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三角函数经典解答题选编


三角函数经典解答题选编
? ?? ? 1. ( 2007 安 徽 理 ) 已 知 0 ? ? ? ,? 为 f ( x) ? cos ? 2 x ? ? 的 最 小 正 周 期 , ? ?? ?

2 cos 2 ? ? sin 2(? ? ? ) ? ? 1 ? ? 的值. 2) ,且 a b ? m .求 a ? ? tan ? ? ? ? ?, ? 1?, b ? (cos ?, cos ? ? sin ? 4 ? ? ? ?

4) , B(0, 0) , C (c, 0) . 2.(2007 广东理)已知 △ ABC 顶点的直角坐标分别为 A(3,

(1)若 c ? 5 ,求 sin ∠A 的值; (2)若∠A 是钝角,求 c 的取值范围.
?π ? ?π π? 3.(2007 湖北文)已知函数 f ( x) ? 2sin 2 ? ? x ? ? 3 cos 2 x , x ? ? , ? . ?4 ? ?4 2?

(I)求 f ( x) 的最大值和最小值;
?π π? (II)若不等式 f ( x) ? m ? 2 在 x ? ? , ? 上恒成立,求实数 m 的取值范围. ?4 2?
? 4.(2006 广东卷)已知函数 f ( x) ? sin x ? sin( x ? ), x ? R .
2

(I)求 f ( x) 的最小正周期; (II)求 f ( x) 的的最大值和最小值; (III)若 f (? ) ? ,求 sin 2? 的值.
?
3 4

sin( ? 2? ) 2 ? cos? ? 1, ? ? (0, ? ), 求 θ 的值. 5.(2006 湖南卷)已知 3 sin? ? cos(? ? ? )

6.(2006 辽宁卷)已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? 2sin x cos x ? 3cos2 x , x ? R .求: (I) 函数 f ( x) 的最大值及取得最大值的自变量 x 的集合; (II) 函数 f ( x) 的单调增区间. π π 7.(2006 陕西卷)已知函数 f(x)= 3sin(2x-6)+2sin2(x-12) (x∈R) (Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期; (II)求使函数 f(x)取得最大值的 x 的集合.

8.(2006 上海卷)求函数 y =2 cos( x ?

?
4

) cos( x ?

?
4

) + 3 sin 2x 的值域和最小正周期.

?? ? sin ? ? ? ? 5 4? ? 9.(2006 上海卷)已知 ? 是第一象限的角,且 cos ? ? ,求 的值. 13 cos ? 2? ? 4? ?
10.(2006 天津卷)已知 tan ? ?
1 5 π ?π π? ? , ? ? ? , ? .求 cos 2? 和 sin(2? ? ) 的值. tan a 2 4 ?4 2?

11.(2006 安徽卷)已知 0 ? ? ? (Ⅰ)求

?
2

,sin ? ?

4 5

sin 2 ? ? sin 2? 的值; cos 2 ? ? cos 2?
5? ) 的值。 4

(Ⅱ)求 tan(? ?

1 ? 2 sin(2 x ? ) 4 , 12.(2006 北京卷)已知函数 f ( x) ? cos x
(Ⅰ)求 f ( x) 的定义域;
4 (Ⅱ)设 ? 是第四象限的角,且 tan ? ? ? ,求 f (? ) 的值. 3

?

?π ? ?π π? 13.(2007 湖北文)已知函数 f ( x) ? 2sin 2 ? ? x ? ? 3 cos 2 x , x ? ? , ? . ?4 ? ?4 2?

(I)求 f ( x) 的最大值和最小值;
?π π? (II)若不等式 f ( x) ? m ? 2 在 x ? ? , ? 上恒成立,求实数 m 的取值范围. ?4 2?

π? π? π? ? ? ? 14.(2007 湖南文)已知函数 f ( x) ? 1 ? 2sin 2 ? x ? ? ? 2sin ? x ? ? cos ? x ? ? .求: 8? 8? 8? ? ? ?

