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阳信县高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

阳信县高级中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 设集合 A={x|x<a},B={x|x<3},则“a<3”是“A?B”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2. 两个圆锥有公共底面,且两圆锥的顶点和底面圆周都在同一个球面上.若圆锥底面面积是球面面积的 则这两个圆锥的体积之比为( ) ) A.2:1 B.5:2 C.1:4 D.3:1 3. 用反证法证明某命题时,对结论:“自然数 a,b,c 中恰有一个偶数”正确的反设为( A.a,b,c 中至少有两个偶数 B.a,b,c 中至少有两个偶数或都是奇数 C.a,b,c 都是奇数 D.a,b,c 都是偶数 4. 设△ ABC 的三边长分别为 a、b、c,△ ABC 的面积为 S,内切圆半径为 r,则 则 r=( A. C. 5. 在平面直角坐标系 ) B. D. 中, 向量 =( 1, 2), =(2, m), 若 O, A, B 三点能构成三角形, 则 ( ) ,类比这个结论可 , )

座号_____

姓名__________

分数__________

知:四面体 S﹣ABC 的四个面的面积分别为 S1、S2、S3、S4,内切球半径为 r,四面体 S﹣ABC 的体积为 V,

A. B. C. D. 6. 已知函数 f(x)是(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,且当 x<0 时,函数的部分图象如图所示,则不 等式 xf(x)<0 的解集是( )

A.(﹣2,﹣1)∪(1,2)

B.(﹣2,﹣1)∪(0,1)∪(2,+∞)

C.(﹣∞,﹣2)∪(﹣1,0)∪(1,2) D.(﹣∞,﹣2)∪(﹣1,0)∪(0,1)∪(2,+∞)

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7. 设函数 y ? f ( x ) 对一切实数 x 都满足 f (3 ? x) ? f (3 ? x) ,且方程 f ( x) ? 0 恰有 6 个不同的实根,则这 6 个实根的和为( ) A. 18 B. 12 C. 9 D. 0

【命题意图】本题考查抽象函数的对称性与函数和方程等基础知识,意在考查运算求解能力. 8. 已知抛物线 C : y 2 ? 8x 的焦点为 F , P 是抛物线 C 的准线上的一点,且 P 的纵坐标为正数,

Q 是直线 PF 与抛物线 C 的一个交点,若 PQ ? 2QF ,则直线 PF 的方程为( A. x ? y ? 2 ? 0 B. x ? y ? 2 ? 0 C. x ? y ? 2 ? 0
9. 设函数 f(x)在 x0 处可导,则 A.f′(x0) B.f′(﹣x0) C.﹣f′(x0) D.﹣f(﹣x0) ) D.484 等于( )

) D. x ? y ? 2 ? 0

10.现有 16 张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4 张,从中任取 3 张,要求取出的这些卡片 不能是同一种颜色,且红色卡片至多 1 张,不同取法的种数为( A.232 B.252 的点是( C.472 ) C.( , ) D.( , ) =0, 则满足 11.在曲线 y=x2 上切线倾斜角为 A.(0,0)

B.(2,4)

12. ′ x) 已知定义在 R 上的可导函数 y=f (x) 是偶函数, 且满足 xf( <0, 的 x 的范围为( )

A.(﹣∞, )∪(2,+∞) B.( ,1)∪(1,2)

C.( ,1)∪(2,+∞) D. +∞) ∪ (0, ) (2,

二、填空题
13.用描述法表示图中阴影部分的点(含边界)的坐标的集合为 .

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14.已知圆 O:x2+y2=1 和双曲线 C:



=1(a>0,b>0).若对双曲线 C 上任意一点 A(点 A 在圆 O ﹣ = .

外),均存在与圆 O 外切且顶点都在双曲线 C 上的菱形 ABCD,则

15.小明想利用树影测量他家有房子旁的一棵树的高度,但由于地形的原因,树的影子总有一部分落在墙上, 某时刻他测得树留在地面部分的影子长为 1.4 米,留在墙部分的影高为 1.2 米,同时,他又测得院子中一个直 径为 1.2 米的石球的影子长(球与地面的接触点和地面上阴影边缘的最大距离)为 0.8 米,根据以上信息,可 求得这棵树的高度是 米.(太阳光线可看作为平行光线)

16. B、 C、 D 四点, 在半径为 2 的球面上有 A、 若 AB=CD=2, 则四面体 ABCD 的体积的最大值为



17.某辆汽车每次加油都把油箱加满,如表记录了该车相邻两次加油时的情况. 加油时间 加油量(升)加油时的累计里程(千米) 35000 2015 年 5 月 1 日 12 35600 2015 年 5 月 15 日48 注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程. 在这段时间内,该车每 100 千米平均耗油量为 18.设函数 f(x)= 升. 若 f[f(a)] ,则 a 的取值范围是 .

