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2018版高中数学必修二同步学习讲义(打包39份) 人教课标版13(优秀教案)

两条直线的交点坐标
两点间的距离
学习目标 .会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.会根据方程解的个数判定两条直 线的位置关系.掌握两点间距离公式并会应用.

知识点一直线的交点与直线的方程组解的关系

思考直线上的点与其方程++=的解有什么样的关系?

答案直线上每一个点的坐标都满足直线方程,也就是说直线上的点的坐标是其方程的解.反

之直线的方程的每一个解都表示直线上的点的坐标.

思考已知两条直线与相交,如何用代数方法求它们的交点的坐标?

答案只需写出这两条直线的方程,然后联立求解.

思考由两直线方程组成的方程组解的情况与两条直线的位置关系有何对应关系?

答案()若方程组无解,则∥; ()若方程组有且只有一个解,则与相交; ()若方程组有无数解,则与重合.

梳理()两直线的交点

几何元素及关系

代数表示



(,)

直线

:++=

点在直线上

++=

直线与的交点是

()两直线的位置关系

方程组的解 直线与的公共点的个数
直线与的位置关系
知识点二两点间的距离 已知平面上两点(,),(,). 思考当≠,=时,=? 答案=-. 思考当=,≠时,=? 答案=-. 思考当≠,≠时,=?请简单说明理由. 答案如图,在△中,=+,所以=.

一组 一个 相交

无数组 无数个
重合

无解 零个 平行

即两点(,),(,)间的距离=.

类型一两直线的交点问题

例分别判断下列直线是否相交,若相交,求出它们的交点.

():-=和:+-=; ():-+=和:-+=;

():++=和:=-+. 解()方程组的解为 因此直线和相交,交点坐标为(,-).

()方程组有无数个解, 这表明直线和重合.

()方程组无解, 这表明直线和没有公共点,故∥.

反思与感悟两条直线相交的判定方法

方法一 联立直线方程解方程组,若有一解,则两直线相交

方法二

两直线斜率都存在且斜率不相等

方法三

两直线的斜率一个存在,另一个不存在

跟踪训练直线=与直线+=的交点坐标是. 答案() 解析联立两方程得解得 所以两直线的交点坐标为().
例已知直线+=+与直线+=的交点位于第四象限,则的取值范围是. 答案(-,) 解析由得 由得∴-<<. 引申探究 若本例中直线的方程不变,其交点改为位于第三象限,则的取值范围又如何? 解由例得交点坐标为(,), 则由得<-. 反思与感悟解决此类问题的关键是先利用方程组的思想,联立两方程,求出交点坐标;再由 点在某个象限时坐标的符号特征,列出不等式组而求得参数的取值范围. 跟踪训练若直线:=++与:=-+的交点在第一象限,则实数的取值范围是() .>-.< .-<<.<-或> 答案 解析由得 由得 ∴-<<. 故选. 类型二求过两条直线交点的直线方程 例求过两直线--=和++=的交点且与直线+-=平行的直线方程. 解方法一解方程组 得 所以两直线的交点坐标为(-,-). 又所求直线与直线+-=平行,所以所求直线的斜率为-. 故所求直线方程为+=-(+), 即++=. 方法二设所求直线方程为 (--)+λ(++)=,

即(+λ)+(λ-)+(λ-)=.(*) 由于所求直线与直线+-=平行, 所以有 得 λ=. 代入(*)式,得(+)+(-)+(×-)=, 即++=. 引申探究 本例中若将“平行”改为“垂直”,又如何求解. 解设所求直线方程为(--)+λ(++)=, 即(+λ)+(λ-)+(λ-)=, 由于所求直线与直线+-=垂直, (+λ)+(λ-)×=,得 λ=-, 所以所求直线方程为--=. 反思与感悟求过两条直线交点的直线方程,一般是先解方程组求出交点坐标,再结合其他条 件写出直线方程.也可用过两条直线:++=与:++=的交点的直线系方程+++λ(++) =(不包括的方程),再根据其他条件求出待定系数,写出直线方程. 跟踪训练直线经过原点,且经过另两条直线++=,--=的交点,则直线的方程为() .+=.-= .+=.-= 答案 解析设所求直线方程为+++λ(--)=, 即(+λ)+(-λ)+-λ=, 因为过原点,所以 λ=. 则所求直线方程为-=. 类型三两点间的距离公式及其应用 例如图,已知△的三顶点(-),(,-),(),
()判断△的形状; ()求△的面积. 解()方法一∵=

=, ==, 又==, ∴+=,且=, ∴△是等腰直角三角形. 方法二∵==, ==-, 则·=-,∴⊥. 又==, ==, ∴=,∴△是等腰直角三角形. ()△=·=()=, ∴△的面积为. 反思与感悟()判断三角形的形状,要采用数形结合的方法,大致明确三角形的形状,以确定 证明的方向. ()在分析三角形的形状时,要从两方面考虑:一是要考虑角的特征,主要考察是否为直角或 等角;二是要考虑三角形的长度特征,主要考察边是否相等或是否满足勾股定理. 跟踪训练已知点(-),(,),在轴上求一点,使=,并求的值. 解设(),=, =, ∵=, ∴=, 得=,∴(), ∴==.
.已知直线:+-=与:+-=相交,则它们的交点是() .(-,) .(,) .(,) .(-,-) 答案 解析由得 .已知点(-,-),(),且=,则的值为() ..-.或-.-或 答案

