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学生平面解析几何习题1

平面解析几何综合题目习题
1、已知双曲线的两个顶点坐标为 (0,?3) , (0,3) ,离心率为 的标准方程及其渐近线方程。

5 ,求双曲线 3

2、设椭圆

3 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 与斜率为 的一条直线的一个交点为 2 4 a b

(2,3) ,且椭圆的右焦点到该直线的距离为

12 ,求这个椭圆的方程。 5

3、在抛物线 y ? 4x 上求一点,使该点到直线 y ? 4 x ? 5 的距离为最短,
2

并求出这个最短距离。

4、设抛物线对称轴为坐标轴,顶点在原点,焦点在圆 x ? y ? 2 x ? 3 ? 0
2 2

的圆心,过焦点作倾斜角为

? 的直线与抛物线交于 A、B. 4

(1)求直线和抛物线的方程; (2)求 OAB 的面积。

5、设抛物线的顶点在原点,焦点是圆 x 2 ? y 2 ? 6 x 的圆心。 (1)求此抛物线的标准方程; (2)过抛物线焦点且斜率为 2 的直线与抛物线和圆分别交于 A、D、B、 C 四点,求 ?OAB 和 ?OCD 的面积之和。 y D C O B A x

6、设椭圆 C :

3 x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点(0,4) ,离心率为 . 2 5 a b

(1)求 C 的方程; (2)求过点(3,0)且斜率为

4 的直线被椭圆 C 所截线段的中点坐标。 5

7、已知过点 (1,?1) 且倾斜角为

? 的直线与抛物线 y 2 ? 4 x 交于 A 、 B 两 4

点。 (1)求线段 AB 的中点 M 的坐标; (2)某椭圆中心在坐标原点,一个焦点是抛物线的焦点,且长轴长等于

AB ,求椭圆的标准方程。

8、中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线 C 的离心率为 近线的距离为 1. (1)求双曲线 C 的方程;

2 3 ,且焦点到渐 3

(2)过点 M (3,1) 作直线 l 交双曲线于 A、B 两点,且 M 恰为 AB 的中 点,问这样的直线 l 是否存在?若存在,求出 l 的方程;若不存在,请说明 理由。

9、已知直线 l 的方程为 y ? kx ? k 2 (k ? R) , 抛物线 C1 的顶点和椭圆 C2 的 中心都在坐标原点,且它们的焦点均在 y 轴上。 (1)当 k ? 1 时,直线 l 与抛物线 C1 有且只有一个公共点,求抛物线 C1 的 方程; (2)若椭圆 C2 的两个焦点和一个顶点组成的三角形面积为 8, 且当 k ? 0 时,直线 l 过椭圆 C2 的一个焦点和顶点,求椭圆 C2 的方程。

10、以坐标原点为顶点, x 轴为对称轴的抛物线 C 与直线 l : x ? y ? k ? 0 相交于点 P(1,3) ,求: (1)抛物线 C 的方程; (2)以直线 l 被抛物线 C 所截得的弦为直径的圆的方程


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