三、解答题
19.(本题满分 12 分)在 ?ABC 中,已知角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c ,边 c ?

7 ,且 2

tan A ? tan B ? 3 tan A tan B ? 3 ,又 ?ABC 的面积为 S?ABC ?

3 3 ,求 a ? b 的值. 2

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20.一块边长为 10cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成 一个正四棱锥形容器,试建立容器的容积 V 与 x 的函数关系式,并求出函数的定义域.

21.(本小题满分 12 分)某媒体对“男女延迟退休”这一公众关注的问题进行名意调查,下表是在某单位 得到的数据: 赞同 男 女 合计 50 30 80 反对 150 170 320 合计 200 200 400

(Ⅰ)能否有能否有 97.5% 的把握认为对这一问题的看法与性别有关? (Ⅱ)从赞同“男女延迟退休”的 80 人中,利用分层抽样的方法抽出 8 人,然后从中选出 3 人进行陈述 发言,设发言的女士人数为 X ,求 X 的分布列和期望. 参考公式: K 2 ?

n(ad ? bc) 2 , (n ? a ? b ? c ? d ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

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22.(本题满分 12 分)已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 2Sn ? 3an ? 3 ,( n ? N ? ). (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)记 bn ?

4n ? 1 , Tn 是数列 {bn } 的前 n 项和,求 Tn . an

【命题意图】本题考查利用递推关系求通项公式、用错位相减法求数列的前 n 项和.重点突出对运算及化归能 力的考查,属于中档难度.

23.已知 ?an ? 是等差数列, ?bn ? 是等比数列, Sn 为数列 ?an ? 的前项和, a1 ? b1 ? 1 ,且 b3S3 ? 36 ,

b2 S2 ? 8 ( n ? N * ).
(1)求 an 和 bn ; (2)若 an ? an?1 ,求数列 ?

?

1 ? ? 的前项和 Tn . ? an an ?1 ?

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24.设函数 f(x)=mx2﹣mx﹣1. (1)若对一切实数 x,f(x)<0 恒成立,求 m 的取值范围; (2)对于 x∈[1,3],f(x)<﹣m+5 恒成立,求 m 的取值范围.

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阳信县高级中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】A 【解析】解:若 A?B,则 a≤3, 则“a<3”是“A?B”的充分不必要条件, 故选:A 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据集合关系是解决本题的关键. 2. 【答案】D
2 【解析】解:设球的半径为 R,圆锥底面的半径为 r,则 πr =

×4πR2= .

,∴r=



∴球心到圆锥底面的距离为 ∴两个圆锥的体积比为 : 故选:D. 3. 【答案】B

= .∴圆锥的高分别为 和 =1:3.

【解析】解:∵结论:“自然数 a,b,c 中恰有一个偶数” 可得题设为:a,b,c 中恰有一个偶数 ∴反设的内容是 假设 a,b,c 中至少有两个偶数或都是奇数. 故选 B. 【点评】此题考查了反证法的定义,反证法在数学中经常运用,当论题从正面不容易或不能得到证明时,就需 要运用反证法,此即所谓“正难则反“. 4. 【答案】 C 【解析】解:设四面体的内切球的球心为 O, 则球心 O 到四个面的距离都是 R, 所以四面体的体积等于以 O 为顶点, 分别以四个面为底面的 4 个三棱锥体积的和. 则四面体的体积为 ∴R=

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故选 C.

【点评】 类比推理是指依据两类数学对象的相似性, 将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象 ①找出两类事物之间的相似性或者一致性. ②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质, 上去. 一般步骤: 得出一个明确的命题(或猜想). 5. 【答案】B 【解析】【知识点】平面向量坐标运算 【试题解析】若 O,A,B 三点能构成三角形,则 O,A,B 三点不共线。 若 O,A,B 三点共线,有:-m=4,m=-4. 故要使 O,A,B 三点不共线,则 。 故答案为:B 6. 【答案】D 【解析】解:根据奇函数的图象关于原点对称,作出函数的图象,如图 则不等式 xf(x)<0 的解为: 或

解得:x∈(﹣∞,﹣2)∪(﹣1,0)∪(0,1)∪(2,+∞) 故选:D.

