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专业数学建模实验报告一


《数学建模与数学实验》实验报告
实验一、微积分基本模型及实验
专业、班级 课程编号 任课教师 信息 1101 81010240 学号 实验类型 201110010116 验证性 完成时间 评分 姓名 学时 2012-3-30 2 邵森

实验(上机)地点

教七楼数学实验中心 马新顺

一、实验目的及要求
1.掌握数学软件 Mathematica 的基本用法和一些常用的规则,能用该软件进行基本微积分运算, 并能进行一些简单的编程; 2.理解 Malthus 和 Logistic 人口增长模型,能够借助数学软件对增长率和人口上限等参数进行拟 合计算; 3.理解经济系统的蛛网模型和确定性存贮模型,了解微分方程和差分方程的稳定性理论在实际应 用的重要意义,能够借助数学软件求解微分方程、差分方程和代数方程; 4.理解两种存贮问题(即不允许缺货和允许缺货问题)的本质区别和联系,能够借助数学软件求 解并分析这两个问题。

二、借助数学软件,研究、解答以下问题
(一)利用中心差分公式,即

dx x(t ? 1) ? x(t ? 1) ? (?t ? 1) ,借助数学软件,从 P10 表 1 中的 dt 2?t

数据出发,重新计算教材 P11 中的表 2 和 P12 表 3。 [主要使用的 Mathematica 语句: Table,Fit 及循环控制语句] 【解】 :给出你的计算或分析步骤、结果,列出必要的程序清单等 P11 表 2 程序代码如下:
%人口数据处理拟合 data1=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4 281.4]; y=log(data1); y0=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0]; y1=log(y0); t=[0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21]; t1=[0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11]; A1=polyfit(t1,y1,1) B1=A1; x01=exp(B1(2)) r1=B1(1) for i=1:12 x1(i)=x01*exp(r1*(i-1)); %A1 1790-1900 %t1=0:11;

end x1 A2=polyfit(t,y,1) B2=A2; x02=exp(B2(2)) r2=B2(1) for i=1:22 x2(i)=x02*exp(r2*(i-1)); end x2 计算结果如下:x2/ %A2 1790-2000

年 实际人口 计算人口x1 计算人口x2 1830 12.9 12.5488071 0.13571880 1880 50.2 49.4640360 0.37299008 1930 123.2 1.02507239 1980 226.5 2.81716180

1.0e+002 1790 3.9 4.18844446 0.06044971 1840 17.1 16.5097260 0.16613130 1890 62.9 65.0769171 0.45657143 1940 131.7 1.25477537 1990 251.4 3.44844451

1800 5.3 5.51048953 0.07399556 1850 23.2 21.7208735 0.20335878 1900 76.0 85.6178646 0.55888208 1950 150.7 1.53595127 2000 281.4 4.22118798

1810 7.2 7.24982632 0.09057683 1860 31.4 28.5768732 0.24892836 1910 92.0 0.68411897 1960 179.3 1.88013437

1820 9.6 9.53816924 0.11087370 1870 38.6 37.5969079 0.30470938 1920 106.5 0.83741953 1970 204.0 2.30144362

(二)针对 3 种人口增长模型:

? dx ? rx ? (1) ? dt ? x(0) ? x0 ?

x ? dx ? ? rx(1 ? ) xm (2) ? dt ? x(0) ? x 0 ?

? dx ? ? r ( xm ? x) (3) ? dt 。 ? x(0) ? x0 ?

