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文山市高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

文山市高级中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 如图是七位评委为甲,乙两名参赛歌手打出的分数的茎叶图(其中 m,n 为数字 0~9 中的一个),则甲 歌手得分的众数和乙歌手得分的中位数分别为 a 和 b,则一定有( )

座号_____

姓名__________

分数__________

A.a>b B.a<b C.a=b D.a,b 的大小与 m,n 的值有关 2. 为得到函数 A.向左平移 C.向左平移 个长度单位 个长度单位 的图象,只需将函数 y=sin2x 的图象( B.向右平移 D.向右平移 个长度单位 个长度单位 ) )

3. 若 f(x)=﹣x2+2ax 与 g(x)= A.(﹣∞,1] C.(﹣2,﹣1)∪(﹣1,1]

在区间[1,2]上都是减函数,则 a 的取值范围是( B.[0,1] D.(﹣∞,﹣2)∪(﹣1,1]

4. 如图,已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 4,点 E,F 分别是线段 AB,C1D1 上的动点,点 P 是上底 面 A1B1C1D1 内一动点,且满足点 P 到点 F 的距离等于点 P 到平面 ABB1A1 的距离,则当点 P 运动时,PE 的 最小值是( )

A.5

B.4

C.4

D.2

5. 已知

,其中 i 为虚数单位,则 a+b=(



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A.﹣1 6. 函数 y=
2

B.1

C.2 )

D.3

(x ﹣5x+6)的单调减区间为(

A.( ,+∞) B.(3,+∞) 7. 在△ABC 中, A.等腰三角形

C.(﹣∞, ) D.(﹣∞,2) )

,则这个三角形一定是( B.直角三角形

C.等腰直角三角 D.等腰或直角三角形 8. 双曲线 A. B.2 C. =1(m∈Z)的离心率为( D.3 ) )

9. 已知正△ ABC 的边长为 a,那么△ ABC 的平面直观图△ A′B′C′的面积为( A. B. C. )的图象向左平移 D.

10.设命题 p:函数 y=sin(2x+ A.p 为假 A. 3 5

个单位长度得到的曲线关于 y 轴对称;命题 q:函数 ) )

y=|2x﹣1|在[﹣1,+∞)上是增函数.则下列判断错误的是( B.¬q 为真 C.p∨q 为真 D.p∧q 为假 B. 3 2 C. 2 5 D. 10

11.已知 a ? (?2,1) , b ? (k , ?3) , c ? (1, 2) c ? (k , ?2) ,若 (a ? 2b) ? c ,则 | b |? (

【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算、数量积与模等基础知识,意在考查转化思想、方程思想、逻辑思 维能力与计算能力. 12.已知数列{an}满足 a1=1,a2=2,an+2=(1+cos2 A.89 B.76 C.77 D.35 )an+sin
2

,则该数列的前 10 项和为(



二、填空题
13.如图,是一回形图,其回形通道的宽和 OB1 的长均为 1,回形线与射线 OA 交于 A1,A2,A3,…,若从点 O 到点 A3 的回形线为第 1 圈(长为 7),从点 A3 到点 A2 的回形线为第 2 圈,从点 A2 到点 A3 的回形线为第 3 圈…依此类推,第 8 圈的长为 .

14.等差数列 {an } 的前项和为 Sn ,若 a3 ? a7 ? a11 ? 6 ,则 S13 等于_________.

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15.将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次,若第一次朝上一面的点数为 a,第二次朝上一面的点数为 b,则函 数 y=ax ﹣2bx+1 在(﹣∞,2]上为减函数的概率是 16.已知数列 {an } 中, a1 ? 1 ,函数 f ( x) ? ?
2



2 3 an 2 x ? x ? 3an ?1 x ? 4 在 x ? 1 处取得极值,则 3 2
}的前 10 项的和为 .

an ? _________.
17.设数列{an}满足 a1=1,且 an+1﹣an=n+1(n∈N*),则数列{
3

18.【南通中学 2018 届高三 10 月月考】已知函数 f ? x ? ? x ? 2x ,若曲线 f ? x ? 在点 1, f ?1? 处的切线经
2 过圆 C : x ? ? y ? a ? ? 2 的圆心,则实数 a 的值为__________. 2

?

?

三、解答题
19.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 以坐标原点为极点,以 x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 C 的参数方程为 ? 为参数, ? ? [0, ? ] ),直线 l 的参数方程为 í

? ? x ? 2 cos? (? ? ? y ? 2 sin ?

