给学生---【家教资料】高中数学必修一

基本初等函数

〖2.1〗指数函数
【2.1.1】指数与指数幂的运算
（1）根式的概念 ①如果 xn ? a, a ? R, x ? R, n ? 1 ，且 n ? N? ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根．当 n 是奇数时， a 的 n 次 方根用符号 n a 表示；当 n 是偶数时，正数 a 的正的 n 次方根用符号 n a 表示，负的 n 次方根用符号 ? n a 表示；0 的 n 次方根是 0；负数 a 没有 n 次方根． ②式子 n a 叫做根式，这里 n 叫做根指数， a 叫做被开方数．当 n 为奇数时， a 为任意实数；当 n 为 偶数时， a ? 0 ． ③根式的性质：( n a )n ? a ； 当 n 为奇数时，n an ? a ； 当 n 为偶数时，
n

(a ? 0) ?a ． a n ?| a |? ? ??a (a ? 0)

（2）分数指数幂的概念 ①正数的正分数指数幂的意义是： a ? n a m (a ? 0, m, n ? N? , 且 n ? 1) ．0 的正分数指数幂等于 0． ②正数的负分数指数幂的意义是： a 数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质 ① a ?a ? a
r s r r ?s
? m n

m n

1 m 1 ? ( ) n ? n ( )m (a ? 0, m, n ? N? , 且 n ? 1) ．0 的负分数指 a a

(a ? 0, r, s ? R)

② (a ) ? a (a ? 0, r, s ? R)
r s rs

③ (ab) ? a b (a ? 0, b ? 0, r ? R)
r r

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基本初等函数 【2.1.2】指数函数及其性质
（4）指数函数 函数 名称 定义 指数函数 函数 y ? a x (a ? 0 且 a ? 1) 叫做指数函数

a ?1

0 ? a ?1
y ? ax
y

y

y ? ax

图象

y?1
(0,1)

y?1

(0,1)

O
定义 域 值域 过定 点 奇偶 性 单调 性 函数 值的 变化 情况

1

x 0
R

O

1

x 0

(0, ??)
图象过定点 (0,1) ，即当 x ? 0 时， y ? 1 ． 非奇非偶 在 R 上是增函数 在 R 上是减函数

a x ? 1 ( x ? 0) a x ? 1 ( x ? 0) a x ? 1 ( x ? 0)

a x ? 1 ( x ? 0) a x ? 1 ( x ? 0) a x ? 1 ( x ? 0)

a 变
化对 图 在第一象限内， a 越大图象越高；在第二象限内， a 越大图象越低． 象的影响

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基本初等函数

〖2.2〗对数函数
【2.2.1】对数与对数运算
（1）对数的定义 ①若 a x ? N (a ? 0, 且a ? 1) ，则 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 x ? log a N ，其中 a 叫做底数， N 叫做真数． ②负数和零没有对数． ③对数式与指数式的互化： x ? loga N ? a x ? N (a ? 0, a ? 1, N ? 0) ．

（2）几个重要的对数恒等式

loga 1 ? 0 ， loga a ? 1 ， loga ab ? b ．
（3）常用对数与自然对数 常用对数： lg N ，即 log10 N ；自然对数： ln N ，即 loge N （其中 e ? 2.71828 …） ．

（4）对数的运算性质 如果 a ? 0, a ? 1, M ? 0, N ? 0 ，那么 ①加法： loga M ? loga N ? loga (MN ) ②减法： log a M ? log a N ? log a

M N

③数乘： n loga M ? loga M n (n ? R) ④a
log a N

?N
n

⑤ log ab M ?

n log a M (b ? 0, n ? R) b

⑥换底公式： log a N ?

logb N (b ? 0, 且b ? 1) logb a

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基本初等函数 【2.2.2】对数函数及其性质
（5）对数函数 函数 名称 定义 对数函数 函数 y ? log a x(a ? 0 且 a ? 1) 叫做对数函数

a ?1

0 ? a ?1

y

x?1

y ? loga x

y

x?1

y ? loga x

图象

O

1

(1, 0)

0

x

O

(1, 0) 1 0

x

定义 域 值域 过定 点 奇偶 性 单调 性 函数 值的 变化 情况 在 (0, ??) 上是增函数

(0, ??)
R
图象过定点 (1, 0) ，即当 x ? 1 时， y ? 0 ． 非奇非偶 在 (0, ??) 上是减函数

log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 (0 ? x ? 1)

log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 (0 ? x ? 1)

a 变
化 影响 (6)反函数的概念 设函数 y ? f ( x) 的定义域为 A ，值域为 C ，从式子 y ? f ( x) 中解出 x ，得式子 x ? ? ( y ) ．如果对于 对 图象的 在第一象限内， a 越大图象越靠低；在第四象限内， a 越大图象越靠高．

y 在 C 中的任何一个值， 通过式子 x ? ? ( y ) ，x 在 A 中都有唯一确定的值和它对应， 那么式子 x ? ? ( y ) 表
?1 ?1 示 x 是 y 的函数， 函数 x ? ? ( y ) 叫做函数 y ? f ( x) 的反函数， 记作 x ? f ( y) ， 习惯上改写成 y ? f ( x) ．

