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古冶区外国语学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

古冶区外国语学校 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 设函数 f(x)在 x0 处可导,则 A.f′(x0) B.f′(﹣x0) 率(不小于 80 分)为( C.﹣f′(x0) ) D.﹣f(﹣x0) 等于( )

座号_____

姓名__________

分数__________

2. 对某班学生一次英语测验的成绩分析,各分数段的分布如图(分数取整数),由此,估计这次测验的优秀

A.92%

B.24%

C.56%

D.5.6% )

3. 某单位综合治理领导小组成员之问的领导关系可以用框图表示,这种框图通常称为( A.程序流程图 B.工序流程图 C.知识结构图 D.组织结构图

4. 如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,底面 ABCD 是菱形,AB=2,∠BAD=60°. (Ⅰ)求证:BD⊥平面 PAC; (Ⅱ)若 PA=AB,求 PB 与 AC 所成角的余弦值; (Ⅲ)当平面 PBC 与平面 PDC 垂直时,求 PA 的长.

【考点】直线与平面垂直的判定;点、线、面间的距离计算;用空间向量求直线间的夹角、距离. 5. 已知 {an } 是等比数列, a2 ? 2,a5 ?

1 ,则公比 q ? ( 4



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A. ?

1 2
B.y=﹣x+

B.-2 )

C.2

D.

1 2

6. 在定义域内既是奇函数又是减函数的是( A.y=

C.y=﹣x|x| D.y= 7. 已知向量 =(1, A.1 B. ), =( C. ,x)共线,则实数 x 的值为( tan35° ) D.tan35° )

8. 设复数 z ? 1 ? i ( i 是虚数单位),则复数

A. 1 ? i B. 1 ? i C. 2 ? i 【命题意图】本题考查复数的有关概念,复数的四则运算等基础知识,意在考查学生的基本运算能力. 9. 如果过点 M(﹣2,0)的直线 l 与椭圆 有公共点,那么直线 l 的斜率 k 的取值范围是( )

2 ? z2 ? ( z D. 2 ? i

A.

B.

C.

D. )

10. +∞) =0, f 若函数 f (x) 是奇函数, 且在 (0, 上是增函数, 又f (﹣3) 则 (x﹣2) (x) <0 的解集是 ( (2,+∞) 11.i 是虚数单位,计算 i+i2+i3=( A.﹣1 A、 22 B.1 B、 23 ) C.﹣i C、 24 D、 25 D.i

A.(﹣3,0)∪(2,3) B.(﹣∞,﹣3)∪(0,3) C.(﹣∞,﹣3)∪(3,+∞) D.(﹣3,0)∪

12.在等差数列 {an } 中,首项 a1 ? 0, 公差 d ? 0 ,若 ak ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a7 ,则 k ?

二、填空题
13.已知复数 14.(
50 100 ,则 1+z +z =

. .

7 2 ﹣2) 的展开式中,x 的系数是

15.观察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 … 照此规律,第 n 个等式为 .

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2 2 16. 0) 3) 已知点 A (2, , 点B (0, , 点 C 在圆 x +y =1 上, 当△ ABC 的面积最小时, 点 C 的坐标为



17.幂函数 f ( x) ? (m2 ? 3m ? 3) x m cm3.

2

?2m?1

在区间 ?0,??? 上是增函数,则 m ?



18.如图,在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=AD=3cm,AA1=2cm,则四棱锥 A﹣BB1D1D 的体积为

三、解答题
19.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C 由圆弧 C1 和圆弧 C2 相接而成,两相接点 M,N 均在直线 x=5 上,圆弧 C1 的圆心是坐标原点 O,半径为 13;圆弧 C2 过点 A(29,0). (1)求圆弧 C2 的方程; (2)曲线 C 上是否存在点 P,满足 ?若存在,指出有几个这样的点;若不存在,请说明理由.

20.已知函数

(a≠0)是奇函数,并且函数 f(x)的图象经过点(1,3),

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(1)求实数 a,b 的值; (2)求函数 f(x)的值域.

21.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2n2﹣19n+1,记 Tn=|a1|+|a2|+…+|an|. (1)求 Sn 的最小值及相应 n 的值; (2)求 Tn.

22.已知正项数列{an}的前 n 项的和为 Sn,满足 4Sn=(an+1)2. (Ⅰ)求数列{an}通项公式; (Ⅱ)设数列{bn}满足 bn=
* (n∈N ),求证:b1+b2+…+bn< .

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 以坐标原点为极点,以 x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 C 的参数方程为 ?

? ? x ? 2 cos? (? ? ? y ? 2 sin ?