解析==, 解得=或-. .已知△的顶点坐标为(-),(-,-),(),则边上的中线长为. 答案 解析的中点坐标为(), 则的中线长为=. .斜率为-,且过两条直线-+=和+-=交点的直线方程为. 答案+-= 解析设所求直线方程为-++λ(+-)=, 即(+λ)+(λ-)+-λ=, ∴==-,解得 λ=. ∴所求直线方程为+-=. .点在第四象限,点到轴的距离为,到原点的距离为,求点的坐标. 解由题意得点的纵坐标为-,设(,-), 则=,=±. 又点在第四象限,∴=-(舍), ∴(,-).
.方程组有唯一解的等价条件是-≠,亦即两条直线相交的等价条件是-≠,直线+++λ(+ +)=(λ∈)是过直线:++=与:++=交点的直线(不含). .两点(,),(,)间的距离公式=与两点的先后顺序无关,其反映了把几何问题代数化的思想.
课时作业
一、选择题 .直线=和直线=的交点坐标是() .() .() .() .() 答案 解析由得交点坐标为(),故选. .已知两条直线+-=和-+=的交点在轴上,那么的值是() .-. .±.以上都不对 答案

解析联立两条直线的方程得 解得=, ∵两直线交点在轴上,∴=, ∴=±(经检验知符合题意). .已知直角坐标平面上连接点(-)和点的线段的中点是(),那么点到原点的距离为() . . 答案 解析设(,), 由题意得解得 ∴(,-). 则到原点的距离为=. .已知直线=++与直线=-+的交点位于第一象限,则实数的取值范围是()
答案 解析直线=-+与两坐标轴的交点为()、(),直线=++恒过定点(-),要使两直线的交点位 于第一象限,只需实数满足:<<,即-<<. .过两直线+-=与+-=的交点,并且与第一条直线垂直的直线方程是() .-+=.-+= .-+=.-+= 答案 解析直线+-=与+-=的交点为(-),与+-=垂直,得斜率为,由点斜式,得-=(+), 即-+=,故选. .已知直线+-=与-+=互相垂直,垂足坐标为(,),则-+为() .. ..- 答案 解析两直线互相垂直,-×=-,=, 又垂足坐标为(,),代入直线+-=, 得=-, 将(,-)代入直线-+=,得=-, 所以-+=,故选. .已知△的三个顶点是(-)、()和(,),则△的形状是()

.等腰三角形.等边三角形 .直角三角形.斜三角形 答案 解析∵=, ==, ==, ∴=+, ∴△为直角三角形. .直线+-=上与点(-)的距离等于的点的坐标是() .(-) .(-) .(-)或(-) .(-)或() 答案 解析设所求点的坐标为(,),有 +-=,且=, 两式联立解得或故选. 二、填空题 .过点(,)和(,)的直线和直线=+平行,则=. 答案 解析因为==-=,所以==. .若集合{(,)+-=且-+=} {(,)=+},则=. 答案 解析首先方程组的解为 代入直线=+得=. .等腰△的顶点是(),底边长=,边的中点是(),则此三角形的腰长为. 答案 解析==, ==.在△中, 由勾股定理得腰长==. .若直线:=-与直线:+-=的交点位于第一象限,则直线的倾斜角 α 的取值范围是. 答案(°,°) 解析直线:+-=过(),(),而过定点(,-),

由图象可知 ∴倾斜角 α 的范围是(°,°). 三、解答题 .过点()作直线+-=的垂线,求垂足坐标. 解设与+-=垂直的直线方程为-+=, 又∵直线过点(),∴×-×+=,∴=, ∴过点()与+-=垂直的直线方程为-+=. 解方程组得垂足坐标为(-). 四、探究与拓展 .已知,∈,=+,则的最小值是() ... 答案 解析=+可以看作是点(,)到点(-)与点()的距离之和,数形结合易知最小值为. .若直线过点(,-)与已知直线:+-=相交于点,且=,求直线的方程. 解当直线的斜率不存在时,过点(,-)的直线为=, 解方程组求得点坐标为(), 此时=,=即为所求. 当直线的斜率存在时,设过(,-)的直线为+=(-),解方程组 得两直线的交点为(≠-,否则与已知直线平行),则点坐标为(,). 由已知(-)+(+)=,解得=-, ∴+=-(-),即++=. 综上可知,所求直线的方程为=或++=.
学习是一件增长知识的工作,在茫茫的学海中,或许我们困苦过,在艰难的竞争中,或许我们疲劳过,在失败的阴影中,或许我们失望过。但我们发现自己的知识在慢慢的增长,从哑哑学语的 婴儿到无所不能的青年时,这种奇妙而巨大的变化怎能不让我们感到骄傲而自豪呢?当我们在学习中遇到困难而艰难的战胜时,当我们在漫长的奋斗后成功时,那种无与伦比的感受又有谁能表 达出来呢?因此学习更是一件愉快的事情,只要我们用另一种心态去体会,就会发现有学习的日子真好! 如果你热爱读书,那你就会从书籍中得到灵魂的慰藉;从书中找到生活的榜样;从书中 找到自己生活的乐趣;并从中不断地发现自己,提升自己,从而超越自己。 明天会更好,相信自己没错的! 我们一定要说积极向上的话。只要持续使用非常积极的话语,就能积累起相关的重 要信息,于是在不经意之间,我们就已经行动起来,并且逐渐把说过的话变成现实。


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