（7）反函数的求法 ①确定反函数的定义域，即原函数的值域；
?1 ②从原函数式 y ? f ( x) 中反解出 x ? f ( y) ；

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基本初等函数
③将 x ? f ?1 ( y) 改写成 y ? f ?1 ( x) ，并注明反函数的定义域． （8）反函数的性质 ①原函数 y ? f ( x) 与反函数 y ? f ?1 ( x) 的图象关于直线 y ? x 对称． ②函数 y ? f ( x) 的定义域、值域分别是其反函数 y ? f ?1 ( x) 的值域、定义域． ③若 P (a, b) 在原函数 y ? f ( x) 的图象上，则 P' (b, a) 在反函数 y ? f ?1 ( x) 的图象上． ④一般地，函数 y ? f ( x) 要有反函数则它必须为单调函数．

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基本初等函数

〖2.3〗幂函数
（1）幂函数的定义 一般地，函数 y ? x? 叫做幂函数，其中 x 为自变量， ? 是常数． （2）幂函数的图象

（3）幂函数的性质 ①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布 在第一、二象限(图象关于 y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇 非偶函数时，图象只分布在第一象限． ②过定点：所有的幂函数在 (0, ??) 都有定义，并且图象都通过点 (1,1) ． ③单调性：如果 ? ? 0 ，则幂函数的图象过原点，并且在 [0, ??) 上为增函数．如果 ? ? 0 ，则幂函数 的图象在 (0, ??) 上为减函数，在第一象限内，图象无限接近 x 轴与 y 轴． ④奇偶性：当 ? 为奇数时，幂函数为奇函数，当 ? 为偶数时，幂函数为偶函数．当 ? ?
q

q （其中 p, q p
q

互质， p 和 q ? Z ） ，若 p 为奇数 q 为奇数时，则 y ? x p 是奇函数，若 p 为奇数 q 为偶数时，则 y ? x p 是 偶函数，若 p 为偶数 q 为奇数时，则 y ? x 是非奇非偶函数．
? ⑤图象特征： 幂函数 y ? x , x ? (0, ??) ， 当 ? ? 1 时， 若 0 ? x ? 1， 其图象在直线 y ? x 下方， 若 x ?1，
q p

其图象在直线 y ? x 上方， 当 ? ? 1 时， 若 0 ? x ? 1， 其图象在直线 y ? x 上方， 若 x ?1， 其图象在直线 y ? x 下方．
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〖补充知识〗二次函数
（1）二次函数解析式的三种形式 ①一般式： f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ③两根式： f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 )(a ? 0) （2）求二次函数解析式的方法 ①已知三个点坐标时，宜用一般式． ②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与 x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求 f ( x ) 更方便． （3）二次函数图象的性质 ①二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 的图象是一条抛物线，对称轴方程为 x ? ?
2

②顶点式： f ( x) ? a( x ? h)2 ? k (a ? 0)

b , 顶点坐标是 2a

b 4ac ? b2 (? , )． 2a 4a
②当 a ? 0 时，抛物线开口向上，函数在 ( ??, ?

b b b ] 上递减，在 [? , ??) 上递增，当 x ? ? 时， 2a 2a 2a

f min ( x) ?

b b 4ac ? b2 ] 上递增，在 [? , ??) 上递减， ；当 a ? 0 时，抛物线开口向下，函数在 ( ??, ? 2a 2a 4a

当x??

b 4ac ? b2 时， f max ( x) ? ． 2a 4a
2

2 ③二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 当 ? ? b ? 4ac ? 0 时，图象与 x 轴有两个交点

M1 ( x1 ,0), M 2 ( x2 ,0),| M1M 2 |?| x1 ? x2 |?
2

? ． |a|

（4）一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 根的分布 一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够 系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面 结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布． 设一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的两实根为 x1 , x2 ，且 x1 ? x2 ．令 f ( x) ? ax ? bx ? c ，从以下
2 2

四个方面来分析此类问题： ①开口方向：a ②对称轴位置：x ? ?

b ③判别式：? ④端点函数值符号． 2a

①k＜x1≤x2

?

