使 A1C⊥平面 DEQ?说明理由. 【解题指南】折叠问题要注意在折叠过程中,哪些量变化了,哪些量没有变化. 第(1)问证明线面平行,可以证明 DE//BC;第(2)问证明线线垂直转化为证 明线面垂直即证明 A1F⊥平面 BCDE;第(3)问取 A1B 中点 Q,再证明 A1C⊥平面 DEQ. 【解析】 (1)? D, E 分别是 AC,AB 的中点,? DE / / BC , 又 ∴DE//平面 A1BC.

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1 中点 P,连结 DP,PQ,QE.则 PQ//BC,? PQ / / DE . (3)取 A1B 中点 Q, AC

由(2)知 又∵PQ⊥A1C.∵A1D=DC ∴△A1DC 是等腰三角形.

? DE ? AC 1 .

又∵点 P 为 A1C 的中点,∴A1C⊥PD. 即 A1C⊥平面 DEQ. 7.(2012·江苏高考·T16)如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, A1B1 ? A1C1 , D ,E
F 为 B1C1 的中点. CC1 上的点(点 D 不同于点 C) 分别是棱 BC , ,且 AD ? DE ,
A1 B1 F C1 E

A B D

C

求证: (1)平面 ADE ? 平面 BCC1 B1 ; (2)直线 A1F // 平面 ADE. 【解题指南】 (1)关键在平面 ADE 与平面 BCC1 B1 中的一个平面上找一条直线与另 一个平面垂直.
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(2)关键在平面 ADE 内找一条直线与直线 A1 F 平行.
CC1 上的点(点 D 不同于点 C) 【解析】 (1) D ,E 分别是棱 BC , ,且 AD ? DE ,

又因三棱柱 ABC ? A1B1C1 为直三棱柱,所以有 BB1 ? 平面 ADC ,即有 AD ? BB1 又在平面 BCC1B1 内 BB1 与 DE 必相交, 所以 AD ? 平面 BCC1B1 又 AD ? 平面 ADE 所以平面 ADE ? 平面 BCC1 B1 . (2)在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, A1B1 ? A1C1 ,所以有 AB ? AC 又由(1)知 AD ? 平面 BCC1B1 所以 AD ? BC 所以 D 为边 BC 上的中点, 连接 DF 得 AA1FD 为平行四边形,故 A1F / / AD 又 AD ? 平面 ADE ,A1F ? 平面 ADE, 所以直线 A1F // 平面 ADE. 8.(2012·福建高考文科·T19) 如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=AD=1,AA1=2,M 为棱 DD1 上的一点.

(Ⅰ)求三棱锥 A-MCC1 的体积; (Ⅱ)当 A1M+MC 取得最小值时,求证:B1M⊥平面 MAC.
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【解析】 (Ⅰ)连接 AM , AC, AC1, C1M , CM 由长方体 ABCD ? A1B1C1D1 知, AD ? 平面 CDD1C1 , ∴点 A 到平面 CDD1C1 的距离等于 AD ? 1 , 又
S ?MCC1 ? 1 1 CC1 ? CD ? ? 2 ? 1 ? 1 2 2 ,

(Ⅱ)将侧面 CDD1C1 绕 DD1 逆时针转 90 展开,与侧面 ADD1 A1 共面,
?

当 A1 , M , C 共线时, A1M ? MC 取得最小值. 由 AD ? CD ? 1 , AA1 ? 2 得 M 为 DD1 中点, 连接 B1M,在 ?C1MC 中, MC1 ? 2 , MC ? 2 , CC1 ? 2 , ∴CC12=MC12+MC2,得∠CMC1=90°,即 CM⊥MC1. 又由长方体 ABCD ? A1B1C1D1 知, B1C1 ? 平面 CDD1C1 , ∴ B1C1 ? CM , 又 B1C1 ? C1M ? C1 ,∴ CM ? 平面 B1C1M ,得 CM ? B1M ; 同理可证, B1M ? AM , 又 AM ? MC ? M ;∴ B1M ? 平面 MAC . 9.(2012·广东高考文科·T18) 如图所示,在四棱锥 P ? ABCD 中, AB ? 平面PAD , AB / /CD , PD ? AD , E 是 PB 的中 点, F 是 CD 上的点,且
DF ? 1 AB 2 , PH 为 ?PAD 中 AD 边上的高.

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(1)证明: PH ? 平面ABCD ; (2)若 PH ? 1,AD ? 2,FC ? 1, 求三棱锥 E ? BCF 的体积; (3)证明: EF ? 平面PAB . 【解题指南】 (1)证明线面垂直利用判定定理需证线线垂直,本题易证:
AB ? PH , PH ? AD .(2)由 E 是 PB 的中点知,V
三棱锥 E-BCF

= V 三棱锥 P-BCF,由(1)知,PH

1 2

为三棱锥 P-BCF 的高,V 三棱锥 P-BCF 可求.(3)解决本题的第一个难点是证 AB ? EF , 通过取 AB 的中点 M,证 AB ? 平面EFM 即可.第二个难点是证 EF ? PB ,需证
PF ? BF ,进一步需证: Rt ?FMB ? Rt ?PDF 即可.

【解析】(1)? AB ? 平面PAD,PH ? 平面PAD ,
? AB ? PH

,又? PH ? AD 且 AD ? AB ? A

? PH ? 平面ABCD .

