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浙江省桐乡市高级中学2014-2015学年高一数学下学期期中试题


浙江省桐乡市高级中学 2014 学年第二学期高一年级期中试卷 数学试题(2015.4)
一.选择题(本大题有 8 小题,每小题 4 分,共 32 分) 1. 直角坐标系中, ? ? A.关于 x 轴对称

?
4

, ? ? ?45? , 两角始边为 x 轴的非负半轴,则 ? 与 ? 的终边 ( ▲ ) C. 关于 y 轴对称 D. 关于原点对称 ( ▲ )

B. 关于 y=x 对称

2. 角 α 的终边上一点的坐标为 ( 2 si n A. ?

1 2

B. ? 1

2? 2? i n ? 等于 ,2 cos ) , 则s 3 3 1 3 C. ? D. 2 2

1 3. y=sin x 的定义域为[a,b],值域为[-1, ],则 b-a 的值不可能是 2 2π π 4π A. B. C.π D. 3 3 3

( ▲ )

?x )(? ? 0) ,其图象关于点 M ( 4.已知函数 f ( x ) ? cos(
单调函数,则 ? 的值为 A.

6? ? ,0) 对称,且在区间 [0, ] 上是 7 2
( ▲ )

7 4

B.

7 7 7 , 或 4 8 12

C.

7 7 ,或 4 12

D.

7 6
( ▲ )

?? 5.已知 cos(
2 3 A.- 5

?
6

) ? sin? ?

7? 4 3 ?? ) 的值是 ,则 si n ( 6 5
4 C. 5 4 D.- 5

2 3 B. 5
2

6.△ABC 中, sin

A c?b ? (a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边),则△ABC 的形状为 2 2c

( ▲ ) A.直角三角形 B.正三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形 7.如图所示,已知半圆的直径 AB=2,点 C 在 AB 的延长线上,BC=1,点 P 为半圆 上的一个动点,以 PC 为边作等边△PCD,且点 D 与圆心 O 分别在 PC 的两侧,则四 边 形 OPDC 面 积 的 最 大 值 为 ( ▲ )

D

P A O B C

3 3 A. 2+ 4

5 3 B. 2+ 4

5 3 C. 4 + 4

D.2+ 2 3

8.在 ? ABC 中, tan A. ?

56 65

A 1 5 ? , sin(A ? B ) ? 则 cos B 的值为 2 2 13 16 16 56 56 16 B. 或? C. ? D. ? 或 65 65 65 65 65

( ▲ )

二.填空题(本大题有 6 小题,每小题 4 分,共 24 分)
1

9.在数 2 与 1 之间插入 10 个数,使这 12 个数成递减的等差数列,则公差为 10.在单位圆中,大小为 2 弧度的圆心角所对弦的长度为 ▲ .





11 .定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 对任意 x 满足 f ( x ? ? ) ? f ( x ) ,且当 x ? [0,

?
2

] 时,

f ( x ) ? si nx ,则 f (

5? ) 的值为 3
2





12.关于 x 的方程 2 sinx ? cos x ? m 的解集是空集,则实数 m 的取值范围是 13. 现给出下列结论: ( 1) 在 ?ABC 中, 若 sin A ? sin B 则 a ? b ; (2)sin



.

?
4

sin (x ?

?
4

)

是 sin x 和 cos x 的等差中项; (3)函数 y ? sinx ? 2 cos x 的值域为 [?3,3] ; (4)振动方程

y ? ?2 sin ( 2x ?

?
8

) ( x ? 0) 的 初 相 为

? ;(5) 锐 角 三 角 形 ABC 中 , 可 能 有 8
▲ .

cos A ? cos B ? cos C ? sin A ? sin B ? sin C .其中正确结论的个数为

14.关于 θ 的方程 3cos θ +sin θ +a=0 在(0,2π )内有两相异实根 α 、β ,则 α +β 的值为 ▲ .

三、解答题(共 44 分) 15. (本题 10 分) (1)求函数 y ? sin(

?
3

? 2 x ) , x ? [?? ,? ] 的单调递减区间;

(2)求函数 y ? 3 tan(

?
6

?

x ) 的周期及单调区间. 4

16. (本题 10 分) 设函数 f ( x ) ? cos(2 x ?

?
3

) ? sin2 x .
1 C 1 , f ( ) ? ? ,且 C 为锐角, 3 2 4

(1)求函数 f ( x ) 的最大值; (2)设 A,B,C 为△ABC 的三个内角,若 cos B ? 求 sin A.

2

17. (本题 12 分) 在 ? ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 (1)求

cos A ? 2 cos C 2c ? a ? . cos B b

sin C 的值; sin A

(2)若 cos B ?

1 , b ? 2 , ? ABC 的面积 S. 4

18. (本题 12 分) 设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? 0 , S2009 ? 0 . (1)求 Sn 的最小值及此时 n 的值; (2)求 n 的取值集合,使 a n ? S n .

