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施秉县高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

施秉县高级中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 数列{an}的首项 a1=1,an+1=an+2n,则 a5=( A. B.20 C.21 D.31 ) )

座号_____

姓名__________

分数__________

2. 某几何体的三视图如下(其中三视图中两条虚线互相垂直)则该几何体的体积为(

8 A. 3 16 C. 3

B.4 20 D. 3 ﹣ =1(a>0,b>0)上,双曲 线 C 的焦距为

3. 已知点 M(﹣6,5)在双曲线 C: 12,则它的渐近线方程为( A.y=± x B.y=± )

x C.y=± x

D.y=± x

4. 如图,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, P 是侧面 BB1C1C 内一动点,若 P 到直线 BC 与直线 C1D1 的距离 相等,则动点 P 的轨迹所在的曲线是( )

D1 A1

C1 B1 P

D A
A.直线

C B
B.圆 C.双曲线 D.抛物线 )

【命题意图】本题考查立体几何中的动态问题等基础知识知识,意在考查空间想象能力. 5. 已知集合 M={1,4,7},M∪N=M,则集合 N 不可能是(

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A.?

B.{1,4}

C.M

D.{2,7}

? f ( x ? 5) x ? 2 ? x 6. 已知函数 f ( x) ? ?e ? 2 ? x ? 2 ,则 f (?2016) ? ( ? f (? x) x ? ?2 ?
A. e
2



B. e

C.1

D.

1 e

【命题意图】本题考查分段函数的求值,意在考查分类讨论思想与计算能力.

x ? 1 ? yi ,其中 x, y 是实数,是虚数单位,则 x ? yi 的共轭复数为 1? i A 、 1 ? 2i B、 1 ? 2 i C、 2 ? i D、 2 ? i
7. 已知 8. 《九章算术》是我国古代的数学巨著,其卷第五“商功” “今有刍甍,下广三丈,袤四丈,上袤二丈,无广,高一丈。 思为:“今有底面为矩形的屋脊形状的多面体(如图)”,下 丈,长 AB=4 丈,上棱 EF=2 丈,EF∥平面 ABCD.EF 与平面 1 丈,问它的体积是( A.4 立方丈 C.6 立方丈 ) B.5 立方丈 D.8 立方丈
2

有如下的问题: 问积几何?”意 底 面 宽 AD = 3 ABCD 的距离为

9. 已知函数 f ( x) ? 2a ln x ? x ? 2x ( a ? R )在定义域上为单调递增函数,则的最小值是( A.

) D. )

1 4

B.

1 2

C.

10.设集合 S=|x|x<﹣1 或 x>5},T={x|a<x<a+8},且 S∪T=R,则实数 a 的取值范围是( A.﹣3<a<﹣1 B.﹣3≤a≤﹣1 C.a≤﹣3 或 a≥﹣1 D.a<﹣3 或 a>﹣1 ) kx+b 11.函数 f(x)= ,关于点(-1,2)对称,且 f(-2)=3,则 b 的值为( x+1 A.-1 C.2 (x)=( A.x +2x
3 2

B.1 D.4 ) B.x3﹣2x2 C.﹣x3+2x2 D.﹣x3﹣2x2 .

12.已知函数 f(x)是 R 上的奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x3﹣2x2,则 x<0 时,函数 f(x)的表达式为 f

二、填空题
13.抛物线 y2=8x 上到顶点和准线距离相等的点的坐标为

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14.已知(ax+1)5 的展开式中 x2 的系数与 15.设函数 f(x)= ①若 a=1,则 f(x)的最小值为 ;

的展开式中 x 的系数相等,则 a= ,

3



②若 f(x)恰有 2 个零点,则实数 a 的取值范围是



16.已知 f(x+1)=f(x﹣1),f(x)=f(2﹣x),方程 f(x)=0 在[0,1]内只有一个根 x= ,则 f(x)=0 在区间[0,2016]内根的个数 17.方程(x+y﹣1) . =0 所表示的曲线是
2



18 . 已 知 函 数 f ( x) ? a sin x cos x ? sin x ? ___________.