(I)函数 f ( x) 的最小正周期; (II)函数 f ( x) 的单调增区间.

, c, 15. ( 2007 全 国卷 1 理)设锐角三 角形 ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b a ? 2b sin A . (Ⅰ)求 B 的大小;

(Ⅱ)求 cos A ? sin C 的取值范围.

16.(2007 山东文)在 △ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, tan C ? 3 7 . (1)求 cos C ; (2)若 CB CA ?
5 ,且 a ? b ? 9 ,求 c . 2

x?R , cos 2 x) , ·b , b ? (1 ? sin 2 x, 1) , 17. (2007 陕西理) 设函数 f ( x) ? a 其中向量 a ? (m, 且 y ? f ( x)

?π ? 的图象经过点 ? , 2? . ?4 ?

(Ⅰ)求实数 m 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的最小值及此时 x 值的集合.

18.(2007 四川理)已知 cos ? ? , cos( ? ? ?) ? (Ⅰ)求 tan 2? 的值. (Ⅱ)求 ? .

1 7

? 13 , 且0 < ? < ? < , 2 14

4 19.(2007 天津文)在 △ ABC 中,已知 AC ? 2 , BC ? 3 , cos A ? ? . 5 (Ⅰ)求 sin B 的值;

?? ? (Ⅱ)求 sin ? 2 B ? ? 的值. 6? ?

20.(2007 浙江理)已知 △ ABC 的周长为 2 ? 1 ,且 sin A ? sin B ? 2 sin C . (I)求边 AB 的长;
1 (II)若 △ ABC 的面积为 sin C ,求角 C 的度数. 6

06、07 年高考三角函数解答题选编
1.(2006 安徽卷)已知 0 ? ? ? (Ⅰ)求

?
2

,sin ? ?

4 5

sin 2 ? ? sin 2? 的值; cos 2 ? ? cos 2?

(Ⅱ)求 tan(? ?

5? ) 的值。 4

解:(Ⅰ)由 0 ? ? ?

?
2

,sin ? ?

sin 2 ? ? sin 2? 4 3 ,得 cos ? ? ,所以 = 5 5 cos 2 ? ? cos 2?

sin 2 ? ? 2sin ? cos ? ? 20 。 3cos 2 ? ? 1

(Ⅱ)∵ tan ? ?

sin ? 4 5? tan ? ? 1 1 ? ,∴ tan(? ? ) ? ? 。 cos ? 3 4 1 ? tan ? 7

1 ? 2 sin(2 x ? ) 4 , 2.(2006 北京卷)已知函数 f ( x) ? cos x
(Ⅰ)求 f ( x) 的定义域;
4 (Ⅱ)设 ? 是第四象限的角,且 tan ? ? ? ,求 f (? ) 的值. 3 ? 解: (1)依题意,有 cosx?0,解得 x?k?+ , 2 ? 即 f ( x) 的定义域为{x|x?R,且 x?k?+ ,k?Z} 2

?

1 ? 2 sin(2 x ? ) 4 =-2sinx+2cosx? f (? ) =-2sin?+2cos? (2) f ( x) ? cos x 4 4 3 由 ? 是第四象限的角,且 tan ? ? ? 可得 sin?=- ,cos?= 3 5 5 14 ? f (? ) =-2sin?+2cos?= 5
3.(2006 福建卷)已知函数 f(x)=sin2x+ 3 xcosx+2cos2x,x ? R. (I)求函数 f(x)的最小正周期和单调增区间; (Ⅱ)函数 f(x)的图象可以由函数 y=sin2x(x∈R)的图象经过怎样的变换得到? 本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数的图象和性质等基本知 识,以及推理和运算能力。满分 12 分。 解: (I) f ( x) ?
1 ? cos 2 x 3 ? sin 2 x ? (1 ? cos 2 x) 2 2

?