3

桐乡市高级中学 2014 学年度第二学期期中考试 高一数学 参考答案及评分标准 一、选择题(每小题 4 分,共 32 分) 1 A 2 A 3 B 4 C 5 D 6 A 7 B 8 C

二、填空题(每小题 4 分,共 24 分) 9、 ?

1 ; 11

10、 2 sin 1 ; 11、

3 ; 2

12、 (??,?2) ? (2,??) ;

13、2 ; 14、

? 7? 或 3 3

三、解答题(共 44 分) 15. (本题 10 分)

?π ? 解 (1)由 y=sin? -2x?, 3 ? ? π? ? 得 y=-sin?2x- ?, 3? ? π π π 由- +2kπ ≤2x- ≤ +2kπ , 2 3 2 π 5π 得- +kπ ≤x≤ +kπ ,k∈Z, 12 12 又 x∈[-π ,π ], 7 π 5 11 ∴-π ≤x≤- π ,- ≤x≤ π , π ≤x≤π . 12 12 12 12 7 ? ? π 5 ? ?π ? ? ∴函数 y=sin? -2x?,x∈[-π ,π ]的单调递减区间为?-π ,- π ?,?- , π ?, 12 ? ? 12 12 ? ?3 ? ? ?11π ,π ?. ?12 ? ? ? ?π x? (2)函数 y=3tan? - ?的周期 ? 6 4? π T= =4π . ?-1? ? 4? ? ? ?π x? 由 y=3tan? - ? ? 6 4? ?x π ? 得 y=-3tan? - ?, ?4 6 ? π x π π 由- +kπ < - < +kπ 得 2 4 6 2 4 8 - π +4kπ <x< π +4kπ ,k∈Z, 3 3 8 ?π x? ? 4 ? ∴函数 y=3tan? - ?的单调递减区间为?- π +4kπ , π +4kπ ? (k∈Z). 3 ? 6 4? ? 3 ?
16. (本题 10 分)
4

解 (1)f(x)=cos 2xcos

π π 1-cos 2x -sin 2xsin + 3 3 2

1 3 1 1 = cos 2x- sin 2x+ - cos 2x 2 2 2 2 1 3 = - sin 2x. 2 2 π 所以,当 2x=- +2kπ ,k∈Z, 2 π 即 x=- +kπ (k∈Z)时, 4 f(x)取得最大值,f(x)max= 1+ 3 . 2

1 1 3 1 ?C? (2)由 f? ?=- ,即 - sin C=- , 4 2 2 4 ?2? 解得 sin C= 3 π ,又 C 为锐角,所以 C= . 2 3

1 2 2 由 cos B= 求得 sin B= . 3 3 因此 sin A=sin[π -(B+C)]=sin(B+C) =sin Bcos C+cos Bsin C 2 2 1 1 3 2 2+ 3 = × + × = . 3 2 3 2 6 17. (本题 12 分)

a b c ? ? ? k, (I)由正弦定理,设 sin A sin B sin C 2c ? a 2k sin C ? k sin A 2sin C ? sin A ? ? , k sin B sin B 则 b cos A ? 2 cos C 2sin C ? sin A ? . cos B sin B 所以 即 (cos A ? 2cos C )sin B ? (2sin C ? sin A) cos B ,
化简可得 sin( A ? B) ? 2sin( B ? C ). 又 A? B ?C ?? , 所以 sin C ? 2sin A

sin C ? 2. 因此 sin A sin C ?2 (II)由 sin A 得 c ? 2a.
由余弦定理

1 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B及 cos B ? , b ? 2, 4 1 得4=a 2 ? 4a 2 ? 4a 2 ? . 4
解得 a=1。 因此 c=2
5

1 cos B ? , 且G ? B ? ? . 4 又因为

sin B ?
所以

15 . 4

S?
因此

1 1 15 15 ac sin B ? ?1? 2 ? ? . 2 2 4 4

18. (本题 12 分) 2 009×2 008 (1)设公差为 d,则由 S2 009=0? 2 009a1+ d=0? a1+1 004d=0, 2 1 2 009-n d=- a1,a1+an= a1, 1 004 1 004 n n 2 009-n ∴Sn= (a1+an)= · a1 2 2 1 004 a1 = (2 009n-n2) 2 008 1 005 ∵a1<0,n∈N*,∴当 n=1 004 或 1 005 时,Sn 取最小值 a1. 2 1 005-n (2)an= a1. 1 004 a1 1 005-n Sn≤an? (2 009n-n2)≤ a1. 2 008 1 004 ∵a1<0,∴n2-2 011n+2 010≤0, 即(n-1)(n-2 010)≤0, 解得:1≤n≤2 010. 故所求 n 的取值集合为{n|1≤n≤2 010,n∈N*}.

6


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