7. 【答案】A. 【解析】 f (3 ? x) ? f (3 ? x) ? f ( x) ? f (6 ? x) ,∴ f ( x) 的图象关于直线 x ? 3 对称, ∴ 6 个实根的和为 3 ? 6 ? 18 ,故选 A. 8. 【答案】B 【 解 析 】

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考点:抛物线的定义及性质. 【易错点睛】抛物线问题的三个注意事项:(1)求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求 p 的值,但首 先要判断抛物线是否为标准方程, 若是标准方程, 则要由焦点位置 (或开口方向) 判断是哪一种标准方程. (2) 注意应用抛物线定义中的距离相等的转化来解决问题.(3)直线与抛物线有一个交点,并不表明直线与抛物 线相切,因为当直线与对称轴平行(或重合)时,直线与抛物线也只有一个交点. 9. 【答案】C 【解析】解: 故选 C. 10.【答案】 C 【解析】【专题】排列组合. 【分析】不考虑特殊情况,共有 种取法,由此可得结论. 【解答】解:由题意,不考虑特殊情况,共有 色卡片,共有 故所求的取法共有 种取法, ﹣ ﹣ =560﹣16﹣72=472 种取法,其中每一种卡片各取三张,有 种取法,两种红 种取法,其中每一种卡片各取三张,有 种取法,两种红色卡片,共有 =﹣ =﹣f′(x0),

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故选 C. 【点评】本题考查组合知识,考查排除法求解计数问题,属于中档题. 11.【答案】D
2 【解析】解:y'=2x,设切点为(a,a )

∴y'=2a,得切线的斜率为 2a,所以 2a=tan45°=1, ∴a= , 在曲线 y=x 上切线倾斜角为 故选 D. 【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识,考查 运算求解能力.属于基础题. 12.【答案】D 【解析】解:当 x>0 时,由 xf′(x)<0,得 f′(x)<0,即此时函数单调递减, ∵函数 f(x)是偶函数, ∴不等式 即| |> ,即 等价为 f(| > 或 |)< <﹣ , ,
2

的点是( , ).

解得 0<x< 或 x>2, 故 x 的取值范围是(0, )∪(2,+∞) 故选:D 【点评】本题主要考查不等式的求解,根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键.

二、填空题
13.【答案】 {(x,y)|xy>0,且﹣1≤x≤2,﹣ ≤y≤1} . 【解析】解:图中的阴影部分的点设为(x,y)则 {x,y)|﹣1≤x≤0,﹣ ≤y≤0 或 0≤x≤2,0≤y≤1} ={(x,y)|xy>0 且﹣1≤x≤2,﹣ ≤y≤1} 故答案为:{(x,y)|xy>0,且﹣1≤x≤2,﹣ ≤y≤1}. 14.【答案】 1 .

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【解析】解:若对双曲线 C 上任意一点 A(点 A 在圆 O 外), 均存在与圆 O 外切且顶点都在双曲线 C 上的菱形 ABCD, 可通过特殊点,取 A(﹣1,t), 则 B(﹣1,﹣t),C(1,﹣t),D(1,t), 由直线和圆相切的条件可得,t=1. 将 A(﹣1,1)代入双曲线方程,可得 故答案为:1. 【点评】本题考查双曲线的方程和运用,同时考查直线和圆相切的条件,属于基础题. 15.【答案】 3.3 ﹣ =1.

【解析】

解:如图 BC 为竿的高度,ED 为墙上的影子,BE 为地面上的影子. 设 BC=x,则根据题意 = ,

AB= x, 在 AE=AB﹣BE= x﹣1.4,



=

,即

=

,求得

x=3.3(米) 故树的高度为 3.3 米, 故答案为:3.3. 【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用.解题的关键是建立数学模型,把实际问题转化为数学问题.

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16.【答案】



【解析】解:过 CD 作平面 PCD,使 AB⊥平面 PCD,交 AB 与 P, 设点 P 到 CD 的距离为 h, 则有 V= ×2×h× ×2, 当球的直径通过 AB 与 CD 的中点时,h 最大为 2 则四面体 ABCD 的体积的最大值为 故答案为: . . ,

【点评】本小题主要考查棱柱、棱锥、棱台的体积、球内接多面体等基础知识,考查运算求解能力,考查空间 想象力.属于基础题. 17.【答案】 8 升. 【解析】 解: 由表格信息, 得到该车加了 48 升的汽油, 跑了 600 千米, 所以该车每 100 千米平均耗油量 48÷6=8. 故答案是:8. 18.【答案】 【解析】解:当 ∵ 当 ,由 ,f(a)=2(1﹣a), ,则 , 或 a=1 . 时, . ,解得: ,所以 ;

∵0≤2(1﹣a)≤1,若 分析可得 a=1. 若 ,即

,因为 2[1﹣2(1﹣a)]=4a﹣2,

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由 综上得: 故答案为: 中档题.

,得: 或 a=1. 或 a=1.



