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高三理科数学查漏补缺(1)

高三理科数学查漏补缺(1)
一、选择题 1.角 ? 和角 ? 的始边都是 x 轴的正半轴,终边关于 y 轴对称,则用 ? 表示角 ? 为( ) A. 2k? ?

?
2

? ?,k ?Z

B. 2k? ? ? , k ? Z D. 2k? ? ? , k ? Z

C. (2k ? 1)? ? ? , k ? Z 2.下列各组函数中表示同一函数的是( ) A. f ( x) ? x 与 g ( x) ? ( x )2 C. f ( x) ? ln e x 与 g ( x) ? eln x

B. f ( x) ?| x | 与 g ( x) ? D. f ( x) ?

3

x3

x2 ?1 与 g (t ) ? t ? 1(t ? 1) ? x ?1

3.若 ? 为三角形的一个内角,且 sin ? ? cos ? ? A.正三角形 B.直角三角形
2

2 ,则这个三角形是( ) 3
C.锐角三角形
3

D.钝角三角形

4.已知 i 为虚数单位,若复数 z 满足 z ? ?5 ,则 z 等于( ) A. ? 5 5i B. 5 5i C. ? 5i D. ? 5 5i

5. 设各项均不为零的数列 {cn } 中, 所有满足 ci ? ci?1 ? 0 的正整数 i 的个数称为这个数列 {cn } 的变号数,设数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? n2 ? 4n ? 4 ,令 cn ? 1 ? 的变号数为( A.2 ) B.3 C.4 D.5

4 (n ? N *) ,则数列 {cn } an

6.已知函数 f ( x) ? ?

? x 2 ? 4 x, x ? 0, 若 f (2 ? a2 ) ? f (a) ,则实数 a 的取值范围是( ) 2 ?4 x ? x , x ? 0.
B. (-1,2) D. (??,?2)

A. (??,?1) ? (2,??) C.(-2,1)
2 2

?(1,??)
1 4

7.双曲线 mx ? y ? 1的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m 等于( ) A. ?

1 4
2

B.-4

C.4

D.

8.从抛物线 y ? 4 x 上一点 P 引其准线的垂线,垂足为 M,设抛物线的焦点为 F,且

| PF |? 5 ,则△MPF 的面积为

( )

1

A. 5 6

B.

25 3 4

C.20

D.10

9.连结球面上两点的线段称为球的弦.半径为 4 的球的两条弦 AB、CD 的长度分别等于

2 7 、 4 3 ,M、N 分别为 AB、CD 的中点,每条弦的两端都在球面上运动,有下列四个
命题:①弦 AB、CD 可能相交于点 M:②弦 AB、CD 可能相交于点 N;③MN 的最大值为 5;④MN 的最小值为 1.其中真命题的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 10.设 a,b,c 是空间不重合的三条直线, ? , ? 是空间两个不同的平面,则下列命题中,逆 命题不成立的是( )

A.当 c ? a 时,若 c ? ? ,则 ? // ? B.当 b ? ? 时,若 b ? ? ,则 ? ? ? C.当 b ? ? ,且 c 是 a 在 ? 内的射影时,若 b ? c ,则 a ? b D.当 b ? ? ,且 c ? ? 时,若 c // ? ,则 b//c 二、填空题: 11.在正三棱锥 S-ABC 中,M,N 分别是棱 SC,BC 的中点且 MN ? AM ,若 SA ? 2 3 , 则正三棱锥 S-ABC 外接球的表面积为_________。 12.函数 y ? 3 sin x ? 2 cos x 取得最小值时, tan( x ?

?
4

) 的值为_________。

13.已知函数 f ( x) ?| 2 x ? 1 | ? | x ? 3 | ,若存在 x 使得 f ( x) ? a ? 0 成立,则实数 a 的取值 范围是___________。 14.若函数 f ( x) ?| x | ? a ? x 2 ? 2 , (a ? 0) 没有零点,则实数 a 的取值范围是_______。 15.若不等式 9 ? x 2 ? k ( x ? 2) ? 16.求函数 y ?