1 ? 的 一 条 对 称 轴 方 程 为 x ? , 则 函 数 f ( x) 的 最 大 值 为 2 6

【命题意图】本题考查三角变换、三角函数的对称性与最值,意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、转化思 想与方程思想.

三、解答题
19. PD⊥平面 ABCD, BC=PD=2, E 为 PC 的中点, 如图, 四棱锥 P﹣ABCD 中, 底面 ABCD 为正方形, 求证:PC⊥BC; (Ⅱ)求三棱锥 C﹣DEG 的体积; (Ⅲ)AD 边上是否存在一点 M,使得 PA∥平面 MEG.若存在,求 AM 的长;否则,说明理由. .

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20..已知定义域为 R 的函数 f(x)= (1)求 a 的值;

是奇函数.

(2)判断 f(x)在(﹣∞,+∞)上的单调性.(直接写出答案,不用证明);
2 2 (3)若对于任意 t∈R,不等式 f(t ﹣2t)+f(2t ﹣k)<0 恒成立,求 k 的取值范围.

21.(本小题满分 12 分)已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 S9 ? 90 , S15 ? 240 . (1)求 {an } 的通项公式 an 和前 n 项和 Sn ; (2)设 anbn ? 取值范围.

1 , Sn 为数列 {bn } 的前 n 项和,若不等式 Sn ? t 对于任意的 n ? N* 恒成立,求实数 t 的 (n ? 1)

22.已知 cos(

+θ)=﹣ ,

<θ<

,求

的值.

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23.已知函数 f(x)= x2﹣ax+(a﹣1)lnx(a>1). (Ⅰ) 讨论函数 f(x)的单调性; (Ⅱ) 若 a=2,数列{an}满足 an+1=f(an). (1)若首项 a1=10,证明数列{an}为递增数列; (2)若首项为正整数,且数列{an}为递增数列,求首项 a1 的最小值.

24. 定圆 M : ( x ? 3)2 ? y 2 ? 16, 动圆 N 过点 F ( 3, 0) 且与圆 M 相切,记圆心 N 的轨迹为 E. (Ⅰ)求轨迹 E 的方程; (Ⅱ)设点 A, B, C 在 E 上运动, A 与 B 关于原点对称,且 AC ? BC ,当 ?ABC 的面积最小时,求直线 AB 的方程.

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施秉县高级中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】C 【解析】解:由 an+1=an+2n,得 an+1﹣an=2n,又 a1=1, ∴a5=(a5﹣a4)+(a4﹣a3)+(a3﹣a2)+(a2﹣a1)+a1 =2(4+3+2+1)+1=21. 故选:C. 【点评】本题考查数列递推式,训练了累加法求数列的通项公式,是基础题. 2. 【答案】 【解析】选 D.根据三视图可知,该几何体是一个棱长为 2 的正方体挖去一个以正方体的中心为顶点,上底面 1 20 为底面的正四棱锥后剩下的几何体如图,其体积 V=23- ×2×2×1= ,故选 D. 3 3 3. 【答案】A 【解析】解:∵点 M(﹣6,5)在双曲线 C: ∴ ,① ﹣ =1(a>0,b>0)上,

又∵双曲线 C 的焦距为 12, ∴12=2
2 2 ,即 a +b =36,② 2 2 联立①、②,可得 a =16,b =20,

∴渐近线方程为:y=± 故选:A.

x=±

x,

【点评】本题考查求双曲线的渐近线,注意解题方法的积累,属于基础题. 4. 【答案】D.

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第Ⅱ卷(共 110 分) 5. 【答案】D 【解析】解:∵M∪N=M,∴N?M, ∴集合 N 不可能是{2,7}, 故选:D 【点评】本题主要考查集合的关系的判断,比较基础. 6. 【答案】B 【解析】 f (?2016) ? f (2016) ? f (5 ? 403 ? 1) ? f (1) ? e ,故选 B. 7. 【答案】D

【解析】

x 1 ? ( x ? xi ) ? 1 ? yi,? x ? 2, y ? 1, 故选 D 1? i 2

8. 【答案】 【解析】解析:

