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高考数学一轮复习 第七章 立体几何 . 空间点、直线、平面的位置关系练习 理-课件

第七章 立体几何 7.3 空间点、直线、平面的位置关系练习 理
[A 组·基础达标练] 1. [2015·广东高考]若空间中 n 个不同的点两两距离都相等, 则正整数 n 的取值( A.至多等于 3 C.等于 5 答案 B 解析 首先我们知道正三角形的三个顶点满足两两距离相等,于是可以排除 C、D.又注 意到正四面体的四个顶点也满足两两距离相等,于是排除 A,故选 B. 2.[2015·福建高考]若 l,m 是两条不同的直线,m 垂直于平面 α ,则“l⊥m”是“l ∥α ”的( ) B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 答案 B 解析 由“m⊥α 且 l⊥m”推出“l? α 或 l∥α ”, 但由“m⊥α 且 l∥α ”可推出“l ⊥m”,所以“l⊥m”是“l∥α ”的必要而不充分条件,故选 B. 3.[2016·威海模拟]设 A、B、C、D 是空间中四个不同的点,下列命题中,不正确的是 ( ) A.若 AC 与 BD 共面,则 AD 与 BC 共面 B.若 AC 与 BD 是异面直线,则 AD 与 BC 是异面直线 C.若 AB=AC,DB=DC,则 AD=BC D.若 AB=AC,DB=DC,则 AD⊥BC 答案 C 解析 若 AB=AC,DB=DC,AD 不一定等于 BC,故 C 不正确. 4. [2015·海口模拟]已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, O 是 BD1 的中点, 直线 A1C 交平面 AB1D1 于点 M,则下列结论错误的是 ( A.A1、M、O 三点共线 C.A、O、C、M 四点共面 答案 D 解析 由正方体的性质知,O 也是 A1C 的中点,因此 A1、M、O 三点共线,又直线与直线 外一点确定一个平面,所以 B、C 正确.由 BB1 与 A1C 异面知 D 错误.故选 D. 5.给出下列命题,其中正确命题的个数是 ( ) ①如果线段 AB 在平面 α 内,那么直线 AB 在平面 α 内;②两个不同的平面可以相交于 不在同一直线上的三个点 A、B、C;③若三条直线 a,b,c 互相平行且分别交直线 l 于 A,B, ) B.M、O、A1、A 四点共面 D.B、B1、O、M 四点共面 B.至多等于 4 D.大于 5 )

C 三点,则这四条直线共面;④若三条直线两两相交,则这三条直线共面;⑤两组对边相等
的四边形是平行四边形. A.1 C.3 答案 B B.2 D.4

1

解析 显然①③正确. 若两平面有三个不共线的公共点, 则这两平面重合, 故②不正确. 三 条直线两两相交于同一点时,三条直线不一定共面,故④不正确;两组对边相等的四边形可 能是空间四边形,⑤不正确.故选 B. 6. [2016·武汉模拟]如果两条异面直线称为“一对”, 那么在正方体的十二条棱中共有 异面直线( A.12 对 ) B.24 对 C.36 对 D.48 对

答案 B 解析 如图所示,与 AB 异面的直线有 B1C1,CC1,A1D1,DD1 四条,因为各棱具有相同的位 12×4 置且正方体共有 12 条棱,共有异面直线 =24(对).故选 B. 2

7. 如图,在正三角形 ABC 中,D,E,F 分别为各边的中点,G,H 分别为 DE,AF 的中点,将 △ABC 沿 DE,EF,DF 折成正四面体 P-DEF,则四面体中异面直线 PG 与 DH 所成的角的余弦值 为________. 答案 2 3

2

解析 折成的正四面体,如图,连接 HE,取 HE 的中点 K,连接 GK,PK. 则 GK∥DH,故∠PGK(或其补角)即为所求的异面直线所成的角. 设这个正四面体的棱长为 2, 在△PGK 中,PG= 3,GK= 3 , 2

PK=

1 +?
2

7 ? 3?2 ?= 2 , 2 ? ?