ì ? x = 2 + t cos a ( t 为参数). ? ? y = 2 + t sin a

(I)点 D 在曲线 C 上,且曲线 C 在点 D 处的切线与直线 x + y +2=0 垂直,求点 D 的极坐标; (II)设直线 l 与曲线 C 有两个不同的交点,求直线 l 的斜率的取值范围. 【命题意图】 本题考查圆的参数方程、 直线参数方程、 直线和圆位置关系等基础知识, 意在考查数形结合思想、 转化思想和基本运算能力.

20.本小题满分 12 分某商店计划每天购进某商品若干件,商店每销售 1 件该商品可获利 50 元.若供大于求,剩 余商品全部退回,但每件商品亏损 10 元;若供不应求,则从外部调剂,此时每件调剂商品可获利 30 元. Ⅰ若商店一天购进该商品 10 件,求当天的利润 y 单位:元关于当天需求量 n 单位:件,n∈N 的函数解析式; Ⅱ商店记录了 50 天该商品的日需求量单位:件,整理得下表: 日需求量 n 频数 8 9 9 11 10 15 11 10 12 5

①假设该店在这 50 天内每天购进 10 件该商品,求这 50 天的日利润单位:元的平均数;
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②若该店一天购进 10 件该商品,以 50 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,求当天的利润在区间

[400,550] 内的概率.

21. 坐标系与参数方程 线 l:3x+4y﹣12=0 与圆 C: (θ 为参数 )试判断他们的公共点个数.

22.【2017-2018 学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】设函数 f ? x ? ? alnx ?

f ?1? 处的切线方程; (1)当 a ? 2 时,求函数 f ? x ? 在点 1,
(2)讨论函数 f ? x ? 的单调性;

?

?

1 ?1. x

1 ?1 ? ? a? (3)当 0 ? a ? 时,求证:对任意 x ? ? , +? ? ,都有 ?1 ? ? 2 ?2 ? ? x?

x?a

? e.

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23.(本题满分 15 分)

1 1 ? ? d ( d 为常数, n ? N * ),则称 ? xn ? 为调和数列,已知数列 ?an ? 为调和数 xn ?1 xn 1 1 1 1 1 列,且 a1 ? 1 , ? ? ? ? ? 15 . a1 a2 a3 a4 a5
若数列 ? xn ? 满足: (1)求数列 ?an ? 的通项 an ; (2)数列 {

2n } 的前 n 项和为 Sn ,是否存在正整数 n ,使得 Sn ? 2015 ?若存在,求出 n 的取值集合;若不存 an

在,请说明理由. 【命题意图】本题考查数列的通项公式以及数列求和基础知识,意在考查运算求解能力.

24.平面直角坐标系 xOy 中,圆 C1 的参数方程为 轴为极轴建立极坐标系,圆 C2 的极坐标方程为 ρ=4sinθ. (1)写出圆 C1 的普通方程及圆 C2 的直角坐标方程;

(φ 为参数),以坐标原点为极点,x 轴正半

(2)圆 C1 与圆 C2 是否相交,若相交,请求出公共弦的长;若不相交请说明理由.

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文山市高级中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】C 【解析】解:根据茎叶图中的数据,得; 甲得分的众数为 a=85, 乙得分的中位数是 b=85; 所以 a=b. 故选:C. 2. 【答案】A 【解析】解:∵ 只需将函数 y=sin2x 的图象向左平移 故选 A. 【点评】本题主要考查诱导公式和三角函数的平移.属基础题. 3. 【答案】D
2 【解析】解:∵函数 f(x)=﹣x +2ax 的对称轴为 x=a,开口向下,

, 个单位得到函数 的图象.

∴单调间区间为[a,+∞) 又∵f(x)在区间[1,2]上是减函数, ∴a≤1 ∵函数 g(x)= ∵g(x)= 在区间(﹣∞,﹣a)和(﹣a,+∞)上均为减函数,

在区间[1,2]上是减函数,

∴﹣a>2,或﹣a<1, 即 a<﹣2,或 a>﹣1, 综上得 a∈(﹣∞,﹣2)∪(﹣1,1], 故选:D 【点评】本题主要考查二次函数与反比例函数的单调性的判断,以及根据所给函数单调区间,求参数的范围.

