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简单的线性规划问题(一)

全国名校高中数学必修优质课时训练汇编(附详解) 3.3.3 一、基础过关 x+3y-3≥0, ? ? 1.若实数 x,y 满足不等式组?2x-y-3≤0, 则 x+y 的 ? ?x-y+1≥0, 最大值为________. x+y≤4, ? ? 2.已知点 P(x,y)的坐标满足条件?y≥x, 则 x2+y2 的 ? ?x≥1, 最大值为________. y≥|x-1| ? ? 3.已知 x,y∈R,则不等式组?y≤-|x|+2 所表示的平面 ? ?x≥0 区域的面积是________. x-y+2≥0, ? ? 4.设变量 x,y 满足约束条件?x-5y+10≤0, 则目标函 ? ?x+y-8≤0, 数 z=3x-4y 的最大值和最小值分别为______. 简单的线性规划问题(一) 5.已知实数 x,y ?x+2y-5≤0, ?x≥1, 满足? y≥0, ? ?x+2y-3≥0, y 则 的最大值为 x ____. x+3y≥12, ? ? 6.在线性约束条件?x+y≤10, 下,求 z=2x-y 的最大 ? ?3x+y≥12 值和最小值. 二、能力提升 全国名校高中数学必修优质课时训练汇编(附详解) 7.已知-1<x+y<4 且 2<x-y<3,则 z=2x-3y 的取值范围 是________.(答案用区间表示) 8 .已 知平 面 直 角坐 标系 xOy 上的 区域 D 由 不等 式组 0≤x≤ 2, ? ? ?y≤2, ? ?x≤ 2y 给定.若 M(x,y)为 D 上的动点,点 A 的 →· → 的最大值为________. 坐标为( 2,1),则 z=OM OA 2x+y-5≥0 ? ? 9.已知?3x-y-5≤0 ,求 x2+y2 的最小值和最大值. ? ?x-2y+5≥0 x-y≥-1, ? ? 10.若变量 x,y 满足约束条件?x+y≥1, 求目标函数 z ? ?3x-y≤3, =2x+3y 的最小值. 三、探究与拓展 11.已知实数 x,y ? ??x-y+6??x+y-6?≥0 满足? ? ?1≤x≤4 . (1)求 x2+y2-2 的取值范围; y (2)求 的取值范围. x-3 答案 5 1.9 2.10 3. 4.3,-11 5.2 4 x+3y≥12, ? ? 如图作出线性约束条件?x+y≤10, ? ?3x+y≥12 6. 解 下的可行域, 包含边界: 全国名校高中数学必修优质课时训练汇编(附详解) 其中三条直线中 x+3y=12 与 3x+y=12 交于点 A(3,3), x+y=10 与 x+3y=12 交于点 B(9,1), x+y=10 与 3x+y=12 交于点 C(1,9), 作一组与直线 2x-y=0 平行的直线 l:2x-y=z. 即 y=2x-z,然后平行移动直线 l,直线 l 在 y 轴上的截距 为-z,当 l 经过点 B 时,-z 取最小值,此时 z 最大,即 zmax=2×9-1=17;当 l 经过点 C 时,-z 取最大值,此 时 z 最小,即 zmin=2×1-9=-7. ∴zmax=17,zmin=-7. 7.(3,8) 8.4 9.解 作出不等式组 2x+y-5≥0, ? ? ?3x-y-5≤0, ? ?x-2y+5≥0, 的可行域如图所示, ? ?x-2y+5=0 由? ,得 A(1,3), 2 x + y - 5 = 0 ? ? 全国名校高中数学必修优质课时训练汇编(附详解) ? ?x-2y+5=0 由? ,得 B(3,4), ? ?3x-y-5=0 ? ?3x-y-5=0 由? ,得 C(2,1), ? ?2x+y-5=0 设 z=x2+y2,则它表示可行域内的点到原点的距离的平 方, 结合图形知, 原点到点 B 的距离最大, 注意到 OC⊥AC, ∴原点到点 C 的距离最小. 故 zmax=OB2=25,zmin=OC2=5. 10.解 作出约束条件的可行域,用数形结合法求出目标函 数的最小值. 约束条件的可行域如图阴影所示,作出直线 l0:2x+3y= 0. 平移直线 2x+3y=0,当直线通过点(1,0)时,z 有最小值, z 最小值=2×1+3×0=2. 11.解 (1)作出可行域如图, 由 x2+y2=(x-0)2+(y-0)2, 可以看作区域内的点与原点的距离的平方,最小值为原点 全国名校高中数学必修优质课时训练汇编(附详解) 到直线 x+y-6=0 的距离的平方, 即 OP2, 最大值为 OA2, |0+0-6| 6 其中 A(4,10),OP= = =3 2, 2 2 2 1 +1 OA= 42+102= 116, ∴(x2+y2-2)min=(3 2)2-2 =18-2=16, (x2+y2-2)max=( 116)2-2 =116-2=114, ∴16≤x2+y2-2≤114. 即 x2+y2-2 的取值范围为 16≤x2+y2-2≤114. (2) y x-3 = y-0 x-3 . 可以看作是区域内的动点与点 (3,0) 连线的 斜率.观察图象知 5 -0 y 或 ≤ , x-3 4-3 x-3 1-3 y y 5 即 ≥2 或 ≤- . 2 x-3 x-3 ? 5? y ∴ 的取值范围为?-∞,-2?∪[2,+∞). ? ? x-3 y ≥ 2-0

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