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一元二次方程复习课件修


一元二次方程复习

第一关

知识要点说一说

方程两边都是整式 一元二次方程的定义 只含有一个未知数 ax?+bx+c=0(a?0) 求知数的最高次数是2

化成x 2 ? m ? m ? 0 ? ? x ? ? m 直接开平方法
一 因 式 分解法 化成A ? B ? 0 ? A ? 0或B ? 0 元 二 方 法 二次项系数为1,而一次项系数为偶数 次 一元二次方程的解法 配 方 程

求 根 公式法
2

化成一般形式ax 2 ? bx ? c ? 0

? a ? 0?

当b ? 4ac ? 0时,x ?

?b ?

b c 根与系数的关系: x1 ? x2 ? ? , x1 ? x2 ? a a

b 2 ? 4ac 2a

第二关

基础题目轮一轮

明辨是非
判断下列方程是不是一元二次方程,若不是一元二 次方程,请说明理由? 1、(x-1)2=4 √ × × 2、x2-2x=8 4、x2=y+1 6、ax2 + bx + c=1 √ × ×

3、x2+

1 =1 x

5、x3-2x2=1

一元二次方程的一般式

ax ? bx ? c ? 0 (a≠0)
2
一元二次方程 一般形式 二次项系数 一次项系 数 常数项

3x? =1
2y(y-3)= -4

3x?-1=0
2y2-6y+4=0

3 2

0

-6

-1 4

?m ? 2?x 2 ? ?m ? 2?x ? 2 ? 0 是关于x的一元二次 1、若
方程则m ≠- 2 。
m2 ?2

2、若方程 (m ? 2) x

? (m ? 1) x ? 2 ? 0

是关于x的一元二次方程,则m的值为
3.若x=2是方程x2+ax-8=0的解,则a= 2 4、写出一个根为5的一元二次方程 ;

2




1、已知一元二次方程(x+1)(2x-1)=0的解是( D ) (A)-1 (B)1/2 (C)-1或-2 (D)-1或1/2

2、已知一元二次方程x2=2x 的解是( D )
(A)0 (B)2 (C)0或-2 (D)0或2

第三关

典型例题显一显

用适当的方法解下列方程

?1? x

2

? 3x ? 0

? 2 ? (2 x ? 1)

2

?9 ? 0

? 3? x

2

? 4x ? 1

? 4? x

2

? 3x ? 1 ? 0

?1? x ? 3x ? 0
2

因式分解法:
1.用因式分解法的条件是:方程左边能 够分解为两个因式的积,而右边等于0的 方程; 2.形如:ax2+bx=o(即常数C=0).

一移-----方程的右边=0;

因式分解法的一 般步骤:

二分-----方程的左边因式分解; 三化-----方程化为两个一元一次方程; 四解-----写出方程两个解;

? 2 ? (2 x ? 1)

2

?9 ? 0

直接开平方法:
1.用开平方法的条件是:缺少一次项的 一元二次方程,用开平方法比较方便; 2.形如:ax2+c=o (即没有一次项).

a(x+m)2=k

? 3? x

2

? 4x ? 1

配方法:
用配方法的条件是:适应于任何一个
一元二次方程,但是在没有特别要求的 情况下,除了形如x2+2kx+c=0 用配方 法外,一般不用;(即二次项系数为1,

一次项系数是偶数。)

一化----把二次项系数化为1(方程的两边同
时除以二次项系数a)

配方法的一般步 骤:

二移----把常数项移到方程的右边; 三配----把方程的左边配成一个完全平方式; 四开----利用开平方法求出原方程的两个解.
★一化、二移、三配、四开、五解.

? 4? x

2

? 3x ? 1 ? 0
2

公式法:
用公式法的条件是:适应于任何一个
一元二次方程,先将方程化为一般形式, 再求出b2-4ac的值, b2-4ac≥0则方程有 实数根, b2-4ac<0则方程无实数根;

? b ? b ? 4ac ? x? 2a

当b2-4ac>0 时,方程有两个不相等的实数根;

方程根的情况与b2-4ac

当b2-4ac=0 时,方程有两个相等的实数根; 当b2-4ac<0 时,方程没有实数根.

的值的关系:

公式法虽然是万能的,对任何一元二次方程都适用,
但不一定是最简单的,因此在解方程时我们首先考虑能否 应用“直接开平方法”、“因式分解法”等简单方法,若 不行,再考虑公式法(适当也可考虑配方法)

第四关

反败为胜选一选

已知方程x2+kx = - 3 k=

的一个根是-1,则

4 , 另一根为______ x=-3

若a为方程 x2 ? x ? 5 ? 0 的解,则 a 2 ? a ? 1的值为
6

构造一个一元二次方程,要求: (1)常数项为零(2)有一根为2。

解方程:

? y ? 2? ? ?3 y ? 1?
2

2

解方程:

3 x? x ? 2 ? ? x ? 2

将4个数a、b、c、d排成2行2列,两边各加一条竖线记成

a b c d 若

, 定义

a b c d

? ad ? bc,这个式子叫做2阶行列式。

x+1 x-1 1-x x+1

=6则x=

? 2

m取什么值时,方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0有

两个相等的实数解

已知m为非负整数,且关于x的一元二次方程 :

(m ? 2) x 2 ? (2m ? 3) x ? m ? 2 ? 0
有两个实数根,求m的值。

说明:当二次项系数也含有待定的字母时,要注意 二次项系数不能为0,还要注意题目中待定字母的取 值范围.

认真想一想

例5.当m为何值时,关于x 的一元二次方程 这两个实数根是多少?
1 x ? 4 x ? m ? ? 0 有两个相等的实根,此时 2
2

认真做一做

m ? 1? x 2 ? 2mx ? m ? 3 ? 0 当m为何值时,方程 ?