3 1 3 s i n x? 2 c x? o s 2 2 2 2 ? 3 ? s i nx ( ?2 ? ) . 6 2 ?
? f ( x) 的最小正周期 T ?

由题意得 2k? ?

?
2

? 2x ?

?

2? ? ?. 2 ? 2 k? ?

?
2

6

,k ? Z, 即

k? ?

?
3

? x ? k? ?

?
6

, k ? Z.

? ?? ? ? f ( x) 的单调增区间为 ? k? ? , k? ? ? , k ? Z . 3 6? ?
? 个单位长度,得到 12 ? 3 y?s i n ( x2 ? )图 象 , 再 把 所 得 图 象 上 所 有 的 点 向 上 平 移 个 单 位 长 度 , 就 得 到 的 6 2 ? 3 y ? sin(2 x ? ) ? 的图象。 6 2 ? 3 ? 3 方法二:把 y ? sin 2 x 图象上所有的点按向量 a ? (? , ) 平移,就得到 y ? sin(2 x ? ) ? 12 2 6 2
(II)方法一: 先 把 y ? s i n x 2图 象 上 所 有 点 向 左 平 移 的图象。
? 4.(2006 广东卷)已知函数 f ( x) ? sin x ? sin( x ? ), x ? R .
2

(I)求 f ( x) 的最小正周期; (II)求 f ( x) 的的最大值和最小值; (III)若 f (? ) ? ,求 sin 2? 的值. 解: f ( x) ? sin x ? sin( x ?
3 4

?
2

) ? sin x ? cos x ? 2 sin( x ? 2? ? 2? ; 1

?
4

)

(Ⅰ) f ( x) 的最小正周期为 T ?

(Ⅱ) f ( x) 的最大值为 2 和最小值 ? 2 ; (Ⅲ)因为 f (? ) ?
3 3 7 7 ,即 sin ? ? cos ? ? ? ? ? ① ? 2 sin ? cos ? ? ? ,即 sin 2? ? ? 4 4 16 16
sin( ? 2? ) 2 3 sin? ? ? cos? ? 1, ? ? (0, ? ), 求 cos(? ? ? )

?

5.(2006 湖南卷)已知

θ 的值.

解析: 由已知条件得 3 sin? ? 即 3 sin? ? 2 sin2 ? ? 0 . 解得 sin? ?
3 或 sin? ? 0 . 2

cos 2? ? cos? ? 1 . ? cos?

由 0<θ<π 知 sin? ?

3 ? 2? ,从而 ? ? 或? ? . 3 3 2

6.(2006 辽宁卷)已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? 2sin x cos x ? 3cos2 x , x ? R .求: (I) 函数 f ( x) 的最大值及取得最大值的自变量 x 的集合; (II) 函数 f ( x) 的单调增区间. 【解析】(I) 解法一:

f ( x) ?

1 ? cos 2 x 3(1 ? cos 2 x) ? ? sin 2 x ? ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 ? 2 sin(2 x ? ) 2 2 4

?当 2 x ?

?

4

? 2 k? ?

?

2

,即 x ? k? ?

?

8

(k ? Z ) 时, f ( x) 取得最大值 2 ? 2 .

函数 f ( x) 的取得最大值的自变量 x 的集合为 {x / x ? R, x ? k? ? 解法二:

?
8

(k ? Z )} .

f ( x) ? (sin 2 x ? cos2 x) ? 2sin x cos x ? 2cos2 x ? 2sin x cos x ?1 ? 2cos2 x ? sin 2x ? cos 2x ? 2
? 2 ? 2 sin(2 x ?

?
4

)

?当 2 x ?

?
4

? 2 k? ?

?
2

,即 x ? k? ?

?
8

(k ? Z ) 时, f ( x) 取得最大值 2 ? 2 .

函数 f ( x) 的取得最大值的自变量 x 的集合为 {x / x ? R, x ? k? ?