选 B.如图,设 E、F 在平面 ABCD 上的射影分别为 P,Q,过 P,Q 分别作 GH∥MN∥AD 交 AB 于 G,M,交 DC 于 H,N,连接 EH、GH、FN、MN,则平面 EGH 与平面 FMN 将原多面体分成四棱锥 EAGHD 与四棱锥 FMBCN 与直三棱柱 EGHFMN. 由题意得 GH=MN=AD=3,GM=EF=2,

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EP=FQ=1,AG+MB=AB-GM=2, 1 1 1 所求的体积为 V= (S 矩形 AGHD+S 矩形 MBCN)· EP+S△EGH·EF= ×(2×3)×1+ ×3×1×2=5 立方丈,故选 B. 3 3 2 9. 【答案】A 【解析】

2 x 2 ? 2 x ? 2a 2 试题分析:由题意知函数定义域为 (0,??) , f ( x) ? ,因为函数 f ( x) ? 2a ln x? x ? 2x x (a?R ) 在定义域上为单调递增函数 f ' ( x) ? 0 在定义域上恒成立, 转化为 h( x) ? 2x2 ? 2x ? 2a 在 (0,??) 恒 1 成立,?? ? 0,? a ? ,故选 A. 1 4
'

考点:导数与函数的单调性. 10.【答案】A 【解析】解:∵S=|x|x<﹣1 或 x>5},T={x|a<x<a+8},且 S∪T=R, ∴ 故选:A. 11.【答案】 【解析】解析:选 B.设点 P(m,n)是函数图象上任一点,P 关于(-1,2)的对称点为 Q(-2-m,4-n), km+b n= ? ? m+1 则? ,恒成立. k(-2-m)+b ? ?4-n= -1-m 由方程组得 4m+4=2km+2k 恒成立, ∴4=2k,即 k=2, 2x+b -4+b ∴f(x)= ,又 f(-2)= =3, x+1 -1 ∴b=1,故选 B. 12.【答案】A 【解析】解:设 x<0 时,则﹣x>0,
3 2 3 2 3 2 因为当 x>0 时,f(x)=x ﹣2x 所以 f(﹣x)=(﹣x) ﹣2(﹣x) =﹣x ﹣2x ,

,解得:﹣3<a<﹣1.

又因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数,所以 f(﹣x)=﹣f(x),
3 2 所以当 x<0 时,函数 f(x)的表达式为 f(x)=x +2x ,故选 A.

二、填空题

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13.【答案】 ( 1,±2





2 【解析】解:设点 P 坐标为( a ,a)

依题意可知抛物线的准线方程为 x=﹣2 a2+2= ,求得 a=±2 )

∴点 P 的坐标为( 1,±2 故答案为:( 1,±2 ).

【点评】本题主要考查了两点间的距离公式、抛物线的简单性质,属基础题. 14.【答案】 .

5 2 【解析】解:(ax+1) 的展开式中 x 的项为

=10a2x2,x2 的系数为 10a2, =5x3,x3 的系数为 5,


2 ∴10a =5,

的展开式中 x 的项为

3

2 即 a = ,解得 a=

. .

故答案为:

【点评】本题主要考查二项式定理的应用,利用展开式的通项公式确定项的系数是解决本题的关键. 15.【答案】 ≤a<1 或 a≥2 .

【解析】解:①当 a=1 时,f(x)= 当 x<1 时,f(x)=2 ﹣1 为增函数,f(x)>﹣1,
x



当 x>1 时,f(x)=4(x﹣1)(x﹣2)=4(x ﹣3x+2)=4(x﹣ ) ﹣1, 当 1<x< 时,函数单调递减,当 x> 时,函数单调递增, 故当 x= 时,f(x)min=f( )=﹣1, ②设 h(x)=2x﹣a,g(x)=4(x﹣a)(x﹣2a) 若在 x<1 时,h(x)=与 x 轴有一个交点, 所以 a>0,并且当 x=1 时,h(1)=2﹣a>0,所以 0<a<2, 而函数 g(x)=4(x﹣a)(x﹣2a)有一个交点,所以 2a≥1,且 a<1,
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2

