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数学必修4第一章《三角函数》1.3三角函数诱导公式测试题


数学必修4第一章《三角函数》1.3 三角函数诱导公式测试题
A组 一、选择题:共 6 小题 1、(易 诱导公式)若 A、B、C 分别为 ?ABC 的内角,则下列关系中正确的是( A. sin(A ? B) ? sin C C. tan(A ? B) ? tanC B. cos(B ? C ) ? cos A D. sin(B ? C ) ? ? sin A ) )

2、(中 诱导公式) sin60? cos(?45? ) ? sin(?420? )cos(?570? ) 的值等于(

A.

6? 2 4

B.

6? 3 4
? 3

C.

6 ?3 4

D.

6 ?3 4
) D. ? 1

3、(易 诱导公式) sin( ? ) ? 2sin A .1 B.

4? 2? ? 3sin 等于( 3 3
C .0

1 2

4、(中 诱导公式、基本公式)已知 sin( ? ? ? ) ? log8 为( A. ? )

1 ? ,且 ? ? ( ? ,0) ,则 tan(2? ? ? ) 的值 4 2

2 5 5

B.

2 5 5

C. ?

2 5 5

D.

5 2
) D.±cos 2 ? sin 2 )

5、(中 诱导公式)化简 1 ? 2sin(? ? 2) ? cos(? ? 2) 得( A. sin 2 ? cos 2 B. cos 2 ? sin 2 C. sin 2 ? cos 2

6、(中 诱导公式)化简 sin( ?2) ? cos(2 ? ?) ? tan(2 ? 4?) 所得的结果是( A. 2sin 2 B. ?2sin 2 二、填空题:共 3 小题 C. 0 D.-1

7、 (易 诱导公式)若角 ? 与角 ? 的终边互为反向延长线,则 sin ? 与 sin ? 的关系是_______. 8、 (中 诱导公式、 基本公式)已知 sin ? ? ?

3 ,且 ? 是第四象限的角,则 cos(2? ? ? ) 的值是 . 5

9、(中 诱导公式)tan300° +tan765° 的值是_______. 三、解答题:共 2 小题 10、(中 诱导公式)化简:

sin 2 (? ? ?) ? cos( ? ? ? ) . tan( ? ? ? ) ? cos3 (?? ? ?) ? tan(?? ? 2?)

11. (难 诱导公式)已知 sin ? 是方程 5x ? 7 x ? 6 ? 0 的根,
2

3 3 sin( ?? ? ?) ? sin( ? ? ? ) ? tan 2 (2? ? ? ) 2 2 求 的值. ? ? 2 cos( ? ? ) ? cos( ? ? ) ? cos ( ? ? ? ) 2 2
B组 1、(中 诱导公式、基本公式)若 cos ?? ? ? ? ? A.

3 5

B. ?

3 5

C.

4 5

3 , ? ? ? ? 2?, 则 sin ? ?? ? 2?? 的值是( 5 4 D. ? 5
)

)

2、(中 诱导公式)在△ABC 中,若 sin( A ? B ? C ) ? sin( A ? B ? C ) ,则△ABC 必是( A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰或直角三角形 )

D.等腰直角三角形

3、(中 诱导公式)已知 sin(

π 3 π 3 +α)= ,则 sin( -α)值为( 4 4 2
C.

A.

1 2

B. —

1 2

3 2

D. —

3 2
x ,则下列等式成立的是( 2
)

4、(中 诱导公式、函数的性质)已知函数 f ( x ) ? cos A. f (2? ? x ) ? f ( x ) C. f ( ? x ) ? ? f ( x )

B. f (2? ? x ) ? f ( x ) D. f ( ? x ) ? f ( x )

5.(中 诱导公式)设 tan(5? ? ? ) ? m ,则

sin(? ? 3?) ? cos( ? ? ? ) 的值为( sin( ?? ) ? cos( ? ? ? )
D .1

)

A.

m ?1 m ?1

B.

m ?1 m ?1

C. ? 1

6、 (难 诱导公式)设函数 f ( x) ? a sin(?x ? ? ) ? b cos(?x ? ? ) ? 4 (其中 a、b、?、? 为非

) 零实数),若 f (2001 ? 5 ,则 f (2010) 的值是(
A.5 二、填空题:共 3 小题 B.3 C.8

) D.不能确定
?

7、(易 特殊三角函数值) f (cosx) ? cos3x, 则f (sin 30 )的值是 _________________

cos(? ? 4?)cos2 (? ? ?)sin 2 (? ? 3?) 8、(中 诱导公式)化简: = sin(? ? 4?)sin(5? ? ? )cos2 ( ?? ? ?)
9、(难 基本公式) sin 1 ? sin 2 ? sin 3 ? ? ? sin 89 ?
2 2 2 2 ? ? ? ?

.

三、解答题:共 2 小题

10.(中 诱导公式)已知函数 f ( x) ? ?

?sin ?x,( x ? 0) 11 11 ,试求 f (? ) ? f ( ) 的值 6 6 ? f ( x ? 1) ? 1( x ? 0)

11.(难 诱导公式)设 f (? ) ?