? ? ?

△＝b －4ac≥0 af(k)＞0 b － ＞k 2a

2

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基本初等函数
y
f (k ) ? 0
?

y
a?0

x??

b 2a

O

k x1
x??

k
x2
b 2a

O

x

?

x1

x2 x
a?0

f (k ) ? 0

②x1≤x2＜k

?
y

b －4ac≥0 ?△＝ af(k)＞0 ? b ?－2a＜k

2

y
f (k ) ? 0
?

a?0
O

x??
O

b 2a

x1

x2

k x
b 2a

k
x2
?

x1
a?0

x

x??

f (k ) ? 0

③x1＜k＜x2

?
y

af(k)＜0

y
a?0
?

f (k ) ? 0 x2 x
a?0

O

k
?

x1

x2

x

x1

O

k

f (k ) ? 0

④k1＜x1≤x2＜k2

?

? ? ? ? ?

△＝b －4ac≥0 a＞0 f(k1)＞0 f(k2)＞0 b k1＜－ ＜k2 2a

2

? ? 或? ? ?

△＝b －4ac≥0 a＜ 0 f(k1)＜0 f(k2)＜0 b k1＜－ ＜k2 2a

2

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基本初等函数
y
? ?

a?0

y

f ( k1 ) ? 0 f ( k ) ? 0 2 x1 x2 k2 x
O

x??

b 2a

O k 1

k1
?

x1

x2

k2
?

x

x??

b 2a

f ( k1 ) ? 0 a?0

f (k 2 ) ? 0

⑤有且仅有一个根 x1（或 x2）满足 k1＜x1（或 x2）＜k2 或 f(k2)=0 这两种情况是否也符合

?

f(k1)f(k2) ? 0，并同时考虑 f(k1)=0

y
?

a?0

y
f ( k1 ) ? 0
?

f ( k1 ) ? 0 x1 k2
?

O k 1

x2

x

O

x1 k 1
a?0

x2

k2

?

x

f (k 2 ) ? 0

f (k 2 ) ? 0

⑥k1＜x1＜k2≤p1＜x2＜p2

?

a＞0 ? ?f(k )＞0 ?f(k )＜0 f(p )＜0 ? ?f(p )＞0
1 2 1 2

a＜0 ? ?f(k )＜0 或?f(k )＞0 f(p )＞0 ? ?f(p )＜0
1 2 1 2

此结论可直接由⑤推出．

（5）二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 在闭区间 [ p, q ] 上的最值
2

设 f ( x ) 在区间 [ p, q ] 上的最大值为 M ，最小值为 m ，令 x0 ? （Ⅰ）当 a ? 0 时（开口向上）

1 ( p ? q) ． 2

最小值
① 若?

b ? p ，则 m ? f ( p) 2a
a?0

②若 p ? ?

b b ? q ，则 m ? f (? ) 2a 2a

yx ? ? b f (q) p
O

2a

a?0

y

x??

f (p) q
x

b 2a

f (q)
O
f (? b ) 2a

p

q

x

f
b f ((p) ? ) 2a

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基本初等函数
③若 ?

b ? q ，则 m ? f (q) 2a

a?0

y

x??

f (p) p (q)
O

b 2a

q
x
b ) 2a

f f (?

最大值
① 若?

b ? x0 ，则 M ? f (q) 2a
a?0

②?

b ? x0 ，则 M ? f ( p) 2a
a?0

yx ? ? b f
O

y

2a

x??

f q
x

b 2a

x(q) 0 p ?
f

(p) x0 ? p (q)

q
O

x
b ) 2a

b f ((p) ? ) 2a

f f (?

(Ⅱ)当 a ? 0 时(开口向下)

最大值
①若 ?

b ? p ，则 M ? f ( p) 2a

②若 p ? ?

b b ? q ，则 M ? f (? ) 2a 2a

a?0

f (?

yb
2a

)

a?0

f (?

yb
2a

)

f (p)
O

f q (p)
x
O

q p
b x ? ?(q) 2a

p
b x ? ?(q) 2a

x

f

f

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基本初等函数
③若 ?

b ? q ，则 M ? f (q) 2a

a?0

f (?

yb f 2a )

(q) p
O

q
x?? b 2a

x

f (p)

最小值
①若 ?

b ? x0 ，则 m ? f (q) 2a
a?0

②?

b ? x0 ，则 m ? f ( p) ． 2a
a?0

f (?

yb
2a

)

f (?

f (p)

yb f 2a )

(q)

x0 ? O p
b x ? ?(q) 2a

q
x

x0 p ?
f (p)

O

q
x?? b 2a

x

f

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