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高中数学(人教A版)选修2-3同步课堂课件:2-4 正态分布2_图文

第二章 随机变量及其分布 2.4 正 态 分 布 第二课时 正态分布的应用 课 时 学 案 课 后 巩 固 1.正态分布在三个特殊区间的概率值 P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.682 6, P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.954 4, P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.997 4. 上述结果可用下图表示. 特别地, 对于标准正态分布的正态变量(这时称它为标准正态变量) 在区间(-1,1),(-2,2),(-3,3)内取值的概率分别是 68.26%,95.44%,99.74%. 2.3σ 原则 服从于正态分布 N(μ,σ2)的随机变量 X 只取(μ-3σ,μ+3σ)之间 的值,并简称为 3σ 原则. 正态总体几乎总取值于区间(μ-3σ,μ+3σ)之内,而在此区间 以外取值的概率只有 0.002 6,通常认为这种情况在一次试验中 几乎不可能发生.这是统计中常用的假设检验方法的基本思想. 3.关于正态总体在某个区间内取值的概率求法 (1)熟记 P(μ-σ<X≤μ+σ), P(μ-2σ<X≤μ+2σ), P(μ-3σ<X≤μ +3σ)的值. (2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与 x 轴之间面积为 1. ①正态曲线关于直线 x=μ 对称, 从而在关于 x=μ 对称的区间上 概率相等. ②P(X<a)=1-P(X≥a),P(X<μ-a)=P(X≥μ+a), 1-P?μ-b<X<μ+b? 若 b<μ,则 P(X<b)= . 2 课 时 学 案 题型一 例1 三个概率值的应用 求正态总体 N(1,4)在(-∞,3)内的概率. 由已知 μ=1,σ=2,先求出(-1,3)内的概率, 思路分析 再求(3,+∞)内的概率,再利用曲线与 x 轴之间的面积为 1,求 出(-∞,3)内的概率. 解析 由题意知 μ=1,σ=2. ∴P(-1<X≤3)=P(1-2<X≤1+2)=0.682 6. 1 ∴P(X>3)= (1-0.682 6)=0.158 7. 2 ∴在(-∞,3)内取值的概率为 1-0.158 7=0.841 3. 探究 1 利用正态总体,在三个特殊区间内取值的概率值进 行计算时,对于不符合利用特殊区间内概率值的,需要找出新的 解决办法. ?思考题 1 在某项测量中,测量结果服从正态分布 N(1,4), 求正态总体 ξ 在(-1,1)内取值的概率. 思路分析 解答本题可先求出 ξ 在(-1,3)内取值的概率, 然 后由密度函数关于 x=1 对称, 从而 ξ 在(-1,1)内取值的概率就等 于在(-1,3)内取值的概率的一半. 解析 由题意知 μ=1,σ=2, ∴P(-1<ξ≤3)=P(1-2<ξ≤1+2)=0.682 6. 又∵密度函数关于 x=1 对称, 1 ∴P(-1<ξ<1)=P(1<ξ<3)= P(-1<ξ<3)=0.341 3. 2 例2 设随机变量 X~N(2,9),若 P(X>c+1)=P(X<c-1). (1)求 c 的值; (2)求 P(-4<X<8). 解析 (1)由 X~N(2,9)可知,密度函数关于直线 x=2 对称(如图所 示), 又 P(X>c+1)=P(X<c-1), 故有 2-(c-1)=(c+1)-2. ∴c=2. (2)P(-4<X<8)=P(2-2×3<X<2+2×3)=0.954 4. 探究 2 充分利用正态曲线的对称性和曲线与 x 轴之间的面 积为 1 这两个性质,一般地,有 P(X<μ-σ)=P(X≥μ+σ). ?思考题 2 设 X~N(1,32),试求 (1)P(-2<X≤4); (2)P(4<X≤7). 解析 因为 X~N(1,32),所以 μ=1,σ=3. (1)P(-2<X≤4)=P(1-3<X≤1+3) =P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.682 6. 1 (2)因为 P(4<X≤7)= [P(-5<X≤7)-P(-2<X≤4)] 2 1 =2[P(1-6<X≤1+6)-P(1-3<X≤1+3)] 1 = [P(μ-2σ<X≤μ+2σ)-P(μ-σ<X≤μ+σ)] 2 1 =2(0.954 4-0.682 6)=0.135 9. 例3 在某次数学考试中, 考生的成绩 ξ 服从一个正态分布, 即 ξ~N(90,100). (1)试求考试成绩 ξ 位于区间(70,110)上的概率是多少? (2)若这次考试共有 2 000 名考生, 试估计考试成绩在(80,100) 间的考生大约有多少人? 解析 正态分布已经确定,则总体的期望 μ 和标准差 σ 就 可以求出,这样就可以根据正态分布在三个常见的区间上取值的 概率进行求解. 答案 ∵ξ~N(90,100),∴μ=90,σ= 100=10. (1)由于正态变量在区间(μ-2σ, μ+2σ)内取值的概率是 0.954 4,而该正态分布中,μ-2σ=90-2×10=70,μ+2σ=90+2×10 =110,于是考试成绩 ξ 位于区间(70,110)内的概率就是 0.954 4. (2)由 μ=90,σ=10,得 μ-σ=80,μ+σ=100. 由于正态变量在区间(μ-σ,μ+σ)内取值的概率是 0.682 6, 所以考试成绩 ξ 位于区间(80,100)内的概率是 0.682 6.一共有 2 000 名考生,所以考试成绩在(80,100)间的考生大约有 2 000×0.682 6≈1 365(人). 点评 解答这类问题的关键是熟记正态变量的取值位于区 间(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ)上的概率值, 同时又要根据已知的正态分布确定所给区间属于上述三个区间 中的哪一个. 探究 3 3σ 原则是什么意思. 由于正态变量在(-∞,+∞)内取值的概率是 1,由上所述, 容易推出,它在区间(μ-2σ,μ+2σ)之外取值的概率是 4.56%, 在区间(μ-3σ,μ+3σ)

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