?
8

(k ? Z )} .

? ? ? ? (II)解: f ( x) ? 2 ? 2 sin(2 x ? ) 由题意得: 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? (k ? Z ) 4 2 4 2 3? ? 3? ? , k? ? ](k ? Z ) . 即: k? ? ? x ? k? ? (k ? Z ) 因此函数 f ( x) 的单调增区间为 [k? ? 8 8 8 8
【点评】 本小题考查三角公式,三角函数的性质及已知三角函数值求角等基础知识,考查综合运 用三角有关知识的能力. π π 7.(2006 陕西卷)已知函数 f(x)= 3sin(2x- )+2sin2(x- ) (x∈R) 6 12 (Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期 ; (2)求使函数 f(x)取得最大值的 x 的集合. π π 解:(Ⅰ) f(x)= 3sin(2x-6)+1-cos2(x-12) 3 π 1 π = 2[ 2 sin2(x-12)-2 cos2(x-12)]+1 π π =2sin[2(x-12)-6]+1 π = 2sin(2x-3) +1 2π ∴ T= 2 =π π π π (Ⅱ)当 f(x)取最大值时, sin(2x-3)=1,有 2x-3 =2kπ+2 5π 5π 即 x=kπ+ 12 (k∈Z) ∴所求 x 的集合为{x∈R|x= kπ+ 12 , (k∈Z)}. ? ? 8.(2006 上海卷)求函数 y =2 cos( x ? ) cos( x ? ) + 3 sin 2x 的值域和最小正周期. 4 4 [解]

y?2 c o s x( ?? 4

?( ? ) cxo ?s 4

)

x 3sin 2

? 2( 1 cos 2 x ? 1 sin 2 x ) ? 3sin 2 x 2 2 ? cos2 x ? 3sin 2 x ? 2sin(2 x ? ? ) 6

∴ 函数 y ? 2cos( x ? ? )cos( x ? ? ) ? 3sin2 x 的值域是 [?2,2] ,最小正周期是 ? ; 4 4

?? ? sin ? ? ? ? 5 4? ? 9.(2006 上海卷)已知 ? 是第一象限的角,且 cos ? ? ,求 的值。 13 cos ? 2? ? 4? ?
2 2 (cos? ? sin ? ) (cos? ? sin ? ) 2 1 4 = 2 解: ? 2 2 ? ? 2 cos( 2? ? 4? ) cos 2? 2 cos? ? sin ? cos ? ? sin ?

sin(? ?

?

)

由已知可得 sin ? ? ∴原式=

12 , 13

2 1 13 2 ? ?? . 5 12 2 14 ? 13 13
5 π ?π π? , ? ? ? , ? .求 cos 2? 和 sin(2? ? ) 的值. 2 4 ?4 2?

10. (2006 天津卷)已知 tan ? ? cot ? ?

本小题考查同角三角函数关系、两角和公式、倍角公式等基础知识,考查基本运算能力。
5 sin ? cos ? 5 2 5 4 ? ? ,则 ? ,sin 2? ? . 解法一:由 tan ? ? cot ? ? , 得 2 cos ? sin ? 2 sin ? 2 5 ? ? ? 3 cos 2? ? ? 1 ? sin 2 2? ? , 因为 ? ? ( , ), 所以 2? ? ( , ? ), 4 2 2 5

? ? ? 4 2 3 2 2 sin(2? ? ) ? sin 2? .cos ? cos 2? .sin ? ? ? ? ? . 4 4 4 5 2 5 2 10
5 1 5 tan ? ? ? , 解法二:由 tan ? ? cot ? ? , 得 2 tan ? 2 1 ? ? 1 解得 tan ? ? 2 或 tan ? ? . 由已知 ? ? ( , ), 故舍去 tan ? ? , 得 tan ? ? 2. 2 4 2 2

因此, sin ? ?