2 的解集为区间 [a, b] ,且 b-a=2,则 k=________

x2 ? (5 x ? 4) 0 的定义域________. lg( 4 x?3)

17.设 (1 ? x ? x2 )n ? a0 ? a1 x ? ? ? a2n x2n ,则 a2 ? a4 ? ? ? a2n 的值为________。 18.为落实素质教育,某学校拟从 4 个重点研究性课题和 6 个一般性研究性课题中各选 2 个 课题作为本年度该校启动的课题项目,若重点课题 A 和一般课题 B 至少有一个被选中的 不同选法种数是 k,那么二项式 (1 ? kx ) 的展开式中, x 的系数为________.
2 6
4

19.在命题“若抛物线 y ? ax ? bx ? c 的开口向下,则 {x | ax ? bx ? c ? 0} ? ? ”的①逆命 ?
2 2

题真、②否命题真、③逆否命题真,结论成立的是_____________。

2

20.设命题 p: 函数 f ( x ) ? (a ? ) 是 R 上的减函数, 命题 q: 函数 f ( x) ? x 2 ? 4x ? 3 在[0,
x

3 2

a]上的值域为[-1, 若“p 且 q”为假命题, 或 q”为真命题, a 的取值范围是_________。 3], “p 则 三、解答题 21.1,已知 sin( 3? ? ? ) ?

2 cos(

3? ? ? ) , 3 cos(?? ) ? ? 2 cos(? ? ? ) ,且 0 ? ? 2

? ? ,0 ? ? ? ? .求 ? 和 ? 的值.

2, 已知角 A、 C 为△ABC 的三个内角, B、 OM ? (sin B ? cos? , cosC),ON ? (sin C, sin B ? cosB) ,

1 OM ? ON ? ? . 5

2 cos
(1)求 tan2A 的值; (2)求

A ? 3 sin A ? 1 2 的值.

2 sin( A ? ) 4

?

22 如图(5),已知三棱柱 BCF-ADE 的侧面 CFED 与 ABFE 都是边长为 1 的正方形,M、N 两点分别在 AF 和 CE 上, 且 AM=EN. (1)求证:平面 ABCD ? 平面 ADE; (2)求证:MN//平面 BCF; (3)若点 N 为 EC 的中点,点 P 为 EF 上的动点,试求 PA+PN 的最小值. 23.一个正四而体的四个面上分别标有 1,2,3,4 四个数字,现随机投掷两次,正四面体面 朝下的数字分别为 x1、x2 ,记 ? ? ( x1 ? 3) ? ( x2 ? 3) .
2 2

(1)分别求出 ? 取得最大值和最小值对的概率; (2)求 ? 的分布列及数学期望.

3

24.已知正项数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 且函数 f ( x) ? ln x ? 为

x 在 x ? an 处的切线的斜率 4

Sn 2 ( n ? N *) . an

(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)求证:

1 1 1 1 5 ? 3 ? 3 ? L ? 3 ? (n ? N *) 3 a1 a2 a3 an 32

(3)是否存在非零整数 ? ,使不等式 ? (1 ?

?a 1 1 1 1 对一 )(1 ? ) ? L ? (1 ? ) cos n?1 ? 2 a1 a2 an an ? 1

切 n ? N * 都成立?若存在,求出 ? 的值;若不存在,说明理由.

25.已知中心在原点,焦点在坐标轴上的椭圆 ? ,它的离心率为

1 ,一个焦点和抛物线 2

y 2 ? ?4x 的焦点重合,过直线 l : x ? 4 上一点 M 引椭圆 ? 的两条切线,切点分别是 A,B.
(I)求椭圆 ? 的方程; (II)若在椭圆

xx y y x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上的点 ( x0 , y0 ) 处的椭圆的切线方程是 02 ? 02 ? 1 . 2 a b a b

求证:直线 AB 恒过定点 C;并出求定点 C 的坐标. (III)*是否存在实数,使得 ? 恒成立?(点 C 为直线 AB 恒过的 AC ? BC ? ? AC ? BC 定点)若存在,求出 ? 的值;若不存在,请说明理由。
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4

参考答案
一、选择题 题号 答案 1 C 2 D 12. ? 3 D 4 D 5 B 6 C 7 A 8 D 9 C 10 B

二、填空题 11. 36? ;

1 ; 5

13. (?? , ] ;

7 2

14. (0,1)

?(2,??) ;
18.54000;

15. 2 ;

16. (? ,? ) ? (? , )

3 4

1 2

1 4 2 5

4 ?( 5 ,?? ) ;

17.

