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满洲里市三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

满洲里市三中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1. 设 D、E、F 分别是△ ABC 的三边 BC、CA、AB 上的点,且 =2 , =2 , =2 ,则

与( )

A.互相垂直

B.同向平行

C.反向平行

D.既不平行也不垂直

2. 下列函数中,既是奇函数又是减函数的为( )

A.y=x+1 B.y=﹣x2 C. D.y=﹣x|x|

3. 如图是某几何体的三视图,正视图是等腰梯形,俯视图中的曲线是两个同心的半圆组成的半圆环,侧视图 是直角梯形.则该几何体表面积等于( )

A.12+

B.12+23π C.12+24π D.12+ π

4. 下列函数中哪个与函数 y=x 相等( )

A.y=( )2

B.y=

C.y=

D.y=

5. 四棱锥的八条棱代表 8 种不同的化工产品,由公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的,没

有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的,现打算用编号为①、②、③、④的 4 个仓库存

放这 8 种化工产品,那么安全存放的不同方法种数为( )

A.96

B.48

C.24

D.0

6. 曲线 y=x3﹣2x+4 在点(1,3)处的切线的倾斜角为(



A.30°

B.45°

C.60°

D.120°

7. 若函数 y ? f (x ?1) 是偶函数,则函数 y ? f (x) 的图象的对称轴方程是( )111.Com]

A. x ?1

B. x ? ?1

C. x ? 2

D. x ? ?2

8. 已知点 P(1,﹣ ),则它的极坐标是( )

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A.

B.

C.

D.

9. 设函数

,则有( )

A.f(x)是奇函数, C.f(x)是偶函数

B.f(x)是奇函数,

y=bx

D.f(x)是偶函数,

10.在三角形 A.

中,若 B.

,则 的大小为( )

C.

D.

11.已知函数 f(x)满足:x≥4,则 f(x)=

;当 x<4 时 f(x)=f(x+1),则 f(2+log23)=(



A. B. C. D.

12.数列{an}的首项 a1=1,an+1=an+2n,则 a5=(



A. B.20 C.21 D.31

二、填空题 13.若执行如图 3 所示的框图,输入

,则输出的数等于



14.Sn=

+

+…+

=.

15.抛物线 y2=﹣8x 上到焦点距离等于 6 的点的坐标是



16.双曲线 x2﹣my2=1(m>0)的实轴长是虚轴长的 2 倍,则 m 的值为



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17.若命题“? x∈R,x2﹣2x+m≤0”是假命题,则 m 的取值范围是 .

18.抽样调查表明,某校高三学生成绩(总分 750 分)X 近似服从正态分布,平均成绩为 500 分.已知 P(400

<X<450)=0.3,则 P(550<X<600)=



三、解答题

19.已知函数 f(x)= +lnx﹣1(a 是常数,e≈=2.71828).

(1)若 x=2 是函数 f(x)的极值点,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)当 a=1 时,方程 f(x)=m 在 x∈[ ,e2]上有两解,求实数 m 的取值范围;

(3)求证:n∈N*,ln(en)>1+



20.如图,已知边长为 2 的等边△ PCD 所在的平面垂直于矩形 ABCD 所在的平面,BC=2 点 (Ⅰ)试在棱 AD 上找一点 N,使得 CN∥平面 AMP,并证明你的结论. (Ⅱ)证明:AM⊥PM.

,M 为 BC 的中

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21.已知向量( +3 )⊥(7 ﹣5 )且( ﹣4 )⊥(7 ﹣2 ),求向量 , 的夹角 θ.
22.设函数 f(x)=lnx+ ,k∈R. (Ⅰ)若曲线 y=f(x)在点(e,f(e))处的切线与直线 x﹣2=0 垂直,求 k 值; (Ⅱ)若对任意 x1>x2>0,f(x1)﹣f(x2)<x1﹣x2 恒成立,求 k 的取值范围; (Ⅲ)已知函数 f(x)在 x=e 处取得极小值,不等式 f(x)< 的解集为 P,若 M={x|e≤x≤3},且 M∩P≠?,求 实数 m 的取值范围.
23.
(本小题满分 10 分)如图⊙O 经过△ABC 的点 B,C 与 AB 交于 E,与 AC 交于 F,且 AE=AF. (1)求证 EF∥BC;
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(2)过 E 作⊙O 的切线交 AC 于 D,若∠B=60°,EB=EF=2,求 ED 的长.

