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1.2.1任意角的三角函数第一课时(教案)


必修 4 第一章 三角函数

课 题:1.2.1 任意角的三角函数(一) 教学目标: (1)借助单位圆理解任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括从任意角三角函数的定 义认识其定义域和函数值在各象限的符号) ; (2)理解任意角的三角函数不同的定义方法; (3)树立映射观点,正确理解三角函数是以实数为自变量的函数. (4)通过用单位圆上的点的坐标定义三角函数的过程体现化归思想,用一般的函数概 念指导三角函数研究的思想. 教学重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义 教学难点:用单位圆上点的坐标刻画三角函数;三角函数中的对应关系. 教学设想: 一、创设情境 1、提问:锐角 ? 的正弦、余弦、正切怎样表示? 4 在直角坐标系中如何表示锐角? 5.引入:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数。你能用直角坐标 系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗? 如图,设锐角 ? 的顶点与原点 O 重合,始边与 x 轴的正半轴重合,那么它的终边在第一 象限.在 ? 的终边上任取一点 P(a, b) ,它与原点的距离 r ?

a 2 ? b 2 ? 0 .过 P 作 x 轴的垂

线,垂足为 M ,则线段 OM 的长度为 a ,线段 MP 的长度为 b .则

sin ? ?

6、思考:对于确定的角 ? ,这三个比值是否会随点 P 在 ? 的终边上的位置的改变而改 变呢? (结合相似三角形知识,说明三个值与终边上点的位置无关) 7.锐角三角函数 显然,我们可以将点取在使线段 OP 的长 r ? 1 的特殊位置上,这样就可以得到用直角 坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数:

MP b OM a ? ; cos ? ? ? ; OP r OP r MP b tan ? ? ? . OM a

sin ? ?

8、思考:上述锐角 ? 的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概念推广 以后, 我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改, 以利推广到任意角呢?本节课就研 究这个问题――任意角的三角函数. 二、探究新知 1.探究:结合上述锐角 ? 的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值 呢? 显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为 1,然后就可以类似 锐角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义:在直角坐标系中,我们称 以原点 O 为圆心,以单位长度为半径的圆. 2.思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义? y 如图,设 ? 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 a角的终 P( x, y) ,那么: 边 P T (1) y 叫做 ? 的正弦,记做 sin ? ,即 sin ? ? y ; (2) x 叫做 ? 的余弦,记做 cos ? ,即 cos? ? x ; (3)

MP ?b; OP

cos ? ?

OM ?a; OP

tan ? ?

MP b ? . OM a

y y 叫做 ? 的正切,记做 tan ? ,即 tan ? ? ( x ? 0) . x x

O

M A

x

将它们统称为三角函数
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必修 4 第一章 三角函数

思 考: 1、三角函数是不是函数? 2.如果是,那么函数有三要素,分别是什么?三角函数是以什么为自变量,以什么为函 数值的函数? 3.它们的定义域分别是什么? 答:既然角确定,就必然有唯一终边,终边就必然与单位圆有唯一交点 P( x, y) ,从而 就必然能够最终算出唯一三角函数值.所以是函数 三角函数是以角的弧度数为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函 数, 又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系, 故三角函数也可以看成实数为自 变量的函数. 使比值有意义的角的集合即为三角函数的定义域. 三角函数 定义域 ? ? ? ? ? ?

实例剖析

5? 的正弦、余弦和正切值. 3 例 2.已知角 ? 的终边过点 P (?3, ?4) ,求角 ? 的正弦、余弦和正切值. 0
例 1.求 教材给出这两个例题, 主要是帮助理解任意角的三角函数定义.我也可以尝试其他方法: 如例 2:设 x ? ?3, y ? ?4, 则 r ? 于是 sin ? ? 例2 切值 . 解:由已知可得 OP0 ?

(?3) 2 ? (?4) 2 ? 5 .

y 4 x 3 y 4 ? ? , cos ? ? ? ? , tan ? ? ? r 5 r 5 x 3
的终边经过点 ,求角 的正弦、余弦和正

已知角

(?3) 2 ? (?4) 2 ? 5 设角 ? 的终边与单位圆交于点 P( x, y ) 分别过点 P P0 、 作 x 轴的垂线 MP , M 0 P0

M 0 P0 ?, 4 OM 0 ? 3

OM ? ? x MP ? ? y

?OMP ∽ ?OM 0 P0
于是

sin ? ? y ?

M P y ? | MP | 4 ? ?? 0 0 ?? ; 1 OP OP0 5 OM 0 x ? OM 3 cos? ? x ? ? ?? ?? ; 1 OP OP0 5

tan? ?

y sin ? 4 ? ? x cos? 3
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必修 4 第一章 三角函数

定义推广: 设角 ? 是一个任意角, P( x, y ) 是终边上的任意一点, 点 P 与原点的距离 r ?

x2 ? y2 ? 0

巩固练习 P15 第 1,2 题 三、学习小结 本章的三角函数定义与初中时的定义有何异同?你能用定义准备求出任意角的三角函数 值吗?

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