3n ? 1 ; 2

19.③;

20.

3 5 ?a?2或 ?a?4 2 2

三、解答题

21.1 解:由已知得

①2+②2 得 sin 2 ? ? 3 cos2 a ? 2(sin2 ?

? cos2 ? ) ,
即 sin 2 ? ? 3(1 ? sin 2 ? ) ? 2 ,得 sin ? ?
2

1 2 ,? sin ? ? ? 2 .? 0 ? ? ? ? ,? sin ? 2

?

3 3 ? 3? ? 3? 2 cos ? ? ? ,?? ? 或 ? ? . 将 ? ? ,? ? 代入②得 cos ? ? 2 或 2 . 4 4 4 4 2

又? 0 ? ? ? ? ,? ? ?

?
6

或? ?

? ? 3? 5? 5? ,? ? .?? ? , ? ? 或 ? ? . 6 4 6 4 6

2 解: ?OM ? ON ? (sin B ? cos B) sin C ? cosC (sin B ? cos B) ? sin(B ? C ) ? cos(B ? C ) ? ? (1)

1 1 24 ,? sin A ? cos A ? ? ,① 两边平方并整理得: 2 sin A cos A ? ? , 5 5 25 ? 7 24 ?? ? 0 ,? A ? ( , ? ) ,? sin A ? cos A ? 1 ? 2 sin A cos A ? . ② 25 5 2 3 ? 3 4 3 2 tan A 2 ? ? 24 . sin ? 联立①②得: A ? , cos A ? ? , tan A ? ? , 2 A ? tan ? 5 5 4 1 ? tan 2 A 1 ? 9 7 16 A 3 2 cos2 ? 3 sin A ? 1 1 ? 3 ? (? ) 3 cos A ? 3 sin A 1 ? 3 tan A 2 4 ? 13 ? ? ? (2)? tan A ? ? ,? ? 3 4 cos A ? sin A 1 ? tan A 2 sin( A ? ) 1 ? (? ) 4 4
22 解: (1)∵四边形 CFED 与 ABFE 都是正方形? EF ? DE, EF ? AE , DE I EA ? E , 又

? EF ? 平面 ADE,………2 分 又? EF // AB,? AB ? 平面 ADE
5

? AB ? 平面 ABCD,∴平面 ABCD ? 平面 ADE
(2) :过点 M 作 MG ? EF 交 EF 于 G,连结 NG,则

……………4 分

又 NG ? 面 BCF, CF ? 面 BCF,∴NG//面 BCF,……7 分 ?

CN FM FG ? ? ,? NG // CF 6 分 NE MA GE

同理可证得 MG//面 BCF,又 MG I NG ? G ,∴平面 MNG//平面 BCF………9 分

? MN ? 平面 MNG,

∴MN//面 BCF.………10 分 (3)如图将平面 EFCD 绕 EF 旋转到与 ABFE 在同一平面内,则当点 A、P、N 在同一直线上时,PA+PN 最小,………………………11 分 在 ?AEN 中,? ?AEN ? 135? , AE ? 1, NE ?
2 2 2

2 2
o

由余弦定理得 AN ? AE ? EN ? 2 AE ? EN cos135 ,…13 分

? AN ?

10 2

即 ( PA ? PN ) min ?

10 2 .

………14 分

23 解:(1)掷出的点数 x 的可能取值为:1,2,3,4. 则 x-3 的可能取值分别为:-2,-1,0,1.于是 ( x ? 3)2 的所有可能取值分别为 0,1,4. 因此 ? 的所有可能取值为:0,1,2,4,5,8.