24.求下列函数的定义域,并用区间表示其结果.

(1)y= +



(2)y=



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满洲里市三中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】D

【解析】解:如图所示, △ABC 中, =2 , =2 , 根据定比分点的向量式,得

=

=+,

=2 ,

= + ,= + ,

以上三式相加,得

+ + =﹣ ,

所以,

与 反向共线.

【点评】本题考查了平面向量的共线定理与定比分点的应用问题,是基础题目.
2. 【答案】D 【解析】解:y=x+1 不是奇函数; y=﹣x2 不是奇函数;
是奇函数,但不是减函数; y=﹣x|x|既是奇函数又是减函数, 故选:D. 【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性和函数的单调性,难度不大,属于基础题.
3. 【答案】C 【解析】解:根据几何体的三视图,得; 该几何体是一半圆台中间被挖掉一半圆柱, 其表面积为
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S=[ ×(2+8)×4﹣2×4]+[ ×π?(42﹣12)+ ×(4π× ﹣π× )+ ×8π] =12+24π. 故选:C. 【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题,也考查了空间想象能力与计算能力的应用问题,是基础题 目.
4. 【答案】B
【解析】解:A.函数的定义域为{x|x≥0},两个函数的定义域不同. B.函数的定义域为 R,两个函数的定义域和对应关系相同,是同一函数. C.函数的定义域为 R,y=|x|,对应关系不一致. D.函数的定义域为{x|x≠0},两个函数的定义域不同. 故选 B. 【点评】本题主要考查判断两个函数是否为同一函数,判断的标准是判断函数的定义域和对应关系是否一致, 否则不是同一函数.
5. 【答案】
B 【解析】 排列、组合的实际应用;空间中直线与直线之间的位置关系. 【专题】计算题;压轴题. 【分析】首先分析题目已知由公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的,没有公共点的两条棱代 表的化工产品放在同一仓库是安全的,现打算用编号为①、②、③、④的 4 个仓库存放这 8 种化工产品, 求安全存放的不同方法的种数.首先需要把四棱锥个顶点设出来,然后分析到四棱锥没有公共点的 8 条棱分 4 组,只有 2 种情况.然后求出即可得到答案. 【解答】解:8 种化工产品分 4 组,设四棱锥的顶点是 P,底面四边形的个顶点为 A、B、C、D.
分析得到四棱锥没有公共点的 8 条棱分 4 组,只有 2 种情况, (PA、DC;PB、AD;PC、AB;PD、BC)或(PA、BC;PD、AB;PC、AD;PB、DC) 那么安全存放的不同方法种数为 2A44=48. 故选 B. 【点评】此题主要考查排列组合在实际中的应用,其中涉及到空间直线与直线之间的位置关系的判断,把空间 几何与概率问题联系在一起有一定的综合性且非常新颖. 6. 【答案】B
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【解析】解:y/=3x2﹣2,切线的斜率 k=3×12﹣2=1.故倾斜角为 45°. 故选 B. 【点评】本题考查了导数的几何意义,以及利用正切函数的图象求倾斜角,本题属于容易题.

7. 【答案】A 【解析】
试题分析:∵函数 y ? f (x ?1) 向右平移个单位得出 y ? f (x) 的图象,又 y ? f (x ?1) 是偶函数,对称轴方程 为 x ? 0 ,? y ? f (x) 的对称轴方程为 x ?1.故选 A.
考点:函数的对称性. 8. 【答案】C

【解析】解:∵点 P 的直角坐标为

,∴ρ=

=2.

再由 1=ρcosθ,﹣ =ρsinθ,可得

,结合所给的选项,可取 θ=﹣ ,

即点 P 的极坐标为 (2,

),

故选 C. 【点评】本题主要考查把点的直角坐标化为极坐标的方法,属于基础题.

9. 【答案】C

【解析】解:函数 f(x)的定义域为 R,关于原点对称.

又 f(﹣x)=

=

=f(x),所以 f(x)为偶函数.

