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高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.1椭圆及其标准方程学案新人教B版选修1_1170719277

2.1.1 椭圆及其标准方程 1.了解椭圆的实际背景与现实意义. 2.掌握椭圆的定义、标准方程.(重点、易错点) 3.通过对椭圆及其标准方程的学习,了解用坐标法研究曲线的基本步骤.(难点) [基础·初探] 教材整理 1 椭圆的定义 阅读教材 P33 第一行~思考讨论,完成下列问题. 把平面内与两个定点 F1,F2 的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这 两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. 判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)已知 F1(-4,0),F2(4,0),到 F1,F2 两点的距离之和为 6 的点的轨迹是椭圆.( (2)到 F1(-4,0),F2(4,0)两点的距离之和等于 12 的点的轨迹是椭圆.( (3)到 F1(-4,0),F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆.( ) ) ) 【解析】 (1)因为到两定点距离之和小于|F1F2|,动点的轨迹不存在,故(1)错. (2)由椭圆定义知,(2)对. (3)其动点轨迹是线段 F1F2 的中垂线,故(3)错. 【答案】 (1)× (2)√ (3)× 教材整理 2 椭圆的标准方程 阅读教材 P35~P36 例 1 以上部分,完成下列问题. 椭圆的标准方程 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 标准方程 x y + =1(a>b>0) a2 b2 2 2 y2 x2 + =1 a2 b2 (a>b>0) 1 焦点坐标 (-c,0),(c,0) (0,-c),(0,c) a,b,c 的关系 c2=a2-b2 判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)椭圆的两种标准方程中,虽然焦点位置不同,但都有 a =b +c .( (2)平面内到两个定点 F1,F2 的距离之和等于常数的点的集合是椭圆.( (3)椭圆的特殊形式是圆.( 2 2 2 2 2 ) ) ) ) (4)椭圆 4x +9y =1 的焦点在 y 轴上.( 【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)× [质疑·手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1:_____________________________________________________ 解惑:______________________________________________________ 疑问 2:_____________________________________________________ 解惑:______________________________________________________ 疑问 3:_____________________________________________________ 解惑:_______________________________________________________ [小组合作型] 椭圆定义的应用 (1)椭圆 + =1 上一点 P 到一个焦点的距离为 5,则 P 到另一个焦点的距离 25 9 为( ) A.5 C.4 B.6 D.10 x2 y2 (2)椭圆 + =1 的焦点为 F1,F2,AB 是椭圆过焦点 F1 的弦,则△ABF2 的周长是( 9 25 【导学号:25650040】 A.20 B.12 x 2 y 2 ) 2 C.10 D.6 【自主解答】 (1)设 P 到另一焦点的距离为 r,则 r+5=2a=10, ∴r=5. ?|BF1|+|BF2|=2a, ? (2)∵AB 过 F1,∴|AB|=|AF1|+|BF1|.由椭圆定义知,? ? ?|AF1|+|AF2|=2a, ∴|AB|+|AF2|+|BF2|=4a=20. 【答案】 (1)A (2)A 在椭圆中若遇到椭圆上的点到焦点的距离及动点到两定点的距离的和为定值的轨迹的 判断问题,常常用椭圆的定义进行解决. [再练一题] 1.(1)设 P 是椭圆 + =1 上的点,若 F1,F2 是椭圆的两个焦点,则|PF1|+|PF2|等 25 16 于( ) A.4 C.8 B.5 D.10 x2 y2 (2)已知 F1(-4,0), F2(4,0), 则到 F1, F2 两点的距离之和等于 8 的点的轨迹是________. 【解析】 (1)∵a=5,∴|PF1|+|PF2|=2a=10. (2)由于动点到 F1,F2 的距离之和恰巧等于 F1F2 的长度,故此动点的轨迹是线段 F1F2. 【答案】 (1)D (2)线段 F1F2 求椭圆的标准方程 根据下列条件,求椭圆的标准方程. (1)两个焦点的坐标分别为(-4,0)和(4,0),且椭圆经过点(5,0); (2)中心在原点,焦点在坐标轴上,且经过(2,0)和(0,1)两点; (3)焦点在 y 轴上,与 y 轴的一个交点为 P(0,-10),P 到离它较近的一个焦点的距离 等于 2. 【精彩点拨】 本题考查椭圆标准方程的求法,求椭圆的标准方程时,要先判断焦点位 置,确定出适合题意的椭圆标准方程的形式,最后由条件确定出 a 和 b 即可. x2 y 2 【自主解答】 (1)由于椭圆的焦点在 x 轴上,∴设它的标准方程为 2+ 2=1(a>b>0). a b ∴2a= + 2 2 2 + 2 - 2 =10,∴a=5. 又 c=4,∴b =a -c =25-16=9. 3 故所求椭圆的方程为 + =1. 25 9 (2)法一 当椭圆的焦点在 x 轴上时, 设所求椭圆的方程为 2+ 2=1(a>b>0). ∵椭圆经过两点(2,0),(0,1), 4 0 ? ?a +b =1, ∴? 0 1 ?a +b =1, ? 2 2 2 2 x2 y2 x2 y2 a b 则? ? ?a=2, ?b=1. ? ∴所求椭圆的方程为 +y =

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