1 1 1 ? ? ; 4 4 16 1 1 1 2 2 当 x1=3 且 x2=3 时, ? ( x1 ? 3) ? ( x2 ? 3) 可取得最小值 0, 此时,P(? ? 0) ? ? ? . ? 4 4 16 1 (2)由(1)知 ? 的所有可能取值为:0,1,2,4,5,8. P (? ? 0) ? P (? ? 8) ? ; 16 4 当 ? ? 1 时, ( x1 , x2 ) 的所有取值为(2,3)、(4,3)、(3,2)、(3,4),即 P (? ? 1) ? ; 16 4 当 ? ? 2 时, ( x1 , x2 ) 的所有取值为(2,2)、(4,4)、(4,2)、(2,4),即 P (? ? 2) ? ; 16 2 当 ? ? 4 时, ( x1 , x2 ) 的所有取值为(1,3)、(3,1),即 P (? ? 4) ? ; 16 4 当 ? ? 5 时, ( x1 , x2 ) 的所有取值为(1,2)、(2,1)、(1,4)、(4,1),即 P (? ? 5) ? . 16
2 2 P 当 x1=1 且 x2=1 时, ? ( x1 ? 3) ? ( x2 ? 3) 可取得最大值 8, 此时, (? ? 8) ? ?

所以 ? 的分布列为:

6

即 ? 的期望 E? ? 0 ? 24.(1) f ' ( x) ?

1 1 1 1 1 1 ? 1? ? 2 ? ? 4 ? ? 5 ? ? 8 ? ? 3 . 16 4 4 8 4 16

a (a ? 2) 1 1 S 1 1 ? ,依题意, n ? f ' (an ) ? . ? ,即 S n ? n n 2 an 2x 4 4 2 an 4
a1 (a1 ? 2) ,解得 a1 ? 2 或 a1 ? 0 (舍去) . 4

当 n=1 时, a1 ? S1 ? 当 n ? 2 时,

由 an ? S n ? S n ?1 ?

a n (a n ? 2) 4

?

a n ? 1 (a n ? 1 ? 2) 4

2 2 ? an ? an ?1 ? 2(an ? an ?1 ) ,

? an ? 0,? an ? an ?1 ? 0 ,则 an ? an?1 ? 2 , ? ?{an } 是首项为 2,公差为 2 的等差数列,故 an ? 2n .
另法:易得 a1 ? 2, a2 ? 4, a3 ? 6 ,猜想 an ? 2n ,再用数学归纳法证明(略) . (2)证法一:?

1 1 1 1 1 ? ? ? ? 3 3 2 2 an (2n) 8n ? n 8n(n ? 1) 8(n ? 1)n(n ? 1) ? 1 1 1 [ ? ](n ? 2) 16 (n ? 1)n n(n ? 1)

∴当 n ? 2 时,

1 1 1 1 1 1 1 1 ? 3 ? 3 ?L? 3 ? 3 ? 3 ? 3 ?L? 3 ( 2n) 3 a1 a2 a3 an 2 4 6

?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? [( ? ) ?( ? )?L? ? ] 3 2 16 1? 2 2 ? 3 2 ? 3 3? 4 (n ? 1)n n(n ? 1)

?

1 8

?

1 1 1 1 1 1 5 [ ? ]? ? ? ? 16 2 n(n ? 1) 8 16 2 32
1 1 5 ? ? 显然成立. a13 8 32
2 2 3

当 n=1 时,不等式左边 ?

证法二:? n ? 4n(n ? 1) ? n(n ? 4n ? 4) ? n(n ? 2) ? 0 ,? n ? 4n(n ? 1) .
3

?