而 f( )=

=

=﹣

=﹣f(x),

故选 C. 【点评】本题考查函数的奇偶性,属基础题,定义是解决该类问题的基本方法.

10.【答案】A

【解析】 由正弦定理知

,不妨设







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则有

,所以

,故选 A

答案:A
11.【答案】A 【解析】解:∵3<2+log23<4,所以 f(2+log23)=f(3+log23) 且 3+log23>4 ∴f(2+log23)=f(3+log23)
=

故选 A.
12.【答案】C 【解析】解:由 an+1=an+2n,得 an+1﹣an=2n,又 a1=1, ∴a5=(a5﹣a4)+(a4﹣a3)+(a3﹣a2)+(a2﹣a1)+a1 =2(4+3+2+1)+1=21. 故选:C. 【点评】本题考查数列递推式,训练了累加法求数列的通项公式,是基础题.

二、填空题

13.【答案】 【解析】由框图的算法功能可知,输出的数为三个数的方差,

则 14.【答案】
【解析】解:∵



=

=(



),

∴Sn=

+

+…+

= [(1﹣ )+( ﹣ )+( ﹣ )+…+(

=



故答案为:





)= (1﹣



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【点评】本题主要考查利用裂项法进行数列求和,属于中档题.

15.【答案】 (﹣4,

).

【解析】解:∵抛物线方程为 y2=﹣8x,可得 2p=8, =2.

∴抛物线的焦点为 F(﹣2,0),准线为 x=2.

设抛物线上点 P(m,n)到焦点 F 的距离等于 6,

根据抛物线的定义,得点 P 到 F 的距离等于 P 到准线的距离,

即|PF|=﹣m+2=6,解得 m=﹣4,

∴n2=8m=32,可得 n=±4 ,

因此,点 P 的坐标为(﹣4,

).

故答案为:(﹣4,

).

【点评】本题给出抛物线的方程,求抛物线上到焦点的距离等于定长的点的坐标.着重考查了抛物线的定义与

标准方程等知识,属于基础题.

16.【答案】 4 .

【解析】解:双曲线 x2﹣my2=1 化为 x2﹣ =1,
∴a2=1,b2= , ∵实轴长是虚轴长的 2 倍, ∴2a=2×2b,化为 a2=4b2,即 1= , 解得 m=4. 故答案为:4. 【点评】熟练掌握双曲线的标准方程及实轴、虚轴的定义是解题的关键.
17.【答案】 m>1 .
【解析】解:若命题“?x∈R,x2﹣2x+m≤0”是假命题, 则命题“?x∈R,x2﹣2x+m>0”是真命题, 即判别式△=4﹣4m<0, 解得 m>1, 故答案为:m>1
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18.【答案】 0.3 .

【解析】离散型随机变量的期望与方差. 【专题】计算题;概率与统计. 【分析】确定正态分布曲线的对称轴为 x=500,根据对称性,可得 P(550<ξ<600). 【解答】解:∵某校高三学生成绩(总分 750 分)ξ 近似服从正态分布,平均成绩为 500 分, ∴正态分布曲线的对称轴为 x=500, ∵P(400<ξ<450)=0.3, ∴根据对称性,可得 P(550<ξ<600)=0.3. 故答案为:0.3. 【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义,正确运用正态分布曲线的对称性是关键.
三、解答题
19.【答案】

【解析】解:(1)



因为 x=2 是函数 f(x)的极值点,

所以 a=2,则 f(x)=



则 f(1)=1,f'(1)=﹣1,所以切线方程为 x+y﹣2=0;

(2)当 a=1 时,

,其中 x∈[ ,e2],

当 x∈[ ,1)时,f'(x)<0;x∈(1,e2]时,f'(x)>0, ∴x=1 是 f(x)在[ ,e2]上唯一的极小值点,∴[f(x)]min=f(1)=0.