故 cos∠PGK=

PG2+GK2-PK2 2·PG·GK

? 3?2 ? 7?2 2 ? 3? +? ? -? ? ?2? ?2? 2 = = . 3 3 2× 3× 2
2 即异面直线 PG 与 DH 所成的角的余弦值为 . 3

8.[2015·云南师大附中模拟] 如图是某个正方体的展开图,l1,l2 是两条侧面对角线,则在正方体中,对于 l1 与 l2 的 下面四个结论中,正确的是________. π π ①互相平行;②异面垂直;③异面且夹角为 ;④相交且夹角为 . 3 3

3

答案 ④ 解析 将展开图还原成正方体如图所示,则 B,C 两点重合,故 l1 与 l2 相交,连接 AD, π 则△ABD 为正三角形,所以 l1 与 l2 的夹角为 . 3 9.[2015·昆明模拟]设 a,b,c 是空间的三条直线,下面给出四个命题: ①若 a⊥b,b⊥c,则 a∥c; ②若 a,b 是异面直线,b,c 是异面直线,则 a,c 也是异面直线; ③若 a 和 b 相交,b 和 c 相交,则 a 和 c 也相交; ④若 a 和 b 共面,b 和 c 共面,则 a 和 c 也共面. 其中真命题的个数是________. 答案 0 个 解析 ∵a⊥b,b⊥c, ∴a 与 c 可以相交、平行、异面,故①错. ∵a,b 异面,b,c 异面,则 a,c 可能异面、相交、平行,故②错. 由 a,b 相交,b,c 相交,则 a,c 可以异面、相交、平行,故③错. 同理④错,故真命题的个数为 0. 10.[2016·衡水模拟]A 是△BCD 所在平面外的一点,E,F 分别是 BC,AD 的中点. (1)求证:直线 EF 与 BD 是异面直线; (2)若 AC⊥BD,AC=BD,求 EF 与 BD 所成的角.

解 (1)证明:假设 EF 与 BD 不是异面直线,则 EF 与 BD 共面,从而 DF 与 BE 共面,即 AD 与

BC 共面,所以 A,B,C,D 在同一平面内,这与 A 是△BCD 所在平面外的一点相矛盾,故直线
4

EF 与 BD 是异面直线.
(2)取 CD 的中点 G,连接 EG,FG,则 EG∥BD, 所以相交直线 EF 与 EG 所成的角,即∠FEG 为异面直线 EF 与 BD 所成的角. 1 在 Rt△EGF 中,由 EG=FG= AC,求得∠FEG=45°. 2 即异面直线 EF 与 BD 所成的角为 45°. [B 组·能力提升练]

1. [2015·三亚模拟]如图, 正方形 ACDE 与等腰直角三角形 ACB 所在的平面互相垂直,且

AC=BC=2,∠ACB=90°,F,G 分别是线段 AE,BC 的中点,则 AD 与 GF 所成的角的余弦值
为( A. ) 3 6 3 6 B. 6 6 6 6

C.-

D.-

答案 A 解析 延长 CD 至 H,使 DH=1,连接 HG、HF,则 HF∥AD,HF=DA= 8,GF= 6,HG= 8+6-10 3 10,∴cos∠HFG= = ,故选 A. 6 2× 6× 8

2.[2013·安徽高考] 如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,P 为 BC 的中点,Q 为线段 CC1 上的动点,过点

A, P, Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S.则下列命题正确的是________(写出所有正确命
题的编号).

5

1 ①当 0<CQ< 时,S 为四边形; 2 1 ②当 CQ= 时,S 为等腰梯形; 2 3 1 ③当 CQ= 时,S 与 C1D1 的交点 R 满足 C1R= ; 4 3 3 ④当 <CQ<1 时,S 为六边形; 4 ⑤当 CQ=1 时,S 的面积为 答案 ①②③⑤ 解析 利用平面的基本性质结合特殊四边形的判定与性质求解. 1 ①当 0<CQ< 时,如图(1). 2 在平面 AA1D1D 内,作 AE∥PQ, 显然 E 在棱 DD1 上,连接 EQ, 则 S 是四边形 APQE. 6 . 2

1 ②当 CQ= 时,如图(2). 2 显然 PQ∥BC1∥AD1,连接 D1Q, 则 S 是等腰梯形. 3 ③当 CQ= 时,如图(3). 4 1 作 BF∥PQ 交 CC1 的延长线于点 F,则 C1F= . 2 1 作 AE∥BF,交 DD1 的延长线于点 E,D1E= ,AE∥PQ, 2 连接 EQ 交 C1D1 于点 R,由于 Rt△RC1Q∽Rt△RD1E, ∴C1Q∶D1E=C1R∶RD1=1∶2, 1 ∴C1R= . 3