1 1 1 1 1 1 1 ? ? 3? ? ( ? )(n ? 2) . 3 3 an ( 2 n ) 8n 32n(n ? 1) 32 n ? 1 n

∴当 n ? 2 时,

1 1 1 1 1 1 1 1 ? 3 ? 3 ?L ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 ?L? 3 a1 a2 a3 an 2 4 6 (2n) 3
7

?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? L ? ( ? )1 ? ? (1 ? ) ? ? ? . 3 2 32 2 2 3 n ?1 n 8 32 n 8 32 32

当 n=1 时,不等式左边 ?

1 1 5 显然成立. ? ? a13 8 32

(3)由 an ? 2n ,得 cos 设 bn ?

?a n ? 1
2

? cos( n ? 1)? ? ( ?1) n ? 1 ,
,则不等式等价于 (?1) n?1 ? ? bn .

1 1 1 1 (1 ? )(1 ? ) ? L ? (1 ? ) an ? 1 a1 a2 an

bn?1 ? bn

an ? 1 1 (1 ? ) an?1 ? 1 an?1

?

2n ? 1 ? 1 (1 ? ) 2n ? 3 2n ? 2

2n ? 2 ? (2n ? 1)(2n ? 3)

4n 2 ? 8n ? 4 4n 2 ? 8n ? 3

?1

?bn ? 0,?bn?1 ? bn ,数列 {bn } 单调递增.
假设存在这样的实数 ? ,使得不等式 (?1)n?1 ? ? bn 对一切 n ? N * 都成立,则 ①当 n 为奇数时,得 ? ? (bn ) min ? b1 ?

2 3 3 ;

②当 n 为偶数时,得 ? ? ? (bn ) min ? b2 ? 综上, ? ? (?

8 5 8 5 ,即 ? ? ? . 15 15

8 5 2 3 , ) ,由 ? 是非零整数,知存在 ? ? ?1 满足条件. 15 3

x2 y2 解:(I)设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 。抛物线 y 2 ? ?4x 的焦点是(-1,0),故 c=1,又 a b
c 1 ? ,所以 a ? 2, b ? a 2 ? c 2 ? 3 。 a 2 x2 y2 ? ?1 所以所求的椭圆 ? 方程为 4 3

…………4 分

(II)设切点坐标为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,直线 l 上一点 M 的坐标(4,t) 。则切线方程分别为

x1 x y1 y x x y y t t ? ? 1 , 2 ? 2 ? 1 。又两切线均过点 M,即 x1 ? y1 ? 1, x2 ? y2 ? 1 ,即点 4 3 4 3 3 3 t A,B 的坐标都适合方程 x ? y ? 1 ,而两点之间确定唯一的一条直线,故直线 AB 的方程是 3 t x ? y ? 1 ,显然对任意实数 t,点(1,0)都适合这个方程,故直线 AB 恒过定点 C(1,0)。 3
……………9 分

8

(III)将直线 AB 的方程 x ? ?

t y ? 1 ,代入椭圆方程,得 3

t t2 3(? y ? 1) 2 ? 4 y 2 ? 12 ? 0 ,即 ( ? 4) 2 y 2 ? 2ty ? 9 ? 0 3 3
所以 y1 ? y2 ?

? 27 6t , y1 y2 ? 2 t ? 12 t ? 12
2

不妨设 y1 ? 0, y2 ? 0

AC ? ( x1 ? 1) 2 ? y12 ? (

t2 ? 9 t2 t2 ? 9 y2 ………12 分 ? 1) y12 ? y1 ,同理 BC ? ? 3 9 3

所以

( y2 ? y1 ) 2 3 1 1 3 1 1 3 y ?y ? ? ? ?( ? ) ? ? 2 1?? 2 y1 y2 | AC | BC t ?9 t 2 ? 9 y1 y2 t 2 ? 9 y1 y2

??

3 t ?9
2

( ?

6t 2 108 ) ? 2 1 144t 2 ? 9 ? 144 4 t ? 12 t ? 12 ? ? ? ; ? 27 9 3 t2 ? 9 2 t ? 12
2

4 AC ? BC 。 3 4 故存在实数 ? ? ,使得 AC ? | BC |? ? AC ? BC 。 3
即 | AC | ? BC |?

……15 分

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