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为参数, ? ? [0, ? ] ),直线 l 的参数方程为 í

ì ? x = 2 + t cos a ( t 为参数). ? ? y = 2 + t sin a

(I)点 D 在曲线 C 上,且曲线 C 在点 D 处的切线与直线 x + y +2=0 垂直,求点 D 的极坐标; (II)设直线 l 与曲线 C 有两个不同的交点,求直线 l 的斜率的取值范围. 【命题意图】 本题考查圆的参数方程、 直线参数方程、 直线和圆位置关系等基础知识, 意在考查数形结合思想、 转化思想和基本运算能力.

24.已知椭圆 C :

3 1 x2 y 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 ),点 (1, ) 在椭圆 C 上,且椭圆 C 的离心率为 . 2 2 2 a b

(1)求椭圆 C 的方程; (2)过椭圆 C 的右焦点 F 的直线与椭圆 C 交于 P , Q 两点, A 为椭圆 C 的右顶点,直线 PA , QA 分别 交直线: x ? 4 于 M 、 N 两点,求证: FM ? FN .

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古冶区外国语学校 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】C 【解析】解: 故选 C. 2. 【答案】C 【解析】解:这次测验的优秀率(不小于 80 分)为 0.032×10+0.024×10=0.56 故这次测验的优秀率(不小于 80 分)为 56% 故选 C 【点评】在解决频率分布直方图时,一定注意频率分布直方图的纵坐标是 3. 【答案】D 【解析】解:用来描述系统结构的图示是结构图, 某单位综合治理领导小组成员之问的领导关系可以用组织结构图表示. 故选 D. 【点评】本题考查结构图和流程图的概念,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答. 4. 【答案】 【解析】解:(I)证明:因为四边形 ABCD 是菱形,所以 AC⊥BD, 又因为 PA⊥平面 ABCD,所以 PA⊥BD,PA∩AC=A 所以 BD⊥平面 PAC (II)设 AC∩BD=O,因为∠BAD=60°,PA=AB=2, 所以 BO=1,AO=OC= 坐标系 O﹣xyz,则 P(0,﹣ 所以 ,2),A(0,﹣ ,﹣2), ,0),B(1,0,0),C(0, ,0) , 以 O 为坐标原点,分别以 OB,OC 为 x 轴、y 轴,以过 O 且垂直于平面 ABCD 的直线为 z 轴,建立空间直角 . =﹣ =﹣f′(x0),

=(1,

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设 PB 与 AC 所成的角为 θ,则 cosθ=| (III)由(II)知 则 设平面 PBC 的法向量 =(x,y,z) 则 所以 =0, 令 , ,因为平面 PBC⊥平面 PDC, =0,解得 t= , , ,设 ,

平面 PBC 的法向量所以 同理平面 PDC 的法向量 所以 所以 PA= =0,即﹣6+ .

【点评】本小题主要考查空间线面关系的垂直关系的判断、异面直线所成的角、用空间向量的方法求解直线的 夹角、距离等问题,考查数形结合、化归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求 解能力 5. 【答案】D 【解析】 试题分析:∵在等比数列 {a n } 中, a 2 ? 2, a 5 ? 考点:等比数列的性质. 6. 【答案】C 【解析】解:A. B. 时,y= 在定义域内没有单调性,∴该选项错误; ,x=1 时,y=0;

a 1 1 1 3 ,? q ? 5 ? ,? q ? . 4 a2 8 2

∴该函数在定义域内不是减函数,∴该选项错误; C.y=﹣x|x|的定义域为 R,且﹣(﹣x)|﹣x|=x|x|=﹣(﹣x|x|); ∴该函数为奇函数; ;
2 2 ∴该函数在[0,+∞),(﹣∞,0)上都是减函数,且﹣0 =0 ;

∴该函数在定义域 R 上为减函数,∴该选项正确;

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D. ∵﹣0+1>﹣0﹣1;



∴该函数在定义域 R 上不是减函数,∴该选项错误. 故选:C. 【点评】考查反比例函数的单调性,奇函数的定义及判断方法,减函数的定义,以及分段函数单调性的判断, 二次函数的单调性. 7. 【答案】B 【解析】解:∵向量 =(1, ∴x= 故选:B. 【点评】本题考查了向量的共线的条件和三角函数的化简,属于基础题. 8. 【答案】A 【 解 析 】 = ), =( = ,x)共线, = ,

9. 【答案】D 【解析】解:设过点 M(﹣2,0)的直线 l 的方程为 y=k(x+2), 联立
2 2 2 2 ,得(2k +1)x +8k x+8k ﹣2=0,

∵过点 M(﹣2,0)的直线 l 与椭圆
4 2 2 ∴△=64k ﹣4(2k +1)(8k ﹣2)≥0,

有公共点,

整理,得 k 解得﹣

2

, . , ].

≤k≤

∴直线 l 的斜率 k 的取值范围是[﹣ 故选:D.