1 1 1 1 2 V三棱锥E ? BCF ? V三棱锥P? BCF ? ? ? ?1? 2 ?1 ? 2 2 3 2 12 . (2)

(3)连接 PF, HF, 取 AB 的中点 M, 连接 FM, EM, 因为 E 为 PB 的中点, 所以 EM//PA, 四边形 DFMA 为平行四边形,所以 FM//AD,又因为 AB ? 平面PAD ,所以
AB ? AD, AB ? PA,

所以 AB ? FM , AB ? EM , 且EM ? FM ? M ,所以 AB ? 平面EFM , 所以 AB ? EF .
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又因为 CD // AB ,所以 CD ? 平面PAD, CD ? PD ,所以 Rt ?FMB ? Rt ?PDF , 所以 PF ? BF ,又因为 E 为 PB 的中点,所以 EF ? PB, 又 PB ? AB ? B , 所以 EF ? 平面PAB . 10.(2012·山东高考文科·T19)如图,几何体 E ? ABCD 是四棱锥,△ ABD 为正 三角形, CB ? CD, EC ? BD .

(Ⅰ)求证: BE ? DE ; (Ⅱ)若∠ BCD ? 120? ,M 为线段 AE 的中点, 求证: DM ∥平面 BEC . 【解题指南】 (1)先取 BD 中点 O,连接 OC,OE;证明 OE 是 BD 的垂直平分线即 可.(2)本题考查线面的平行关系,可取 AB 中点 N,连接 平面 MND∥平面 BEC 来证. 【解析】 (I)设 BD 中点为 O, 连接 OC, OE, 则由 BC ? CD 知,
CO ? BD ,

利用

又已知 CE ? BD ,CO∩CE=C,所以 BD ? 平面 OCE. 所以 BD ? OE ,即 OE 是 BD 的垂直平分线, 所以 BE ? DE . (II)取 AB 中点 N,连接 ∵M 是 AE 的中点,∴ MN ∥ BE , ∵△ ABD 是等边三角形,∴ DN ? AB .
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由∠BCD=120°知,∠CBD=30°,所以∠ABC=60°+30°=90°,即 BC ? AB , 所以 ND∥BC,又∵MN∩DN=N,BE∩BC=B, 所以平面 MND∥平面 BEC,故 DM∥平面 BEC. 11.(2012·安徽高考理科·T18)
BC ? 2, BB1 ? 4 ,AB ? AC ? 2 , 1 1C 如图 1 所示, 平面图形 ABB1 AC 其中 BB1C1C 是矩形,

A1B1 ? AC 1C1 折叠, 1 1 ? 5 .现将该平面图形分别沿 BC 和 B 使 ?ABC 与 ?A1B1C1 所在平面

都与平面 BB1C1C 垂直,再分别连接 A1A,A1B,A1C,得到如图 2 所示的空间图形,对 此空间图形解答下列问题.

(Ⅰ)证明: AA1 ? BC ;

(Ⅱ)求 AA1 的长;

(Ⅲ)求二面角 A ? BC ? A1 的余弦值.
1 , AO 1 1 【解析】 (I)取 BC, B1C1 的中点为点 O, O1 ,连接 AO, OO1, AO

则 AB ? AC ? AO ? BC ,面 ABC ? 面 BB1C1C ? AO ? 面 BB1C1C
1 1 ? A, O, A 1, O1 共面 同理: A1O1 ? 面 BB1C1C 得: AO / / AO

又 OO1 ? BC, OO1 ? AO ? O ? BC ? 面
1 D ? OA 1 1 到 D ,使 O (Ⅱ)延长 AO

得: O1D/ /OA ? AD/ /OO1

OO1 ? BC ,面 A1 B1C1 ? 面 BB1C1C ? OO1 ? 面 A1 B1C1 ? AD ? 面 A1 B1C1 ,在

Rt△AA1D 中,

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? BC ? ?AOA1 是二面角 A ? BC ? A1 的平面角 1 (Ⅲ) AO ? BC, AO

在 Rt ?OO1 A1 中,

A 1 O ? OO12 ? A1O12 ? 42 ? 22 ? 2 5

2 AO2 ? AO ? AA12 5 1 cos ?AOA1 ? ?? 2 AO ? AO 5 1 在 Rt?OAA1 中,

5 ? A ? BC ? A 1 的余弦值为 5 . 得:二面角

12.(2012·安徽高考文科·T19) 如图,在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,底面 A1B1C1D1 是正方形, O 是 BD 的中点,
E 是棱 AA 1 上任意一点.

(Ⅰ)证明: BD ? EC1 ; (Ⅱ)如果 AB =2, AE = 2 , OE ? EC1 ,,求 AA1 的长.
1 1得 【解题指南】 (1)通过线面垂直证明线线垂直; (2) OE ? EC1 ? ?OAE ? ?EAC

到对应的线段成比例,进而求得 AA1 的长. 【解析】 (I)连接 AC , AE / /CC1 ? E, A, C, C1 共面 长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,底面 A1B1C1D1 是正方形
AC ? BD, EA ? BD, AC ? EA ? A ? BD ? 面 EACC1 ? BD ? EC1 .
1 1 (Ⅱ)连接 A1C1,在矩形 ACC1 A1 中, OE ? EC1 ? ?OAE ? ?EAC

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得:

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