1. 用数学软件求解(1)-(3) ,给出计算结果;

2. 验证(2)的解的拐点为: (

ln( xm ? x0 ) ? ln x0 xm , ) ; r 2

3. 针对具体的 xm , x0 , r ,画出以上 3 个模型的解的图像加以比较,给出你的比较结果。 [主要使用的 Mathematica 语句:DSolve, Solve, Plot 等语句] 【解】 :1.1

dsolve('Dx=r*x','x(0)=x0','t') ans = x0*exp(r*t) 1.2 dsolve('Dx=r*x*(1-x/xm)','x(0)=x0','t') ans = -xm/(exp(xm*(log((x0 - xm)/x0)/xm - (r*t)/xm)) - 1) 1.3 dsolve('Dx=r*(xm-x)','x(0)=x0','t') ans = xm + (x0 - xm)/exp(r*t)
2.验证 带入 (

ln( xm ? x0 ) ? ln x0 xm , ) r 2

3.数据图像

800 700 600

模型预测的人口值

500 400 300 200 100 0

0

5

10 15 时 间 轴 /10年

20

25

程序代码如下:
xm=433.9886; r=0.2490; x0=3.9; t=[0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21]; x1=x0*exp(r*t); x2=-xm./(exp(xm*(log((x0 - xm)/x0)/xm - (r*t)/xm)) - 1); x3=xm + (x0 - xm)./exp(r*t); plot(t,x1,'r',t,x2,'y',t,x3,'b') grid on xlabel('时间轴/10年') ylabel('模型预测的人口值')

(三)借助数学软件研究确定性存贮问题: 1.针对不允许缺货和允许缺货最优存贮模型,试求其解析解; 2.画图研究最优订货周期和订货量与需求量 r 、订货量才 c1 、存贮费 c 2 的关系(可自行给定其中 的两个值) ; 3. 比较两种情况下的费用大小。 [主要使用的 Mathematica 语句: Solve, “/.”替换模式,或自定义函数等] 【解】 : 1.1 不允许缺货:

f[T_]=c1/T+c2*r*T/2

f'[T_] 2 (c2 r)/2-c1/T_ Solve[{(c2 *r)/2-c1/T_ ? 0},T]
2

{{T?InverseFunction[Pattern,1,2][-((

2

c1
c2 r c1

c2 r c1

)/(c2

r)),_]},{T?InverseFunction[Pattern,1,2][(

2

c1

)/(c2 r),_]}

{{T?InverseFunction[Pattern,1,2][-(
c2 r c1

2 /

c2 r c1

),_]},{T?InverseFunction

[Pattern,1,2][ 得 T= 2c1r / c2

2 /

,_]}}

2c1/ c2r

代入 Q= 2c1r / c2 最小的总费用 C=sqrt(2c1c2r) 1.2 允许缺货 C[T_,Q_]=c1/T+c2*Q^2/(2*r*T)+c3 (r*T-Q)^2/(2*r*T) 2 2 D[c1/T+(c2 Q )/(2 r T)+(c3 (-Q+r T) )/(2 r T),{T,1}] 2 2 2 2 2 -(c1/T )-(c2 Q )/(2 r T )+(c3 (-Q+r T))/T-(c3 (-Q+r T) )/(2 r T ) 2 2 2 2 2 Simplify[-(c1/T )-(c2 Q )/(2 r T )+(c3 (-Q+r T))/T-(c3 (-Q+r T) )/(2 r T )] 2 2 2 2 2 -((c2 Q +c3 Q +2 c1 r-c3 r T )/(2 r T )) 2 2 D[c1/T+(c2 Q )/(2 r T)+(c3 (-Q+r T) )/(2 r T),{Q,1}] (c2 Q)/(r T)-(c3 (-Q+r T))/(r T) Simplify[(c2 Q)/(r T)-(c3 (-Q+r T))/(r T)] (c2 Q+c3 Q-c3 r T)/(r T) 2 2 2 2 Solve[{-(c1/T )-(c2 Q )/(2 r T )+(c3 (-Q+r T))/T-(c3 (-Q+r T) )/(2 r T )? 0},T]
2 2 2 2 {{T?-( c2 Q ? c3 Q ? 2 c1 r /( c3 r))},{T? c2 Q ? c3 Q ? 2 c1 r /( c3 r)}}
2