2 5 5 , cos ? ? . 那么 5 5

3 cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? ? , 5

4 且 sin 2? ? 2sin ? cos ? ? , 5

? ? ? 4 2 3 2 2 故 sin(2? ? ) ? sin 2? .cos ? cos 2? .sin ? ? ? ? ? . 4 4 4 5 2 5 2 10
? ?? ? 11. ( 2007 安 徽 理 16 ) 已 知 0 ? ? ? ,? 为 f ( x) ? cos ? 2 x ? ? 的 最 小 正 周 期 , ? ?? ?

2 cos 2 ? ? sin 2(? ? ? ) ? ? 1 ? ? 的值. 2) ,且 a b ? m .求 a ? ? tan ? ? ? ? ?, ? 1?, b ? (cos ?, cos ? ? sin ? 4 ? ? ? ?

本小题主要考查周期函数、平面向量数量积与三角函数基本关系式,考查运算能力和推理能 力.本小题满分 12 分.
π? ? 解:因为 ? 为 f ( x) ? cos ? 2 x ? ? 的最小正周期,故 ? ? π . 8? ? 1 ? ? · b ? m ,又 a 因a · b ? cos ? · tan ? ? ? ? ? ? 2 . 4 ? ? 1 ? ? 故 cos ? · tan ? ? ? ? ? ? m ? 2 . 4 ? ?

由于 0 ? ? ?

π ,所以 4

2cos 2 ? ? sin 2(? ? ? ) 2cos 2 ? ? sin(2? ? 2 π) ? cos ? ? sin ? cos ? ? sin ? ? 2cos 2 ? ? sin 2? 2cos ? (cos ? ? sin ? ) ? cos ? ? sin ? cos ? ? sin ?

? 2cos ?

1 ? tan ? π? ? ? 2cos ? · tan ? ? ? ? ? 2(2 ? m) 1 ? tan ? 4? ?

4) , B(0, 0) , C (c, 0) . 12.(2007 广东理 16)已知 △ ABC 顶点的直角坐标分别为 A(3,

(1)若 c ? 5 ,求 sin ∠A 的值; (2)若∠A 是钝角,求 c 的取值范围. 解 析 :
c o?A s?

( 1 ) AB ? (?3, ?4) , AC ? (c ? 3, ?4) , 若

c=5 ,

则 AC ? (2, ?4) , ∴

2 5 ?6 ? 1 6 1 ,∴sin∠A= ; ? c o A s C ?? A B , ? 5 5? 2 5 5 ? ?3c ? 9 ? 16 ? 0 25 25 2)若∠A 为钝角,则 ? 解得 c ? ,∴c 的取值范围是 ( , ??) ; c ? 0 3 3 ?

?π ? ?π π? 13.(2007 湖北文 16)已知函数 f ( x) ? 2sin 2 ? ? x ? ? 3 cos 2 x , x ? ? , ? . ?4 ? ?4 2?

(I)求 f ( x) 的最大值和最小值;
?π π? (II)若不等式 f ( x) ? m ? 2 在 x ? ? , ? 上恒成立,求实数 m 的取值范围. ?4 2?

本小题主要考查三角函数和不等式的基本知识,以及运用三角公式、三角函数的图象和性质 解题的能力.

? ?π ?? 解: (Ⅰ)∵ f ( x) ? ?1 ? cos ? ? 2 x ?? ? 3 cos 2 x ? 1 ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ?2 ?? ?
π? ? ? 1 ? 2sin ? 2 x ? ? . 3? ?
π π 2π π? ? ?π π? 又∵ x ? ? , ? ,∴ ≤ 2 x ? ≤ ,即 2 ≤1 ? 2sin ? 2 x ? ? ≤ 3 , 6 3 3 3? ? ?4 2?

∴ f ( x)max ? 3 ,f ( x)min ? 2 .
?π π? (Ⅱ)∵ f ( x) ? m ? 2 ? f ( x) ? 2 ? m ? f ( x) ? 2 , x ? ? , ? , ?4 2?