【点评】 本题考查直线的斜率的取值范围的求法, 是基础题, 解题时要认真审题, 注意根的判别式的合理运用.

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10.【答案】A 【解析】解:∵f(x)是 R 上的奇函数,且在(0,+∞)内是增函数, ∴在(﹣∞,0)内 f(x)也是增函数, 又∵f(﹣3)=0, ∴f(3)=0 ∴当 x∈(﹣∞,﹣3)∪(0,3)时,f(x)<0;当 x∈(﹣3,0)∪(3,+∞)时,f(x)>0; ∴(x﹣2)?f(x)<0 的解集是(﹣3,0)∪(2,3) 故选:A. 11.【答案】A
2 【解析】解:由复数性质知:i =﹣1 2 3 故 i+i +i =i+(﹣1)+(﹣i)=﹣1

故选 A 【点评】本题考查复数幂的运算,是基础题. 12.【答案】A 【解析】 ak ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a7 ? 7 a1 ? ∴ k ? 22 .

7?6 d ? 21d ? a1 ? (22 ?1)d , 2

二、填空题
13.【答案】 i . 【解析】解:复数 ,

2 2 50 100 25 50 所以 z =i,又 i =﹣1,所以 1+z +z =1+i +i =1+i﹣1=i;

故答案为:i.
2 【点评】本题考查了虚数单位 i 的性质运用;注意 i =﹣1.

14.【答案】﹣280 解:∵( 由
7 ﹣2) 的展开式的通项为

=



,得 r=3. .

∴x2 的系数是

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故答案为:﹣280. 15.【答案】 n+(n+1)+(n+2)+…+(3n﹣2)=(2n﹣1)2 .

【解析】解:观察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 … 等号右边是 12,32,52,72…第 n 个应该是(2n﹣1)2 左边的式子的项数与右边的底数一致, 每一行都是从这一个行数的数字开始相加的, 照此规律,第 n 个等式为 n+(n+1)+(n+2)+…+(3n﹣2)=(2n﹣1)2, 故答案为:n+(n+1)+(n+2)+…+(3n﹣2)=(2n﹣1)2 【点评】本题考查归纳推理,考查对于所给的式子的理解,主要看清楚式子中的项与项的数目与式子的个数之 间的关系,本题是一个易错题. 16.【答案】 ( , ) .

2 2 【解析】解:设 C(a,b).则 a +b =1,①

∵点 A(2,0),点 B(0,3), ∴直线 AB 的解析式为:3x+2y﹣6=0. 如图,过点 C 作 CF⊥AB 于点 F,欲使△ABC 的面积最小,只需线段 CF 最短. 则 CF= ∴a= ,② ,b= , , ). , ). ≥ ,当且仅当 2a=3b 时,取“=”,

联立①②求得:a= 故点 C 的坐标为( 故答案是:(

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【点评】本题考查了圆的标准方程、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式,考查了推理能力与计算能 力,属于中档题. 17.【答案】 【解析】

【方法点睛】本题主要考查幂函数的定义与性质,属于中档题.幂函数定义与性质应用的三个关注点: (1)若幂 函数 y ? x 数y?x
?

?? ? R? 是偶函数,则 ? 必为偶数.当 ? 是分数时,一般将其先化为根式,再判断;(2)若幂函 ?? ? R? 在 ? 0, ??? 上单调递增,则 ? ? 0 ,若在 ? 0, ??? 上单调递减,则 ? ? 0 ;(3)在比较幂值
?

的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较. 1 18.【答案】 6

【解析】解:过 A 作 AO⊥BD 于 O,AO 是棱锥的高,所以 AO= 所以四棱锥 A﹣BB1D1D 的体积为 V= 故答案为:6. =6.

=



三、解答题
19.【答案】
2 2 【解析】解:(1)圆弧 C1 所在圆的方程为 x +y =169,令 x=5,

解得 M(5,12),N(5,﹣12)…2 分

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则直线 AM 的中垂线方程为 y﹣6=2(x﹣17), 令 y=0,得圆弧 C2 所在圆的圆心为 (14,0), 又圆弧 C2 所在圆的半径为 29﹣14=15,
2 2 所以圆弧 C2 的方程为(x﹣14) +y =225(5≤x≤29)…5 分

(2)假设存在这样的点 P(x,y),则由 PA= 由 由

PO,得 x2+y2+2x﹣29=0 …8 分

,解得 x=﹣70 (舍去) 9 分 ,解得 x=0(舍去),

综上知,这样的点 P 不存在…10 分 【点评】本题以圆为载体,考查圆的方程,考查曲线的交点,同时考查距离公式的运用,综合性强.