4. 【答案】 D 【解析】解:以 D 为原点,DA 为 x 轴,DC 为 y 轴,DD1 为 z 轴, 建立空间直角坐标系,
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设 AE=a,D1F=b,0≤a≤4,0≤b≤4,P(x,y,4),0≤x≤4,0≤y≤4, 则 F(0,b,4),E(4,a,0), =(﹣x,b﹣y,0), ∵点 P 到点 F 的距离等于点 P 到平面 ABB1A1 的距离, ∴当 E、F 分别是 AB、C1D1 上的中点,P 为正方形 A1B1C1D1 时, PE 取最小值, 此时,P(2,2,4),E(4,2,0), ∴|PE|min= 故选:D. =2 .

【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系、空间向量的运算等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能 力、空间想象能力,考查数形结合、转化与化归等数学思想方法及创新意识. 5. 【答案】B 【解析】解:由 另解:由 故选 B. 【点评】本题考查复数相等的意义、复数的基本运算,是基础题. 6. 【答案】B
2 【解析】解:令 t=x ﹣5x+6=(x﹣2)(x﹣3)>0,可得 x<2,或 x>3,

得 a+2i=bi﹣1,所以由复数相等的意义知 a=﹣1,b=2,所以 a+b=1 得﹣ai+2=b+i(a,b∈R),则﹣a=1,b=2,a+b=1.

故函数 y=

(x ﹣5x+6)的定义域为(﹣∞,2)∪(3,+∞).

2

本题即求函数 t 在定义域(﹣∞,2)∪(3,+∞)上的增区间. 结合二次函数的性质可得,函数 t 在(﹣∞,2)∪(3,+∞)上的增区间为 (3,+∞),

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故选 B. 7. 【答案】A 【解析】解:∵ 又∵cosC= ∴ = , ,
2 2 ,整理可得:b =c ,

∴解得:b=c.即三角形一定为等腰三角形. 故选:A. 8. 【答案】B
2 【解析】解:由题意,m ﹣4<0 且 m≠0,∵m∈Z,∴m=1 2 2 ∵双曲线的方程是 y ﹣ x =1 2 2 ∴a =1,b =3, 2 2 2 ∴c =a +b =4

∴a=1,c=2, ∴离心率为 e= =2. 故选:B. 【点评】本题的考点是双曲线的简单性质,考查由双曲线的方程求三参数,考查双曲线中三参数的关系: c2=a2+b2. 9. 【答案】D 【解析】解:∵正△ABC 的边长为 a,∴正△ABC 的高为 ,

画到平面直观图△A′B′C′后,“高”变成原来的一半,且与底面夹角 45 度, ∴△A′B′C′的高为 ∴△A′B′C′的面积 S= 故选 D. 【点评】 本题考查平面图形的直观图的性质和应用, 解题时要认真审题, 仔细解答, 注意合理地进行等价转化. = , = .

10.【答案】C

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【解析】解:函数 y=sin(2x+ 当 x=0 时,y=sin 故命题 p 为假命题; =

)的图象向左平移

个单位长度得到 y=sin(2x+

)的图象,

,不是最值,故函数图象不关于 y 轴对称,

函数 y=|2 ﹣1|在[﹣1,0]上是减函数,在[0,+∞)上是增函数. 故命题 q 为假命题; 则¬q 为真命题; p∨q 为假命题; p∧q 为假命题, 故只有 C 判断错误, 故选:C 11.【答案】A 【 解 析 】

x

12.【答案】C
2 【解析】解:因为 a1=1,a2=2,所以 a3=(1+cos

)a1+sin

2

=a1+1=2,a4=(1+cos2π)a2+sin2π=2a2=4. =a2k﹣1+1, 即 a2k+1﹣a2k﹣1=1.

a2k+1=[1+cos 一般地, 当 n=2k﹣1 (k∈N ) 时,

*

2

]a2k﹣1+sin2

所以数列{a2k﹣1}是首项为 1、公差为 1 的等差数列,因此 a2k﹣1=k.
* 2 当 n=2k(k∈N )时,a2k+2=(1+cos

)a2k+sin

2

=2a2k.
k

所以数列{a2k}是首项为 2、公比为 2 的等比数列,因此 a2k=2 . 该数列的前 10 项的和为 1+2+2+4+3+8+4+16+5+32=77 故选:C.

二、填空题
13.【答案】 63 .

【解析】解:∵第一圈长为:1+1+2+2+1=7 第二圈长为:2+3+4+4+2=15 第三圈长为:3+5+6+6+3=23

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… 第 n 圈长为:n+(2n﹣1)+2n+2n+n=8n﹣1 故 n=8 时,第 8 圈的长为 63, 故答案为:63. 【点评】本题主要考查了归纳推理,解答的一般步骤是:先通过观察第 1,2,3,…圈的长的情况发现某些相 同性质,再从相同性质中推出一个明确表达的一般性结论,最后将一般性结论再用于特殊情形. 14.【答案】 26 【解析】 试题分析:由题意得,根据等差数列的性质,可得 a3 ? a7 ? a11 ? 3a7 ? 6 ? a7 ? 2 ,由等差数列的求和

S13 ?