综上,所求实数 m 的取值范围为{m|0<m≤e﹣2};

(3)

等价于



若 a=1 时,由(2)知 f(x)=

在[1,+∞)上为增函数,

当 n>1 时,令 x=

,则 x>1,故 f(x)>f(1)=0,

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,∴













20.【答案】

【解析】(Ⅰ)解:在棱 AD 上找中点 N,连接 CN,则 CN∥平面 AMP;

证明:因为 M 为 BC 的中点,四边形 ABCD 是矩形,

所以 CM 平行且相等于 DN,

所以四边形 MCNA 为矩形,

所以 CN∥AM,又 CN?平面 AMP,AM?平面 AMP,

所以 CN∥平面 AMP.

(Ⅱ)证明:过 P 作 PE⊥CD,连接 AE,ME,

因为边长为 2 的等边△PCD 所在的平面垂直于矩形 ABCD 所在的平面,BC=2

所以 PE⊥平面 ABCD,CM= ,

所以 PE⊥AM,

在△AME 中,AE=

=3,ME=

= ,AM=

=

所以 AE2=AM2+ME2,

所以 AM⊥ME,

所以 AM⊥平面 PME

所以 AM⊥PM.

,M 为 BC 的中点 ,

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【点评】本题考查了线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理的运用;正确利用已知条件得到线线关系是关 键,体现了转化的思想.

21.【答案】

【解析】解:∵向量( +3 )⊥(7 ﹣5 )且( ﹣4 )⊥(7 ﹣2 ),



=0,

+8 =0,



=



化为 化为:

,代入 +16

=0,



cos2θ,





∴θ= 或 . 【点评】本题考查了数量积的定义及其运算性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

22.【答案】

【解析】解:(Ⅰ)由条件得 f′(x)= ﹣ (x>0), ∵曲线 y=f(x)在点(e,f(e))处的切线与直线 x﹣2=0 垂直, ∴此切线的斜率为 0, 即 f′(e)=0,有 ﹣ =0,得 k=e; (Ⅱ)条件等价于对任意 x1>x2>0,f(x1)﹣x1<f(x2)﹣x2 恒成立…(*) 设 h(x)=f(x)﹣x=lnx+ ﹣x(x>0),∴(*)等价于 h(x)在(0,+∞)上单调递减. 由 h′(x)= ﹣ ﹣1≤00 在(0,+∞)上恒成立,得 k≥﹣x2+x=(﹣x﹣ )2+ (x>0)恒成立,
∴k≥ (对 k= ,h′(x)=0 仅在 x= 时成立), 故 k 的取值范围是[ ,+∞); (Ⅲ)由题可得 k=e, 因为 M∩P≠?,所以 f(x)< 在[e,3]上有解, 即?x∈[e,3],使 f(x)< 成立,

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即?x∈[e,3],使 m>xlnx+e 成立,所以 m>(xlnx+e)min, 令 g(x)=xlnx+e,g′(x)=1+lnx>0,所以 g(x)在[e,3]上单调递增, g(x)min=g(e)=2e, 所以 m>2e. 【点评】本题考查导数的运用:求切线的斜率和单调区间,主要考查函数的单调性的运用,考查不等式存在性 和恒成立问题的解决方法,考查运算能力,属于中档题.

23.【答案】 【解析】解:(1)证明:∵AE=AF, ∴∠AEF=∠AFE. 又 B,C,F,E 四点共圆, ∴∠ABC=∠AFE, ∴∠AEF=∠ACB,又∠AEF=∠AFE,∴EF∥BC. (2)由(1)与∠B=60°知△ABC 为正三角形, 又 EB=EF=2, ∴AF=FC=2, 设 DE=x,DF=y,则 AD=2-y, 在△AED 中,由余弦定理得 DE2=AE2+AD2-2AD·AEcos A. 即 x2=(2-y)2+22-2(2-y)·2×12, ∴x2-y2=4-2y,① 由切割线定理得 DE2=DF·DC, 即 x2=y(y+2), ∴x2-y2=2y,② 由①②联解得 y=1,x= 3,∴ED= 3. 24.【答案】

【解析】解:(1)∵y=

+







解得 x≥﹣2 且 x≠﹣2 且 x≠3, ∴函数 y 的定义域是(﹣2,3)∪(3,+∞);

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(2)∵y=







解得 x≤4 且 x≠1 且 x≠3, ∴函数 y 的定义域是(﹣∞,1)∪(1,3)∪(3,4].

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