20.【答案】 【解析】解:(1)∵函数 ∴ , 是奇函数,则 f(﹣x)=﹣f(x)

∵a≠0,∴﹣x+b=﹣x﹣b,∴b=0(3 分) 又函数 f(x)的图象经过点(1,3), ∴f(1)=3,∴ ∴a=2(6 分) (2)由(1)知 当 x>0 时, 即 时取等号(10 分) ,∴ ,即 时取等号(13 分) (12 分) ,当且仅当 (7 分) , ,∵b=0,

当 x<0 时, 当且仅当

综上可知函数 f(x)的值域为

【点评】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用,转化函数研究性质是问题的关键.

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21.【答案】
2 【解析】解:(1)Sn=2n ﹣19n+1=2





∴n=5 时,Sn 取得最小值=﹣44.
2 (2)由 Sn=2n ﹣19n+1,

∴n=1 时,a1=2﹣19+1=﹣16. n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=2n2﹣19n+1﹣[2(n﹣1)2﹣19(n﹣1)+1]=4n﹣21. 由 an≤0,解得 n≤5.n≥6 时,an>0.
2 ∴n≤5 时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=﹣(a1+a2+…+an)=﹣Sn=﹣2n +19n﹣1.

n≥6 时,Tn=﹣(a1+a2+…+a5)+a6+…+an =﹣2S5+Sn =2n2﹣19n+89. ∴Tn= .

【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前 n 项和公式、不等式的解法、绝对值数列求和问题,考查了分 类讨论方法推理能力与计算能力,属于中档题. 22.【答案】
2 【解析】(Ⅰ)解:由 4Sn=(an+1) ,

令 n=1,得 又 4Sn+1=(an+1+1) , ∴ ∴an=1+2(n﹣1)=2n﹣1; (Ⅱ)证明:由(Ⅰ)可知,bn= 则 b1+b2+…+bn= = = 23.【答案】 .
2

,即 a1=1, ,整理得:(an+1+an)(an+1﹣an﹣2)=0.

∵an>0,∴an+1﹣an=2,则{an}是等差数列,

=



【解析】(Ⅰ)设 D 点坐标为 ( 2 cosq , 2 sin q ) ,由已知得 C 是以 O (0, 0) 为圆心, 2 为半径的上半圆,

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因为 C 在点 D 处的切线与 l 垂直,所以直线 OD 与直线 x + y +2=0 的斜率相同,? ? 为 (- 1,1) ,极坐标为 ( 2,

3? ,故 D 点的直角坐标 4

3p ). 4
2 2

(Ⅱ)设直线 l : y ? k ( x ? 2) ? 2 与半圆 x ? y ? 2( y ? 0) 相切时

| 2k ? 2 | 1? k 2

? 2

? k 2 ? 4k ? 1 ? 0

? k ? 2 ? 3 , k ? 2 ? 3 (舍去)

设点 B(? 2 ,0) ,则 k AB

?

2?0 ?2? 2 , 2? 2

故直线 l 的斜率的取值范围为 (2 ? 3,2 ? 2 ] . 24.【答案】(1) 【解析】 试题分析: (1)由题中条件要得两个等式,再由椭圆中 a, b, c 的等式关系可得 a , b 的值,求得椭圆的方程; (2)可设直线 P Q 的方程,联立椭圆方程,由根与系数的关系得 y1 ? y2 ?

x2 y 2 ? ? 1 ;(2)证明见解析. 4 3

?6 m ?9 , y1 y2 ? ,得 2 3m ? 4 3m 2 ? 4

直线 lPA ,直线 lQA ,求得点 M 、 N 坐标,利用 FM ? FN ? 0 得 FM ? FN .

9 ?1 ? a 2 ? 4b 2 ? 1, ? ? ?c 1 ? a ? 2, 试题解析: (1)由题意得 ? ? , 解得 ? ? ?b ? 3. ?a 2 2 2 2 ?a ? b ? c , ? ? 2 2 x y ? ? 1. ∴椭圆 C 的方程为 4 3

第 14 页,共 15 页

又 x1 ? my1 ? 1 , x2 ? my2 ? 1 ,

???? ? ???? 2 y1 2 y2 2 y1 2 y2 ) , N (4, ) ,则 FM ? (3, ) , FN ? (3, ), my1 ? 1 my2 ? 1 my1 ? 1 my2 ? 1 ?36 ???? ? ??? ? 2 y1 2 y2 4 y1 y2 3m2 ? 4 FM ? FN ? 9 ? ? ? 9? ? 9? ? 9?9 ? 0 2 ?6m2 ?9 my1 ? 1 my2 ? 1 1 ? m( y1 ? y2 ) ? m y1 y2 2 1? 2 ?m 3m ? 4 3m2 ? 4 ∴ FM ? FN
∴ M (4, 考点:椭圆的性质;向量垂直的充要条件.

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