∴m ? f ( x)max ? 2 且 m ? f ( x)min ? 2 ,
∴1 ? m ? 4 ,即 m 的取值范围是 (1 , 4) .

14.(2007 湖南文 16)
π? π? π? ? ? ? 已知函数 f ( x) ? 1 ? 2sin 2 ? x ? ? ? 2sin ? x ? ? cos ? x ? ? .求: 8? 8? 8? ? ? ?

(I)函数 f ( x) 的最小正周期; (II)函数 f ( x) 的单调增区间.
π π 解: f ( x) ? cos(2 x ? ) ? sin(2 x ? ) 4 4 π π π ? 2 sin(2 x ? ? ) ? 2 sin(2 x ? ) ? 2 cos 2 x . 4 4 2 2π ? π; (I)函数 f ( x) 的最小正周期是 T ? 2 π (II)当 2kπ ? π ≤ 2 x ≤ 2kπ ,即 kπ ? ≤x ≤k π ( k ? Z )时,函数 f ( x) ? 2 cos 2x 是增函数, 2 π 故函数 f ( x) 的单调递增区间是 [kπ ? ,kπ] ( k ? Z ) . 2

15.(2007 全国卷 1 理 17) 设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c , a ? 2b sin A . (Ⅰ)求 B 的大小; (Ⅱ)求 cos A ? sin C 的取值范围. 解: (Ⅰ)由 a ? 2b sin A ,根据正弦定理得 sin A ? 2sin B sin A ,所以 sin B ? 由 △ ABC 为锐角三角形得 B ?
π . 6 1 , 2

? ? ? (Ⅱ) cos A ? sin C ? cos A ? sin ? ? ? ? A ? ? ? ? ?? ? ? cos A ? sin ? ? A ? ?6 ? 1 3 ? cos A ? cos A ? sin A 2 2 ?? ? ? 3 sin ? A ? ? . 3? ?

由 △ ABC 为锐角三角形知,
? ? ? ? ? ? ? A? ?B, ?B? ? ? . 2 2 2 2 6 3 2? ? ? ? A? ? , 3 3 6

1 ? ?? 3 所以 sin ? A ? ? ? . 2 ? 3? 2
由此有

3 ?? 3 ? ? 3 sin ? A ? ? ? ? 3, 2 3? 2 ?

? 3 3? 所以, cos A ? sin C 的取值范围为 ? ? ? 2 , ?. 2 ? ?

16.(2007 山东文 17) 在 △ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, tan C ? 3 7 . (1)求 cos C ;
5 ,且 a ? b ? 9 ,求 c . 2 sin C ? ?3 7 解: (1) tan C ? 3 7, cos C

(2)若 CB CA ?

又 sin 2 C ? cos2 C ? 1
1 解得 cos C ? ? . 8
tan C ? 0 ,? C 是锐角.

1 ? cos C ? . 8 5 (2) CB CA ? , 2 5 ? ab cos C ? , 2
? ab ? 20 .

又 a?b ?9
? a2 ? 2ab ? b2 ? 81 . ? a 2 ? b2 ? 41. ?c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C ? 36 .
?c ? 6 .
cos 2 x) , b ? (1 ? sin 2 x, · b ,其中向量 a ? (m, 1) , x ? R ,且 17.(2007 陕西理 17)设函数 f ( x) ? a

y ? f ( x) 的图象经过点 ? , 2? .

?π ?4

? ?

(Ⅰ)求实数 m 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的最小值及此时 x 值的集合. 解: (Ⅰ) f ( x) ? a b ? m(1 ? sin 2 x) ? cos 2 x ,
π? π ?π? ? 由已知 f ? ? ? m ?1 ? sin ? ? cos ? 2 ,得 m ? 1 . 2? 2 ?4? ? π? ? (Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x) ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? 2 sin ? 2 x ? ? , 4? ? π? ? ? 当 sin ? 2 x ? ? ? ?1时, f ( x) 的最小值为 1 ? 2 , 4? ?

