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江西省南昌市2013届高三第二次模拟测试数学(理)_图文

[来源:学科网 ZXXK]

2012—2013 学年度南昌市高三第二次模拟测试卷

数学(理科)参考答案及评分标准

(2) ? 的所有可能取值为 0,1,2,3,

P(? ? 0) ?

0 3 3 C6 C6 1 C1C 2 9 C 2 C1 9 C6 1 ,P(? ? 2) ? 6 3 6 ? ,P(? ? 3) ? 3 ? , ??? ? ,P(? ? 1) ? 6 3 6 ? 3 C12 11 C12 22 C12 22 C12 11

???????????????????????10 分 所以, ? 的分布列为:

?
p

0

1

2

3

所以 ? 的数学期望 E? ? 1.5 ????????????????????????12 分 17.解: (1) m ? n ? (sin x ? cos x, ) ,所以

1 11

9 22

9 22

1 11

?? ?

1 2

f ( x) ? (sin x ? cos x) sin x ?
即 f ( x) ?

1 1 1 1 ? sin 2 x ? sin x cos x ? ? sin 2 x ? cos 2 x ,?3 分 2 2 2 2

2 ? sin(2 x ? ) ,??????????????????????? ?4 分 2 4 ? ? ? 3? ? 2 ] , sin(2 x ? ) ? [? 当 x ? [0, ] 时, 2 x ? ? [ ? , ,1] , 2 4 4 4 4 2 ? 1 2 ] ;???????????6 分 所以当 x ? [0, ] 时,函数 y ? f ( x) 的值域是 [? , 2 2 2 ? 3 ? ? ? B 2 2 (2)由 f ( ) ? ,得 sin( B ? ) ? ,又 B ? ? ( ? , ) , 4 5 4 4 4 2 5 ? 4 所以 cos( B ? ) ? ,???????????????????????????8 分 4 5 ? ? ? ? ? ? 2 因此” cos B ? cos[( B ? ) ? ] ? cos( B ? ) cos ? sin( B ? )sin ? , ??9 分 4 4 4 4 4 4 10 32 2 2 4 2 2 2 2 2 2 c ? c ? 2? c ? 由余弦定理 b ? a ? c ? 2ac cos B ,得 98 ? , ??11 分 25 5 10

所以: c ? 5 2, a ? 8 。??????????????????????????12 分 18.解: (1)设第一行依次组成的等差数列的公差是 d ,等比数列的公比是 q (q ? 0) , 则 a2,3 ? qa1,3 ? q(1 ? 2d ) ? q(1 ? 2d ) ? 6 , ?????????????????2 分
2 2 , a3 , 2? q a 1 ,? q 1 ? d ? 2 ( 1? d) ? 8 ?????????????????4 分 ( ) q 2
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解得: d ? 1, q ? 2 ,所以: a1,2 ? 2 ? an,2 ? 2 ? 2n?1 ? 2n ;???????????6 分

n ? (?1) n n , 2n 1 2 3 n Sn ? ( ? 2 ? 3 ? ? ? n ) ? (?1 ? 2 ? 3 ? ? ? (?1) n n) ,???????????8 分 2 2 2 2 1 2 3 n 1 1 2 3 n 记 Tn ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ,则 Tn ? 2 ? 3 ? 3 ? ? ? n ?1 , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 n n?2 n?2 两式相减得: Tn ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 ? 1 ? n ?1 ,所以 Tn ? 2 ? n ,??10 分 2 2 2 2 2 2 2 2 n n?2 n ?1 n?2 ? 2 ? n 。??12 分 所以 n 为偶数时, S n ? ? 2 ? n , n 为奇数时, S n ? ? 2 2 2 2 19. (1)证明:在菱形 ABEF 中,因为 ?ABE ? 60? ,所以△ AEF 是等边三角形, 又 H 是线段 EF 的中点,所以 AH ? EF ? AH ? AB , 因为平面 ABEF ? 平面 ABCD , 所 以 AH ? 平面 ABCD ,所以 AH ? BC ;??2 分 在直角梯形 ABCD 中, AB ? 2 AD ? 2CD ? 4 , ?BAD ? ?CDA ? 90? ,得到: AC ? BC ? 2 2 ,从 2 2 2 而 AC ? BC ? AB ,所以 AC ? CB ,????????4 分 所以 CB ? 平面 AHC ,又 BC ? 平面 BCE ,所以平面 AHC ? 平面 BCE ;???6 分 (2)由(1) AH ? 平面 ABCD ,如图,分别 以 AD, AB, AH 所在直线为 x 轴, y 轴, z 轴
(2) bn ? 建立空间直角坐标系, 则 A(0,0,0), B(0, 4,0), C (2, 2,0), D(2,0,0) ,

E(0, 2, 3), F (0, ?2, 3), H (0,0, 3), G(1,3,0) ???7 分 ???? ??? ???? ? ? 设点 M 的坐标是 (0, m, 3) ,则 GM , AF , AD 共面, 所以存在实数 ? , ? 使得: ???? ? ??? ? ??? ? GM ? ? AD ? ? AF ? (?1, m ? 3, 3) ? (2?,0,0) ? (0, ?2?, 3?) ,
得到: 2? ? ?1, m ? 3 ? ?2?, 3 ? 3? ? m ? 1.即点 M 的坐标是: (0,1, 3) , ???8 分 由(1)知道:平面 AHC 的法向量是 BC ? (2, ?2,0) ,

??? ?