13(a1 ? a13 ) ? 13a7 ? 26 . 2


考点:等差数列的性质和等差数列的和. 15.【答案】

【解析】解:由题意,函数 y=ax ﹣2bx+1 在(﹣∞,2]上为减函数满足条件 ∵第一次朝上一面的点数为 a,第二次朝上一面的点数为 b,

2



∴a 取 1 时,b 可取 2,3,4,5,6;a 取 2 时,b 可取 4,5,6;a 取 3 时,b 可取 6,共 9 种 ∵(a,b)的取值共 36 种情况 ∴所求概率为 故答案为: .
n ?1

=



16.【答案】 2 3 【解析】

?1

考 点:1、利用导数求函数极值;2、根据数列的递推公式求通项公式. 【方法点晴】本题主要考查等比数列的定义以及已知数列的递推公式求通项,属于中档题.由数列的递推公式 求通项常用的方法有:累加法、累乘法、构造法,形如 an ? qan?1 ? p( p ? 0, q ? 1) 的递推数列求通项往往用

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构造法,利用待定系数法构造成 an ? m ? q(an?1 ? m) 的形式,再根据等比数例求出 ?an ? m? 的通项,进而得 出 ?an ? 的通项公式. 17.【答案】 .

* 【解析】解:∵数列{an}满足 a1=1,且 an+1﹣an=n+1(n∈N ),

∴当 n≥2 时,an=(an﹣an﹣1)+…+(a2﹣a1)+a1=n+…+2+1= 当 n=1 时,上式也成立, ∴an= ∴ ∴数列{ = = . }的前 10 项的和为 . . . =2 }的前 n 项的和 Sn= .



∴数列{

故答案为:

18.【答案】 ?2 【解析】结合函数的解析式可得: f ?1? ? 1 ? 2 ?1 ? ?1 ,
3

对函数求导可得: f ' ? x ? ? 3x ? 2 ,故切线的斜率为 k ? f ' ?1? ? 3?1 ? 2 ? 1 ,
2 2

则切线方程为: y ? 1 ? 1? ? x ?1? ,即 y ? x ? 2 ,
2 圆 C : x ? ? y ? a ? ? 2 的圆心为 ? 0, a ? ,则: a ? 0 ? 2 ? ?2 . 2

三、解答题
19.【答案】 【解析】(Ⅰ)设 D 点坐标为 ( 2 cosq , 2 sin q ) ,由已知得 C 是以 O (0, 0) 为圆心, 2 为半径的上半圆, 因为 C 在点 D 处的切线与 l 垂直,所以直线 OD 与直线 x + y +2=0 的斜率相同,? ? 为 (- 1,1) ,极坐标为 ( 2,

3? ,故 D 点的直角坐标 4

3p ). 4

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(Ⅱ)设直线 l : y ? k ( x ? 2) ? 2 与半圆 x ? y ? 2( y ? 0) 相切时
2 2

| 2k ? 2 | 1? k 2

? 2

? k 2 ? 4k ? 1 ? 0

? k ? 2 ? 3 , k ? 2 ? 3 (舍去)

设点 B(? 2 ,0) ,则 k AB

?

2?0 ?2? 2 , 2? 2

故直线 l 的斜率的取值范围为 (2 ? 3,2 ? 2 ] . 20.【答案】 【解析】:Ⅰ当日需求量 n ? 10 时,利润为 y ? 50 ?10 ? (n ? 10) ? 30 ? 30n ? 200 ; 当需求量 n ? 10 时,利润 y ? 50 ? n ? (10 ? n) ?10 ? 60n ? 100 . 所以利润 y 与日需求量 n 的函数关系式为: y ? ?

?30n ? 200, n ? 10, n ? N ? 60n ? 100, n ? 10, n ? N

Ⅱ50 天内有 9 天获得的利润 380 元,有 11 天获得的利润为 440 元,有 15 天获得利润为 500 元,有 10 天获得 的利润为 530 元,有 5 天获得的利润为 560 元.