【点评】本题考查了函数的值域,考查了分类讨论的数学思想,此题涉及二次讨论,解答时容易出错,此题为

三、解答题
19.【答案】 【解析】

11 . 2

试 题解析:由 tan A ? tan B ? 3 tan A tan B ? 3

tan A ? tan B ? ? 3 ,即 tan( A ? B) ? ? 3 . 1 ? tan A tan B ∴ tan(? ? C) ? ? 3 ,∴ ? tan C ? ? 3 ,∴ tan C ? 3 .
可得 ∵ C ? (0, ? ) ,∴ C ?

?
3

.

3 3 1 3 3 1 3 3 3 ,∴ ab sin C ? ,即 ab ? ,∴ ab ? 6 . ? 2 2 2 2 2 2 7 2 ? 2 2 2 2 2 又由余弦定理可得 c ? a ? b ? 2ab cos C ,∴ ( ) ? a ? b ? 2ab cos , 2 3 7 2 121 11 2 2 2 2 ∴ ( ) ? a ? b ? ab ? (a ? b) ? 3ab ,∴ ( a ? b) ? ,∵ a ? b ? 0 ,∴ a ? b ? .1 2 4 2
又 ?ABC 的面积为 S ?ABC ? 考点:解三角形问题. 【方法点晴】本题主要考查了解三角形问题,其中解答中涉及到两角和与两角差的正切函数公式、三角形的面 积、正弦定理和余弦定理,以及特殊角的三角函数值等知识点的综合考查,着重考查了学生分析问题和解答问 题的能力,以及推理与运算能力,其中熟练掌握基本公式和灵活运用公式是解答本题的关键,属于中档试题. 20.【答案】 【解析】解:如图,设所截等腰三角形的底边边长为 xcm,

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在 Rt△EOF 中, ∴ ∴ 依题意函数的定义域为{x|0<x<10} ,



【点评】本题是一个函数模型的应用,这种题目解题的关键是看清题意,根据实际问题选择合适的函数模型, 注意题目中写出解析式以后要标出自变量的取值范围. 21.【答案】 【解析】【命题意图】本题考查统计案例、超几何分布、分层抽样等基础知识,意在考查统计思想和基本运算 能力.

X 的分布列为:

X
P

0

1

2

3

5 28

15 28

15 56

1 56

X 的数学期望为 5 15 15 1 9 E ? X ? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? ………………12 28 28 56 56 8

分 22.【答案】 【解析】(1)当 n ? 1 时, 2S1 ? 3a1 ? 3 ? 2a1 ? a1 ? 3 ;………………1 分 当 n ? 2 时, 2Sn ? 3an ? 3,2Sn?1 ? 3an?1 ? 3 ,

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∴当 n ? 2 时, 2Sn ? 2Sn?1 ? 3(an ? an?1 ) ? 2an ,整理得 an ? 3an?1 .………………3 分 ∴数列 {an } 是以 3 为首项,公比为 3 的等比数列. ∴数列 {an } 的通项公式为 an ? 3n .………………5 分

23.【答案】(1) an ? 2n ? 1, bn ? 2n?1 或 an ? 【解析】

1 n (5 ? 2n) , bn ? 6n?1 ;(2) . 3 2n ? 1

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试题解析:(1)设 ?an ? 的公差为 d , ?bn ? 的公比为,

2 ? ?q 2 (3 ? 3d ) ? 36, ?d ? 2, ?d ? ? , 由题意得 ? 解得 ? 或? 3 ?q ? 2, ?q ? 6. ?q(2 ? d ) ? 8, ? 1 ∴ an ? 2n ? 1, bn ? 2n?1 或 an ? (5 ? 2n) , bn ? 6n?1 . 3 (2)若 an ? an +1 ,由(1)知 an ? 2n ? 1, 1 1 1 1 1 ∴ ? ? ( ? ), an an?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 1 1 1 n ? )? ∴ Tn ? (1 ? ? ? ? … ? . 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1
考点:1、等差数列与等比数列的通项公式及前项和公式;2、裂项相消法求和的应用. 24.【答案】 【解析】解:(1)当 m=0 时,f(x)=﹣1<0 恒成立, 当 m≠0 时,若 f(x)<0 恒成立, 则 解得﹣4<m<0 综上所述 m 的取值范围为(﹣4,0]﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ (2)要 x∈[1,3],f(x)<﹣m+5 恒成立, 即 令 ﹣﹣﹣﹣ 当 m>0 时,g(x)是增函数, 所以 g(x)max=g(3)=7m﹣6<0, 恒成立. ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

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解得

.所以

当 m=0 时,﹣6<0 恒成立. 当 m<0 时,g(x)是减函数. 所以 g(x)max=g(1)=m﹣6<0, 解得 m<6. 所以 m<0. 综上所述, ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 【点评】本题考查的知识点是函数恒成立问题,函数的最值,其中将恒成立问题转化为最值问题是解答此类问 题的关键.

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