? 设平面 ACM 的法向量是 n ? ( x, y, z) , ? ???? ?n ? AC ? 0 ? ? ? ?( x, y, z ) ? (2, 2, 0) ? 0 ?x ? ? y ?? ?? 则: ? ? ???? ,?????????9 分 ? ?n ? AM ? 0 ?( x, y, z ) ? (0,1, 3) ? 0 ? y ? ? 3z ? ? ? ? 令 z ? 3 ,则 y ? ?3, x ? 3 ,即 n ? (3, ?3, 3) , ? ??? ? 12 42 所以 cos ? n, BC ?? ,??????????????????11 分 ? 7 2 2 ? 21
即平面 ACH 与平面 ACM 所成角的余弦值是 20.解: (1)由 e ?

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42 。?????????????12 分 7

3 c2 3 ? 2 ? ? a 2 ? 4b 2 ,???????????????2 分 2 a 4

又点 P(2, 3) 在椭圆上,

4 3 ? 2 ? 1 ? b 2 ? 4 , ??????????????4 分 2 4b b

x2 y 2 ? ? 1 ;???????????????????????5 分 所以椭圆方程是: 16 4 y x?4 ? (2)当 l 垂直 x 轴时, M (2, 3), N (2, ? 3) ,则 AN 的方程是: , 6 ? 3 y x?4 BM 的方程是: ? ,交点 G 的坐标是: (8, ?2 3) ,猜测:存在常数 t ? 8 , ?2 3 即直线 l ' 的方程是: x ? 8 使得 l ' 与 AN 的交点 G 总在直线 BM 上, ????????6 分 证明:设 l 的方程是 y ? k ( x ? 2) ,点 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) , G(8, yG )
将 l 的方程代入 椭圆 C 的方程得到: x2 ? 4k 2 ( x ? 2)2 ? 16 , 即: (1 ? 4k 2 ) x2 ?16k 2 x ? 16k 2 ?16 ? 0 ,??????????????????7 分

16k 2 16k 2 ? 16 , x1 x2 ? ,?????????????????8 分 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 ???? ???? 因为: AG ? (12, yG ) , AN ? ( x2 ? 4, y2 ) A, N , G 共线 12 y2 所以: 12 y2 ? ( x2 ? 4) yG , yG ? ,??????????????????9 分 x2 ? 4 ??? ? ???? ? 又 BG ? (4, yG ) , BM ? ( x1 ? 4, y1 ) 12 y2 要证明 B, M , G 共线,即要证明 4 y1 ? ( x1 ? 4) ,????????????10 分 x2 ? 4 即证明: k ( x1 ? 2)( x2 ? 4) ? 3k ( x2 ? 2)( x1 ? 4) ,
从而: x1 ? x2 ? 即: x1 x2 ? 2x2 ? 4x1 ? 8 ? 3x1 x2 ? 6x1 ?12x2 ? 24 , 即: x1 x2 ? 5( x1 ? x2 ) ? 16 ? 0 因为: x1 x2 ? 5( x1 ? x2 ) ? 16 ?
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16k 2 ? 16 80k 2 ? ? 16 ? 0 成立,???????12 分 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

所以点 G 在直线 BM 上。 综上:存在定直线 l ' : x ? 8 ,使得 l ' 与 AN 的交点 G 总在直线 BM 上, t 的值是 8 。??13 分

2a 2( x 2 ? 1 ? a) ? 2x ? 2 ? ??????????????1 分 x ?1 x ?1 当 1 ? a ? 0 即 a ? 1 时, g '( x ) ? 0 ,函数 g ( x) 在定义域 (?1, ??) 上是增函数;??2 分 ? g '( x) ? 0 当 0 ? 1 ? a ? 1 即 0 ? a ? 1 时,由 ? 得到 ?1 ? x ? ? 1 ? a 或 x ? 1 ? a ,??4 分 ?x ?1 ? 0
21.解: (1) g '( x) ? 所以:当 a ? 0 时,函数 g ( x) 的递增区间是 (?1, ? 1 ? a ) 和 ( 1 ? a , ??) , 递减区间是 (? 1 ? a , 1 ? a ) ;????????????????????????????5 分 当 1 ? a ? 1 即 a ? 0 时,由 ?

? g '( x) ? 0 得到: x ? 1 ? a , ?x ?1 ? 0
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所以:当 a ? 0 时,函数 g ( x) 的递增区间是 ( 1 ? a , ??) ,递减区间是 (?1, 1 ? a ) ;??7 分

(2)若函数 g ( x) 是“中值平衡函数” ,则存在 A( x1 , f ( x1 )), B( x2 , f ( x2 )) ( ?1 ? x1 ? x2 )使得

g '( x0 ) ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) 即 x1 ? x2

2a ? x1 ? x2 ? 2 ? x1 ? x2 1? 2

2a ln

1 ? x1 1 ? x2 ? x1 ? x2 ? 2 , x1 ? x2


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