6

3 ④当 <CQ<1 时,如图(3),连接 RM(点 M 为 AE 与 A1D1 交点),显然 S 为五边形 APQRM. 4 ⑤当 CQ=1 时,如图(4). 同③可作 AE∥PQ 交 DD1 的延长线于点 E,交 A1D1 于点 M,显然点 M 为 A1D1 的中点,所以 S 1 1 6 为菱形 APQM,其面积为 MP×AQ= × 2× 3= . 2 2 2

3. [2015·四川高考]如图,四边形 ABCD 和 ADPQ 均为正方形,它们所在的平面互相垂直, 动点 M 在线段 PQ 上,E,F 分别为 AB,BC 的中点.设异面直线 EM 与 AF 所成的角为 θ ,则 cosθ 的最大值为________. 答案 2 5

解析 取 BF 的中点 N,连接 MN,EN,则 EN∥AF,所以直线 EN 与 EM 所成的角就是异面 直线 EM 与 AF 所成的角.在△EMN 中,当点 M 与点 P 重合时,EM⊥AF,所以当点 M 逐渐趋近 于点 Q 时,直线 EN 与 EM 的夹角越来越小,此时 cosθ 越来越大.故当点 M 与点 Q 重合时, cosθ 取最大值.设正方形的边长为 4,连接 EQ,NQ,在△EQN 中,由余弦定理,得 cos∠QEN

7



EQ2+EN2-QN2 20+5-33 2 2 = =- ,所以 cosθ 的最大值为 . 2EQ·EN 5 5 2× 20× 5

4. 如图所示,在四面体 ABCD 中,E、G 分别为 BC、AB 的中点,F 在 CD 上,H 在 AD 上,且 有 DF∶FC=DH∶HA=2∶3.求证:EF、GH、BD 交于一点. 证明 连接 GE,FH. 1 因为 E、G 分别为 BC、AB 的中点,所以 GE∥AC,且 GE= AC, 2

又因为 DF∶FC=DH∶HA=2∶3, 2 所以 FH∥AC,且 FH= AC. 5 所以 FH∥GE,且 GE≠FH. 所以 E、F、H、G 四点共面, 且四边形 EFHG 是一个梯形. 设 GH 和 EF 交于一点 O. 因为 O 在平面 ABD 内,又在平面 BCD 内, 所以 O 在这两个平面的交线上. 因为这两个平面的交线是 BD,且交线只有这一条, 所以点 O 在直线 BD 上.
8

这就证明了 GH 和 EF 的交点也在 BD 上, 所以 EF、GH、BD 交于一点.

5.[2015·广东高考] 如右图,三角形 PDC 所在的平面与长方形 ABCD 所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC =3.点 E 是 CD 边的中点,点 F,G 分别在线段 AB,BC 上,且 AF=2FB,CG=2GB. (1)证明:PE⊥FG; (2)求二面角 P-AD-C 的正切值; (3)求直线 PA 与直线 FG 所成角的余弦值. 解 (1)证明:由 PD=PC=4 知,△PDC 是等腰三角形, 而 E 是底边 CD 的中点,故 PE⊥CD. 又平面 PDC⊥平面 ABCD, 平面 PDC∩平面 ABCD=CD, 故 PE⊥平面 ABCD, 又 FG? 平面 ABCD, 故 PE⊥FG. (2)∵平面 PDC⊥平面 ABCD,平面 PDC∩平面 ABCD=CD,AD⊥CD, ∴AD⊥平面 PDC,而 PD? 平面 PDC,故 AD⊥PD, 故∠PDC 为二面角 P-AD-C 的平面角. 在 Rt△PDE 中,PE= PD -DE = 7, ∴tan∠PDE= =
2 2

PE DE

7 , 3 7 . 3

故二面角 P-AD-C 的正切值是

(3)连接 AC.由 AF=2FB,CG=2GB 知,F,G 分别是 AB,BC 且靠近点 B 的三等分点,从而

FG∥AC,∴∠PAC 为直线 PA 与直线 FG 所成的角.
在 Rt△ADP 中,AP= PD +AD = 4 +3 =5. 在 Rt△ADC 中,AC= AD +CD = 3 +6 =3 5. 在△PAC 中,由余弦定理知,
2 2 2 2 2 2 2 2

PA2+AC2-PC2 52+?3 5?2-42 9 5 cos∠PAC= = = , 2PA·AC 25 2×5×3 5
9 5 故直线 PA 与直线 FG 所成角的余弦值是 . 25

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