? 2cos3 ? ? sin 2 (? ? ?) ? 2cos( ?? ? ?) ? 1 ,求 f ( ) 的值. 2 3 2 ? 2cos (7? ? ? ) ? cos( ?? )

C组 解答题:共 2 小题 1.(难 诱导公式)已知 sin(? ? ? ) ? 1,求证: tan(2? ? ? ) ? tan ? ? 0

cos2 (n? ? x) ? sin 2 (n? ? x) 2.(较难 诱导公式、讨论)已知 f ( x ) ? (n ? Z) , cos2 [(2n ? 1)? ? x]
(1)化简 f ( x ) 的表达式; (2)求 f (

? 502? )? f( ) 的值. ???? ????
参考答案 A组

一、选择题:共 6 小题 1.A A ? B ? C ? ?, C ? ? ? ( A ? B),sin C ? sin(? ? A ? B) ? sin( A ? B ) 故选 A

2.D

s i n 6? 0 ?

3 c ,o s? 4 5?) ( ? 2

2 ? cos? 5 , 4 2
3 , 2

sin( ?420? ) ? sin( ?1 ? 360? ? 60? ) ? ? sin 60? ? ?

cos( ?570? ) ? cos( ?1 ? 360? ? 210? ) ? cos 210? ? cos(180? ? 30? ) ? ? cos30? ? ?
? 原式=
3 2 3 3 6 ?3 ? ? (? )(? )? 2 2 2 2 4

3 , 2

3.C sin( ? ) ? 2sin

4? 2? ? ? ? ? 3sin ? ? sin ? 2sin( ? ? ) ? 3sin( ? ? ) 3 3 3 3 3 ? ? ? ? ? sin ? 2sin ? 3sin ? 0 3 3 3

? 3

4.B sin( ? ? ? ) ? sin ? ? log8

1 2 ? 5 ? ? , 又 ? ? ( ? , 0), 得 cos ? ? 1 ? sin 2 ? ? 4 3 2 3

tan(2? ? ? ) ? tan( ?? ) ? ? tan ? ? ?
5.C

sin ? 2 5 ? cos ? 5

1 ? 2sin(? ? 2) ? cos(? ? 2) ? [sin( ? ? 2) ? cos(? ? 2)]2
? |sin(? ? 2) ? cos(? ? 2)|=|sin2 ? cos2|

∵sin2 ? 0 , cos2 ? 0 ,∴sin2 ? cos2 ? 0 ,∴ 1 ? 2sin(? ? 2) ? cos(? ? 2) =sin2 ? cos2 6.B

sin(?2) ? cos(2 ? ?) ? tan(2 ? 4?) ? ? sin 2 ? (? cos2) ? tan 2 ? ?2sin 2

二、填空题:共 3 小题 7. sin ? ? sin ? ∵ ? ? ? ? (2k ? 1)?, k ? Z ,∴ sin ? ? sin ? .

8.

4 3 3 4 sin ? ? ? , 且 ? 是第四象限的角,所以 cos? ? 1 ? sin 2 ? ? 1 ? ( ) 2 ? , 5 5 5 5

cos(2? ? ? ) ? cos( ?? ) ? cos ? ?
9.1- 3

4 . 5

原式=tan(360°-60° )+tan (2× 360° +45° )=-tan60° +tan45° =1- 3 .

三、解答题:共 2 小题 10.解:原式 ?

( ? sin ? ) 2 ? ( ? cos ?) tan ? ? cos 3( ? ? ?) ? ? ? tan(2 ? ? ?) ?

?

sin 2 ? ? ( ? cos ? ) tan ? ? ( ? cos ? )3 ? tan ?
sin 2 ? ? cos ? ? cot ? ? ?1 ? tan ? ? cos3 ?
3 或 sin ? ? 2 (舍). 5

?

2 11.解:∵sin ? 是方程 5x ? 7 x ? 6 ? 0 的根,∴sin ? ? ?

故 sin2α=

9 16 9 ? tan2α= . ,cos2α= 25 16 25

∴ 原式=

cos? ? (? cos? ) ? tan2 ? 9 ? tan2 ? ? 2 16 sin ? ? (? sin ? ) ? cot ?
B组

一、选择题:共 6 小题

1.D cos(? ? ?) ? ? cos ? ?

3 3? , ? ? ? ? 2?,?? ? ? ? .则 sin ? ? 0 , 5 2 4 sin( ?? ? 2?) ? ? sin(? ? 2?) ? sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? ? , 5

2.C ∵A ? B ? ? ? C , A ? C ? ? ? B ,∴sin( A ? B ? C ) ? sin( ? ? 2C ) ? sin 2C

sin( A ? B ? C ) ? sin(? ? 2 B) ? sin 2 B ,则 sin 2 B ? sin 2C, B ? C或2 B ? ? ? 2C ,
即B?C ?