Solve[{(c2 Q)/(r T)-(c3 (-Q+r T))/(r T)? 0},Q] {{Q?(c3 r T)/(c2+c3)}} (四)借助数学软件研究差分方程: 1. 给出教材 P222 中 1(1)-(2)中 {xk } 所满足的差分方程; 2. 求解以上差分方程的特征根; 3. 验证:当 ?? ? 2 时,以上特征根 ? 满足

? ?1

[主要使用的 Mathematica 语句: RSolve,Solve,Simplify 等语句]

【解】 :1.(1) 简单的假设 yk ?1 由 x k ?1 和 x k 的平均值决定,模型为

? yk ?1 ? y0 ? ?? ((x k ?1 ? x k ) / 2 ? x0 ) ? ?x k ?1 ? x0 ? ? (yk ? y0 )
得 2xk ?2 ? ?? xk ?1 ? ?? xk ? 2(1 ? ?? ) x 0 1.(2) 设 x k ?1 也由 yk 和 yk ?1 的平均值决定,模型为

? yk ?1 ? y0 ? ?? ((x k ?1 ? x k ) / 2 ? x0 ) ? ?x k ?1 ? x0 ? ? ((yk ? yk ?1 ) / 2 ? y0 )
得 4 xk ?3 ? ?? xk ?2 ? 2?? xk ?1 ? ?? xk ? C 其特征方程为 4λ ?+α β λ ?+2α β λ +α β =0 2.(1)特征方程为:2λ ?+α β λ +α β =0 特征根求解: Solve[2*x^2+a*b*x+a*b? 0,x] {{x?1/4 (-a b? 8? ab

a

b

? 8? ab

)},{x?1/4 (-a b+

a

b

)}}

2.(2)特征方程为:4λ ?+α β λ ?+2α β λ +α β =0 特征根求解: Solve[4*x^3+a*b*x^2+2*a*b*x+a*b? 0,x] 2 2 {{x?-((a b)/12)-(24 a b-a b )/(12 (-216 a b+36 a^2 b^2-a^3 b^3+24
3

27 a2 b2 ? a3 b3

) )+1/12

1/3

(-216

a

b+36

a^2

b^2-a^3

b^3+24

3

27 a2 b2 ? a3 b3 )1/3},{x?-((a b)/12)+((1+?

3 ) (24 a b-a2 b2))/(24 (-216 a 3 ) (-216 a b+36 3 ) (24

b+36 a^2 b^2-a^3 b^3+24 a^2 b^2-a^3 b^3+24
2 2

3

27 a2 b2 ? a3 b3 )1/3)-1/24 (1-?

3

27 a2 b2 ? a3 b3 )1/3},{x?-((a b)/12)+((1-?
3 3

a b-a b ))/(24 (-216 a b+36 a^2 b^2-a^3 b^3+24 (1+?
3 ) (-216 a b+36 a^2 b^2-a^3 b^3+24

27 a2 b2 ? a3 b3 )1/3)-1/24
27 a2 b2 ? a3 b3 )1/3}}

3.(1)|α β |<2
m=0; for h=0:0.0001:2.0 % h=a*b A=[(1/4)*(-h+sqrt((h)^2-8*h)),(1/4)*(-h-sqrt((h)^2-8*h))];

for i=1:2 if (abs(A(i))<1) m=m+1; end if m==40002 disp('x的值小于0,验证通过') end end end

yz x 的值小于 1,验证通过 3.(2)|α β |<2

三、本次实验的难点分析
模型的理解及求解,数学软件运用不熟练;

四、参考文献
[1] F.S.Roberts.Discrete Mathematical Models[M].N.J:Prentice- Hall, Englawood Cliffs,1976. [2] T.L.Saaty,J.M.Alexander. Thinkingwith Mldels[M]. Oxfore:Pergamon Press,1976 [3] J.S.Berry.Teachingand ApplyingMathematical Modeling[M].John Wiley&Sons,1984. [4] 姜启源,谢金星,叶俊.数学模型(第三版) ,高等教育出版社,2003


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