(1)有两个相等实根; (2)有两个不等实根; (3)有实根; (4)无实数根; (5)只有一个实数根; (6)有两个实数根。

m-1≠0且Δ=0 m-1≠0且Δ>0 △≥0或者m-1=0 △<0且m-1≠0

m-1=0
△≥0且m-1≠0

列方程解应用题的解题过程。
1. 审清题意,弄清题中的已知量和 未知量找出题中的等量关系。 2. 恰当地设出未知数,用未知数的 代数式表示未知量。 3. 根据题中的等量关系列出方程。 4. 解方程得出方程的解。 5. 检验看方程的解是否符合题意。 6. 作答注意单位。

四.实际问题
一、常见实际问题运用举例:
(一) 变化率的题目 方法提示:增长率问题:设基数为a,平均增长率为x, 2 a(1+x) a(1+x) ,二次增长后的值为_ 则一次增长后的值为___ ___. 降低率问题:若基数为a,平均降低率为x, a(1-x)2 a(1-x) 则一次降低后的值为_______,二次降低后的值为______

巩固练习
1、某商厦二月份的销售额为100万元,三月份销售额下降了 20%,该商厦赶快改进经营措施,销售额开始稳步上升,五月份 销售额达到了135.2万元,设四、五月份的平均增长率为x,则 2 可列方程( 100(1-20%)(1+x)=135.2 )

增长率类应用题:
3.(09兰州)2008年爆发的世界金融危机, 是自上世纪三十年代以来世界最严重的一场 金融危机。受金融危机的影响,某商品原价 为200元,连续两次降价a%后售价为148元, 下面所列方程正确的是( ) B A.200(1+a%)2=148; C.200(1-2a%)=148; B.200(1-a%)2=148; D.200(1+a2%)=148;

利 润 问 题

新华商场销售某种水箱,每台进货价为2500元,市场调研表明:当 销售价为2900元时,平均每天能售出8台;而当销售价每降低50元时, 平均每天就能多售出4台.商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达 到5000元,每台冰箱的定价应为多少元? 本题的主要等量关系是什么? 每台冰箱的销售利润×平均每天销售冰箱的数量=5000元.
(2900-x) 如果设每台冰箱降价x元,那么每台冰箱的定价就是____________元,每

(2900-x-2500) 台冰箱的销售利润为_____________________元,平均每天销售冰箱的数

x ( 8 + 4× ) 量为_______________台,这样就可以列出一个方程,进而解决问题了. 50
解:设每台冰箱降价x元,根据题意,得

x ? ? ? 2900 ? x ? 2500 ? ? 8 ? 4 ? ? ? 5000. 50 ? ?
解这个方程,得
x1=x2=150. 2900-150 = 2750. 答:每台冰箱应定价2750元.

面 ? 如图,在一块长92m,宽60m的矩形 积 耕地上挖三条水渠,水渠的宽度都相等. 问 水渠把耕地分成面积均为885m2的6个 题 矩形小块,水渠应挖多宽.
解 : 设水渠的宽度xm, 根据题意, 得

(92 ? 2 x)?60 ? x? ? 6 ? 885.
x 2 ? 106 x ? 105 ? 0,

整理得 : 解得 :
? x1 ? 1; x2 ? 105(不合题意, 舍去).

答 : 水渠的宽度为1m.

练习
在宽为20m, 长为32m的矩形地面上修 筑同样宽的道路,余下的部分种上草坪, 要使草坪的面积为540㎡,求两种方案下的道 路的宽分别为多少?

(32-2x)(20-x)=540

(32-x)(20-x)=540

?例1.一次会议上,每两个参加会议的人都互相握了一 次手,有人统计一共握了66次手.这次会议到会的人数 是多少?
解 : 设这次到会的人数为x, 根据题意, 得

整理得 : 解得 :

x 2 ? x ? 132 ? 0.

x? x ? 1? ? 66. 2

1 ? 529 1 ? 23 ?x ? ? , 2 2 1 ? 23 1 ? 23 ? x1 ? ? 12; x2 ? ? 0(不合题意, 舍去). 2 2 答 : 这次到会的人数为 人. 12

4.甲公司前年缴税40万元,今年缴税48.4万元.
该公司缴税的年平均增长率为多少?

解 : 设每年平均增长率为x, 根据题意, 得

40(1 ? x) 2 ? 48.4.

解这个方程 :
? x1 ? ?1 ? 1.1 ? 10%; x2 ? ?1 ? 1.1 ? ?2.1 ? 0(不合题意, 舍去).

答 : 每年的平均增长率为 %. 10

其它类型应用题:
4.如图,Rt△ABC中,∠B=90°,AC=10cm, BC=6cm,现有两个动点P、Q分别从点A和点B同 时出发,其中点P以2cm/s的速度,沿AB向终点 B移动;点Q以1cm/s的速度沿BC向终点C移动, 其中一点到终点,另一点也随之停止。连结PQ。 A 设动点运动时间为x秒。 (3)是否存在x的值,使得四 (1)用含x的代数式表 (2)当为何值时, 边形APQC的面积等于20cm2?若 P 示BQ、PB的长度; △PBQ为等腰三角形; 存在,请求出此时x的值;若不 存在,请说明理由。 B Q C

认真做一做

某水果批发商场经销一种高档水果 如果每 千克盈利10元,每天可售出500千克,经市场 调查发现,在进货价不变的情况下,若每千 克涨价1元,日销售量将减少20千克,现该商 场要保证每天盈利6000元,同时又要使顾客 得到实惠,那么每千克应涨价多少元?商场 最多每天可赚多少钱?


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