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【数学】2.3.2《向量数量积的运算律》课件(新人教B版必修4)_图文

2.3.2 向量数量积的 运算律

复习回顾
1.两个向量的夹角 范围0≤〈a ,b〉≤π;

2.向量在轴上的正射影
正射影的数量

al ? a cos?

3.向量的数量积(内积) a· b=

a b cos ? a, b ?

4.两个向量的数量积的性质:
(1). (2).

a ?b ? a ?b = 0

a?a = |a|2或 | a |? a ? a a ?b (3). cos? = | a || b |

向量数量积的运算律

( 1 ) a ? b ? b ? a; (2)(? a) ? b ? a ? (? b) ? ? (a ? b) ? ? a ? b; (3)(a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c
(4)(a ? b) ? c ? a ? (b ? c)

我们知道,一个向量与一个轴上的单位向
量的数量积等于这个向量在轴上的正投影的数

量,如果分配律中的向量c换成它的单位向量
c0,则分配律变成 (a+b)· c0=a· c0+b· c0. 证明分配律就成为证明:两个向量和在一个

方向上的正投影等于各个向量在这个方向上的
投影的数量和。
a c A' C B' A b B

l

O c0

平面向量数量积的常用公式

(1)(a ? b) ? a ? 2a ? b ? b
2

2

2

(2)( a ? b)( a ? b) ? a ? b
类似于多项式的乘法法则

2

2

证明:(1) a ? b

( 2)

? ? ? ? ? a ? b ? b ? a ? b ? b ? a ? 2a ? b ? b ?a ? b?? ?a ? b? ? a ? ?a ? b? ? b ? ?a ? b?
? a? a ? b ?b? a ?b ? a ? a 2
2

?

?

2

?

?a ? b?? ?a ? b?

? a?a ? a?b ? b?a ? b?b ? a ?b

2

2

例1.已知 a ? 6, b ? 4, a 与 b 的夹角为60°
求: ( 1) b cos a, b =2 b 在 a 方向上的投影;
a cos a, b =3 ( 2) a 在 b 方向上的投影;

(3) a ? 2b ? a ? 3b
解:(3) a ? 2b ? a ? 3b
2 2

?

??

?

?

??

? ? a ? a ? a ? b ? 6b ? b
2

? a ? a ? b ? 6 b ? a ? a b cos? ? 6 b

2

? 6 ? 6 ? 4 ? cos60 ? 6 ? 4 ? ?72
2 ? 2

︱a︱=2, ︱b︱=3,求 例2. 已 知 a 与 b 的夹角为120°,
( 1 ) a ? b; ( 2 ) a ? b ;( 3 )( 2a ? b ) ( ? a ? 3b )
( 4 ) a ? b; ( 5 ) a ? b;
1 o 解: ( 1 ) a ? b ? a b cos 120 ? 2 ? 3 ? ( ? ) ? ?3 2 2 2 2 2 ( 2 ) a ? b ? a ? b ? 4 ? 9 ? ?5
( 3 )( 2a ? b ) ( ? a ? 3b ) ? 2a ? 5a ? b ? 3b
2 o 2
2 2

2

2

? 2 a ? 5 a b cos 120 ? 3 b ? 8 ? 15 ? 27 ? ?34
( 4 ) a ? b ? (a ? b) ? a ? 2a ? b ? b ? 4 ? 6 ? 9 ? 7
2 2 2

( 5 ) a ? b ? (a ? b) ? a ? 2a ? b ? b ? 4 ? 6 ? 9 ? 19
2

2

2

练习题: a ? b ? 1, a与b夹角为 1200,问t取何值 时, a ? t b 最小?

例3.已知︱a︱=1, ︱b︱=2,a与a-b垂直.求a与b的夹角

解: 设a与b的夹角为 ?
? ( a?b ) ?a ? 0
2 2

?
2

a ? b与a垂直

即a ? b ? a ? 0

?a ? b ? a ? a ? 1
1 2 ? cos ? ? ? ? 2 2 ab


a?b
o

? ? [0 , 180 ] ?? ?
o

?
4

? a与b的 夹 角 为 4

?

变形: 已知: a=5 b=4, a 与 b 的 夹 角 为 60

o

向量 ka-b与 a+2b垂直? 何值时, 问当 k为 ? (k a ? b ) ( ? a ? 2b ) ?0 a ? 2b ∵ (ka ? b ) ? ) ( 解:
王新敞
奎屯 新疆

即k a ? ( 2k ? 1 ) a ? b ? 2b ? 0

2

2

ka ? (2k ? 1 ) a b cos 60 ? 2 b ? 0
o

2

2

14 ?当k ? 时 , 向 量 k a ? b与a ? 2b垂 直 。 15

1 14 2 25k ? ( 2k ? 1 ) ? 5? 4? ? 2? 4 ? 0 k ? 15 2

练习题:求证菱形的对角线互相垂直

D

A

C

B

例4. 已知|a|=2,|b|=4,<a, b>=120° ,求

a与a-b的夹角。
解:(a-b) · a=|a|2-a· b

=4-2×4×(-0.5)=8.
(a-b)2=|a|2-2a· b+|b|2=28, |a-b|=2 7
a ? (a ? b) 2 7 ? 所以 cos ? a, a ? b ?? | a || a ? b | 7

小结
1.向量数量积的运算律

( 1 ) a ? b ? b ? a; (2)(? a) ? b ? a ? (? b) ? ? (a ? b) ? ? a ? b; (3)(a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c

(4)(a ? b) ? c ? a ? (b ? c)
2.类似于多项式的乘法运算 3.主要解决的问题
(1).

a ?b (2). cos? = | a || b |
(3).

a?a = |a|2或 | a |? a ? a

长度的计算问题 夹角的计算问题 垂直问题

a ?b ? a ?b = 0


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