2

所以 ≤a<1, 若函数 h(x)=2 ﹣a 在 x<1 时,与 x 轴没有交点, 则函数 g(x)=4(x﹣a)(x﹣2a)有两个交点, 当 a≤0 时,h(x)与 x 轴无交点,g(x)无交点,所以不满足题意(舍去), 当 h(1)=2﹣a≤0 时,即 a≥2 时,g(x)的两个交点满足 x1=a,x2=2a,都是满足题意的, 综上所述 a 的取值范围是 ≤a<1,或 a≥2. 16.【答案】 2016 . 【解析】解:∵f(x)=f(2﹣x), ∴f(x)的图象关于直线 x=1 对称,即 f(1﹣x)=f(1+x). ∵f(x+1)=f(x﹣1),∴f(x+2)=f(x), 即函数 f(x)是周期为 2 的周期函数, ∵方程 f(x)=0 在[0,1]内只有一个根 x= , ∴由对称性得,f( )=f( )=0, ∴函数 f(x)在一个周期[0,2]上有 2 个零点, 即函数 f(x)在每两个整数之间都有一个零点, ∴f(x)=0 在区间[0,2016]内根的个数为 2016, 故答案为:2016. 17.【答案】 两条射线和一个圆 .
2 2 【解析】解:由题意可得 x +y ﹣4≥0,表示的区域是以原点为圆心的圆的外部以及圆上的部分. x

由方程(x+y﹣1)

=0,可得 x+y﹣1=0,或 x2+y2=4,

故原方程表示一条直线在圆外的地方和一个圆,即两条射线和一个圆, 故答案为:两条射线和一个圆. 【点评】本题主要考查直线和圆的方程的特征,属于基础题. 18.【答案】1 【 解 析 】

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三、解答题
19.【答案】 【解析】解:(I)证明:∵PD⊥平面 ABCD,∴PD⊥BC, 又∵ABCD 是正方形,∴BC⊥CD,∵PDICE=D, ∴BC⊥平面 PCD,又∵PC?面 PBC,∴PC⊥BC. (II)解:∵BC⊥平面 PCD, ∴GC 是三棱锥 G﹣DEC 的高. ∵E 是 PC 的中点,∴ ∴ . .

(III)连接 AC,取 AC 中点 O,连接 EO、GO,延长 GO 交 AD 于点 M,则 PA∥平面 MEG. 下面证明之: ∵E 为 PC 的中点,O 是 AC 的中点,∴EO∥平面 PA, 又∵EO?平面 MEG,PA?平面 MEG,∴PA∥平面 MEG, 在正方形 ABCD 中,∵O 是 AC 中点,∴△OCG≌△OAM, ∴ ,∴所求 AM 的长为 .

【点评】本题主要考查线面平行与垂直关系、多面体体积计算等基础知识,考查空间想象能、逻辑思维能力、 运算求解能力和探究能力、考查数形结合思想、化归与转化思想. 20.【答案】 【解析】解:(1)因为 f(x)为 R 上的奇函数 所以 f(0)=0 即 =0,

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∴a=1 … (2)f(x)= =﹣1+ ,在(﹣∞,+∞)上单调递减…

2 2 2 2 2 (3)f(t ﹣2t)+f(2t ﹣k)<0?f(t ﹣2t)<﹣f(2t ﹣k)=f(﹣2t +k),

又 f(x)=

在(﹣∞,+∞)上单调递减,

2 2 ∴t ﹣2t>﹣2t +k,

即 3t ﹣2t﹣k>0 恒成立, ∴△=4+12k<0, ∴k<﹣ .…(利用分离参数也可). 21.【答案】 【解析】【命题意图】本题考查等差数列通项与前 n 项和、数列求和、不等式性质等基础知识,意在考查逻辑 思维能力、运算求解能力、代数变形能力,以及方程思想与裂项法的应用.