? .所以△ABC 为等腰或直角三角形. 2

3.C sin(

3? ? ? 3 ? ? ) ? sin( ? ? ? ? ) ? sin( ? ? ) ? 4 4 4 2
?x x ? cos , f ( x ) 为偶函数,且它的周期为 T ? 4 ? ,只有 D 正确. 2 2

4.D f (? x) ? cos

5.A

sin(? ? 3?) ? cos( ? ? ? ) ? sin ? ? cos ? ? tan ? ? 1 ? m ? 1 m ? 1 ? ? ? = ? sin ? ? cos ? ? tan ? ? 1 ? m ? 1 m ? 1 sin( ?? ) ? cos( ? ? ? )

6.B f (2001) ? a sin(2001? ? ? ) ? b cos(2001? ? ? ) ? 4 ? a sin(? ? ? ) ? b cos(? ? ? )

? ?a sin ? ? b cos ? ? 4 ? 5 ,??a sin ? ? b cos ? ? 1 , f (2010) ? a sin(2010? ? ? ) ? b cos(2010? ? ? ) ? 4 ? a sin ? ? b cos ? ? 4 ? ?1 ? 4 ? 3
二、填空题:共 3 小题 7.—1

f (sin 30? ) ? f (cos60? ) ? cos180? ? ?1
cos(? ? 4?)cos2 (? ? ?)sin 2 (? ? 3?) cos ? cos2 ? sin 2 ? ? sin(? ? 4?)sin(5? ? ? )cos2 ( ?? ? ?) sin ? ( ? sin ? )cos2 ?
? cos ? sin ? ? ? cos ? ? sin ?

8. ? cos ?

9. 44.5

2 s i n ?1 ?

s 2 n ?8 9 i ?

2 ?

s i? 1 n

2 ?

c ? 同理,1 , os 1

2

?

?s i n2 2 ? ? s i n 8 8 ……

1

sin 2 44? ? sin 2 46? ? 1,sin 2 45? ?
解答题:共 2 小题

1 1 ,所以原式= 1 ? 44 ? ? 44.5 2 2

11 11 11 ? ? 1 ) ? sin( ? ?) ? ? sin ? ? ? sin(2? ? ) ? sin ? 6 6 6 6 6 2 11 5 1 ? 5 f ( ) ? f ( ) ? 1 ? f ( ? ) ? 2 ? sin( ? ) ? 2 ? ? 6 6 6 6 2 11 11 1 5 ∴ f (? ) ? f ( ) ? ? ? ?2 6 6 2 2
10.解: f ( ?

11.解: f (? ) ?

2 cos3 ? ? sin 2 ? ? 2 cos? ? 1 2 ? 2 cos2 ? ? cos?

=

2 cos3 ? ? (1 ? cos2 ? ) ? 2 cos? ? 1 2 ? 2 cos2 ? ? cos? 2 cos3 ? ? cos2 ? ? 2 cos? 2 ? 2 cos2 ? ? cos?

=

? ? 1 cos? (2 cos2 ? ? cos? ? 2) ? cos? ,∴ f ( ) = cos = . = 2 3 3 2 2 cos ? ? cos? ? 2
C组 解答题:共 2 小题 1.证明:? sin(? ?

? ) ? 1,?? ? ? ? 2k ? ?
? ? ? (k ? Z ) 2

? (k ? Z ) 2

?? ? 2 k ? ?

? ? ? tan(2? ? ? ) ? tan ? ? tan ?2(2k ? ? ? ? ) ? ? ? ? tan ? 2 ? ?
? tan(4k ? ? ? ? 2? ? ? ) ? tan ? ? tan(4k ? ? ? ? ? ) ? tan ? ? tan(? ? ? ) ? tan ? ? ? tan ? ? tan ? ? 0,
∴ tan(2? ? ? ) ? tan ? ? 0 2.解:(1)当 n 为偶数,即 n ? 2k ,(k ? Z) 时,

f ( x) ?

cos2 (2k ? ? x) ? sin 2 (2k ? ? x) cos2 x ? sin 2 ( ? x) cos2 x ? ( ? sin x)2 ? ? cos2 [(2 ? 2k ? 1)? ? x] cos2 (? ? x) ( ? cos x)2

? sin2 x,(n ?Z)
当 n 为奇数,即 n ? 2k ? 1,(k ? Z) 时

cos2 [(2k ? 1)? ? x] ? sin 2 [(2k ? 1)? ? x] f ( x) ? cos2{[2 ? (2k ? 1) ? 1]? ? x} ? cos2 [2k ? ? ( ? ? x)] ? sin 2 [2k ? ? ( ? ? x)] cos2 [2 ? (2k ? 1)? ? ( ? ? x)] cos2 ( ? ? x) ? sin 2 ( ? ? x) cos2 ( ? ? x)

?

?

( ? cos x)2 ? sin 2 x ? sin 2 x,(n ? Z) 2 ( ? cos x)

∴ f ( x) ? sin2 x ; (2)由(1)得 f (

? 502? ? ????? )? f( ) ? sin 2 ? sin 2 ???? ???? ???? ???? ? ? ? 2 ? sin 2 ( ? ) = sin ???? 2 ???? ? ? ? sin 2 ? cos2 ( ) ?1 ???? ????


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