? 3π ? π? ? 由 sin ? 2 x ? ? ? ?1,得 x 值的集合为 ? x x ? kπ ? ,k ? Z? . 4? 8 ? ? ?
18.(2007 四川理 17) 已知 cos ? ? , cos( ? ? ?) ? (Ⅰ)求 tan 2? 的值. (Ⅱ)求 ? . 本题考察三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号,已知三角函数值求角以及计算 能力。 解: (Ⅰ)由 cos ? ? , 0 ? ? ?
1 7 1 7

? 13 , 且0 < ? < ? < , 2 14

?

1? 4 3 ,得 sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? 1 ? ? ? ? ? 2 7 ?7?

2

∴ tan ? ? sin ? ? 4 3 ? 7 ? 4 3 ,于是 tan 2? ? 2 tan ? ? 2 ? 4 3 ? ? 8 3 2 2
cos ? 7 1
1 ? tan ? 1? 4 3

?

?

47

(Ⅱ)由 0 ? ? ? ? ?

?
2

,得 0 ? ? ? ? ?

?
2
2

13 ? 3 3 又∵ cos ?? ? ? ? ? 13 ,∴ sin ?? ? ? ? ? 1 ? cos 2 ?? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? 14 14 ? 14 ?

由 ? ? ? ? ?? ? ? ? 得:
cos ? ? cos ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? cos? cos ?? ? ? ? ? sin ? sin ?? ? ? ? ?

1 13 4 3 3 3 1 ? ? ? ? 7 14 7 14 2

所以 ? ?

?
3

19.(2007 天津文 17)
4 在 △ ABC 中,已知 AC ? 2 , BC ? 3 , cos A ? ? . 5

(Ⅰ)求 sin B 的值;
?? ? (Ⅱ)求 sin ? 2 B ? ? 的值. 6? ?

本小题考查同角三角函数的基本关系式、两角和公式、倍角公式、正弦定理等的知识,考查 基本运算能力.满分 12 分.
3 ? 4? (Ⅰ)解:在 △ ABC 中, sin A ? 1 ? cos A ? 1 ? ? ? ? ? ,由正弦定理, 5 ? 5?
2 2

BC AC ? . sin A sin B AC 2 3 2 sin A ? ? ? . 所以 sin B ? BC 3 5 5 4 (Ⅱ)解:因为 cos A ? ? ,所以角 A 为钝角,从而角 B 为锐角,于是 5

21 ?2? cos B ? 1 ? sin B ? 1 ? ? ? ? , 5 ?5?
2

2

cos 2 B ? 2cos 2 B ? 1 ? 2 ?

21 17 ?1 ? , 5 25

2 21 4 21 sin 2B ? 2sin B cos B ? 2 ? ? ? . 5 5 15 ?? ? ? ? sin ? 2 B ? ? ? sin 2 B cos ? cos 2 B sin 6? 6 6 ? ? 4 21 3 17 1 ? ? ? 25 2 25 2

?

12 7 ? 17 . 50

20.(2007 浙江理 18) 已知 △ ABC 的周长为 2 ? 1 ,且 sin A ? sin B ? 2 sin C . (I)求边 AB 的长;
1 (II)若 △ ABC 的面积为 sin C ,求角 C 的度数. 6

解: (I)由题意及正弦定理,得 AB ? BC ? AC ? 2 ? 1 ,

BC ? AC ? 2 AB ,
两式相减,得 AB ? 1 .
1 1 1 (II)由 △ ABC 的面积 BC AC sin C ? sin C ,得 BC AC ? , 2 6 3

由余弦定理,得 cos C ?

AC 2 ? BC 2 ? AB 2 2 AC BC

?

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