2

22.【答案】 【解析】解:∵ ∵cos( <θ< ,∴ +θ∈( , ),

+θ)=﹣ ,∴sin(

+θ)=﹣

=﹣ ,

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∴sin(

+θ)=sinθcos ,①

+cosθsin

=

(cosθ+sinθ)=﹣ ,

∴sinθ+cosθ=﹣ cos( +θ)=cos

cosθ﹣sin ,②

sinθ=

(cosθ﹣cosβ)=﹣ ,

∴cosθ﹣sinθ=﹣

联立①②,得 cosθ=﹣ ∴ =

,sinθ=﹣

, =

=

=



【点评】本题考查函数值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意三角函数诱导公式、加法定理和同角三 角函数关系式的合理运用. 23.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)∵ ∴ 当 a=2 时,则 , (x>0), 在(0,+∞)上恒成立,

当 1<a<2 时,若 x∈(a﹣1,1),则 f′(x)<0,若 x∈(0,a﹣1)或 x∈(1,+∞),则 f′(x)>0, 当 a>2 时,若 x∈(1,a﹣1),则 f′(x)<0,若 x∈(0,1)或 x∈(a﹣1,+∞),则 f′(x)>0, 综上所述:当 1<a<2 时,函数 f(x)在区间(a﹣1,1)上单调递减, 在区间(0,a﹣1)和(1,+∞)上单调递增; 当 a=2 时,函数(0,+∞)在(0,+∞)上单调递增; 当 a>2 时,函数 f(x)在区间(0,1)上单调递减,在区间(0,1)和(a﹣1,+∞)上单调递增. (Ⅱ)若 a=2,则 ,由(Ⅰ)知函数 f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,

(1)因为 a1=10,所以 a2=f(a1)=f(10)=30+ln10,可知 a2>a1>0, 假设 0<ak<ak+1(k≥1),因为函数 f(x)在区间(0,+∞)上单调递增, ∴f(ak+1)>f(ak),即得 ak+2>ak+1>0, 由数学归纳法原理知,an+1>an 对于一切正整数 n 都成立,

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∴数列{an}为递增数列. (2)由(1)知:当且仅当 0<a1<a2,数列{an}为递增数列, ∴f(a1)>a1,即 设 ∴函数 g(x)在区间 由于 ∴首项 a1 的最小值为 6. 【点评】本题考查导数的运用:求单调区间,同时考查函数的零点存在定理和数学归纳法的运用,考查运算能 力,属于中档题. 选做题:本题设有(1)(2)(3)三个选考题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 7 分.如果多做,则 按所做的前两题计分.【选修 4-2:矩阵与变换】 24.【答案】 【解析】(Ⅰ) (x≥1),则 上递增, ,g(6)=ln6>0,又 a1 为正整数, (a1 为正整数), ,

F ( 3,0) 在圆 M : ( x ? 3)2 ? y 2 ? 16 内,? 圆 N 内切于圆 M.

NM ? NF ? 4 ? FM ,? 点 N 的轨迹 E 为椭圆,且 2a ? 4, c ? 3,?b ? 1

? 轨迹 E 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 4

.........4 分

(Ⅱ)①当 AB 为长轴(或短轴)时,此时 S ?ABC ?

1 ? OC ? AB ? 2 . ...5 分 2

②当直线 AB 的斜率存在且不为 0 时,设直线 AB 方程为 y ? kx ,

? x2 2 4 4k 2 4(1 ? k 2 ) 2 ? ? y ?1 2 2 2 2 , y ? , ? OA ? x ? y ? . 联立方程 ? 4 得 xA ? A A A 2 2 2 1 ? 4 k 1 ? 4 k 1 ? 4 k ? y ? kx ?
将上式中的 k 替换为 ?

4(1 ? k 2 ) 1 2 . ,得 OC ? k2 ? 4 k
4(1 ? k 2 ) 4(1 ? k 2 ) 4(1 ? k 2 ) ? ? .9 分 1 ? 4k 2 k2 ? 4 (1 ? 4k 2 )(k 2 ? 4)

S?ABC ? 2S?AOC ? OA OC ?

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(1 ? 4k 2 )(k 2 ? 4) ?

(1 ? 4k 2 ) ? (k 2 ? 4) 5(1 ? k 2 ) 8 ? , S?ABC ? , 2 2 5

2 2 当且仅当 1 ? 4k ? k ? 4 ,即 k ? ?1 时等号成立,此时 ?ABC 面积最小值是

8 . 5

8 8 2 ? , ? ?ABC 面积最小值是 ,此时直线 AB 的方程为 y ? x 或 y ? ?x. 12 分 5 5

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