4? 4 0 ?1 1 ?5 0 ? 0 15 ? 5 ?3 0 ? 10 560 5 ?477.2 50 11 ? 15 ? 10 18 ? ② 若利润在区间 [400,550] 内的概率为 P ? 50 25
① 21.【答案】 【解析】解:圆 C:
2 2 的标准方程为(x+1) +(y﹣2) =4

380 ? ? 9

由于圆心 C(﹣1,2)到直线 l:3x+4y﹣12=0 的距离 d= 故直线与圆相交 故他们的公共点有两个. 【点评】本题考查的知识点是直线与圆的位置关系,圆的参数方程,其中将圆的参数方程化为标准方程,进而 求出圆心坐标和半径长是解答本题的关键. = <2

22.【答案】(1) x ? y ? 1 ? 0 ;(2)见解析;(3)见解析. 【解析】试题分析:(1)当 a ? 2 时,求出导数易得 f ' ?1? ? 1,即 k ? 1 ,利用点斜式可得其切线方程;(2)

ax ? 1 1 ,分为 a ? 0 和 a ? 0 两种情形判断其单调性;(3)当 0 ? a ? 时,根据(2)可 2 x 2 a ? a? ? a? 得函数 f ? x ? 在 ?1, ,化简可得所证结论. 2 ? 上单调递减,故 f ?1 ? ? ? f ?1? ,即 aln ?1 ? ? ? ? x? ? x? x?a
求得可得 f ' ? x ? ?
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试题解析:(1)当 a ? 2 时,

1 1 2 1 2 1 ? 1 , f ?1? ? 2ln1 ? ? 1 ? 0 , f ' ? x ? ? ? 2 , f ' ?1? ? ? 2 ? 1 ,所以函数 f ? x ? 在点 x 1 x x 1 1 0 ? 处的切线方程为 y ? 0 ? 1? ? x ?1? ,即 x ? y ? 1 ? 0 . ?1, f ? x ? ? 2lnx ?
(2) f ? x ? ? alnx ?

①当 a ? 0 时, f ' ? x ? ? 0 ,故函数 f ? x ? 在 ? 0, ? ?? 上单调递减; ②当 a ? 0 时,令 f ' ? x ? ? 0 ,得 x ? x

1 a 1 ax ? 1 ? 1 ,定义域为 ? 0, ? ?? , f ' ? x ? ? ? 2 ? 2 . x x x x 1 a

? 1? ? 0, ? ? a?

1 a

?1 ? ? ?? ? , ?a ?

f '? x?

?


0
极小值

?


f ? x?

综上所述,当 a ? 0 时, f ? x ? 在 ? 0, ? ?? 上单调递减;当 a ? 0 时,函数 f ? x ? 在 ? 0, ? 上单调递减,在

? ?

1? a?

?1 ? ? ? ? 上单调递增. ? , ?a ? 1 1 ? 1? ? 1? (3)当 0 ? a ? 时,由(2)可知,函数 f ? x ? 在 ? 0, ? 上单调递减,显然, ? 2 ,故 ?1, 2 ? ? ? 0, ? , 2 a ? a? ? a? a a ?1 ? 所 以 函 数 f ? x ? 在 ?1, 2? 上 单 调 递 减 , 对 任 意 x ? ? , +? ? , 都 有 0 ? ? 1 , 所 以 1 ? 1 ? ? 2 . 所 以 x x ?2 ? 1 a 1 ? a? ? a? ? a? ? a? ? 1? 0 ,所以 aln ? 1? ? ? ,即 ln ? 1? ? ? ,所以 f ?1 ? ? ? f ?1? ,即 aln ? 1? ? ? ? x ? 1? a ? x? ? x? x?a ? x ? x? a x
a? ? a? ? a? ? x ? a ? ln ? ? 1? ? ? 1,即 ln ?1 ? ? ? 1 ,所以 ?1 ? ? ? x? ? x? ? x? 1 23.【答案】(1) an ? ,(2)详见解析. n
x?a x?a

? e.

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n ? 8 时 S8 ? 7 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2015 ,…………13 分
9 11

* ∴存在正整数 n ,使得 Sn ? 2015 的取值集合为 n | n ? 8, n ? N ,…………15 分

?

?

24.【答案】 【解析】解:(1)由圆 C1 的参数方程为 x2﹣4x+y2=0.
2 2 2 由圆 C2 的极坐标方程为 ρ=4sinθ,化为 ρ =4ρsinθ,∴直角坐标方程为 x +y =4y. 2 2 (φ 为参数),可得普通方程:(x﹣2) +y =4,即

(2)联立

,解得

,或



∴圆 C1 与圆 C2 相交,交点(0,0),(2,2). 公共弦长= . 【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角方程、两圆的位置关系、两点之间的距离公 式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

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