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内蒙古呼和浩特市第二中学2014届高三上学期期末考试数学(文)试题

呼和浩特市第二中学 2014 届高三上学期期末考 试 数学文试题

一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,选 出符合题目要求的一项. 把答案填在答题卡上. 1.集合 M ? {x | lg x ? 0} , N ? {x | x ? 4} ,则 M ? N ? (
2

) D. [1, 2]

A. (1, 2)

B. [1, 2)

C. (1, 2]

1 ? 2i ,则复数 z 的虚部是( ) 1? i 3 3 1 A. i B. C. ? i 2 2 2 3.等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 S3 =6, a1 =4, 则公差 d 等于
2.已知为虚数单位,复数 z ? A.1 B

D. ?

1 2

5 3

C.- 2

D3 ) D.(3,4)

4. 函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? A.(0,1)
x

2 的零点所在的大致区间是( x
C.(2,3) )

B.(1,2)

5.曲线 y ? e ? 1 在点 A(0,1)处的切线斜率为( A.1 B.2 C. e D.

1 e
1 ≥1,则 p 是 q 的( x
)

6.已知 x 为实数,条件 p: x 2< x ,条件 q: A.充分不必要条件 C.充要条件 7.下面给出的是计算 件是( ) A. i ? 10 ? C. i ? 20 ?

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

1 1 1 1 ? ? ? ? ? 的值的一个程序框图,其中判断框内应填入的条 2 4 6 20
B. i ? 10 ? D. i ? 20 ?

8.在矩形 ABCD 中,AB=4,BC=3,沿 AC 将矩形 ABCD 折叠,连结顶点 B、D 形成三棱锥 B-ACD,其正视图和俯视图如图所示,则其侧 视图的面积为( )
12 5 72 C. 25
A.

12 25 144 D. 25
B.

9. 已知 x ? 0, y ? 0, lg 2 x ? lg 8 y ? lg 2, 则 A.2 B.2 2 C.4

1 1 的最小值是( ? x 3y
D.2 3



10.若函数 f ? x ? ? l o g 1 x ? 6x ? 5 在 ? a,+? ? 上是减函数,则 a 的取值范围是
2 2

?

?

A. ? ??,1?

B. ? ??,3?

C.

? 3,+? ?

D. ?5, ?? ?

11.如图所示,点 P 是函数 y ? 2 sin(?x ? ? ) ( x ? R , ? ? 0) 的图象的最高 点,M ,N 是该图象与 x 轴的交点, 若 PM ? PN ? 0 , 则 ? 的值为 ( A. )

? 8

B.

? 4

C. 4

D. 8

12.设双曲线的一个焦点为 F ,虚轴的一个端点为 B ,如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近 线垂直,那么此双曲线的离心率为( A. 2 B. 3 C. ) D.

3 ?1 2

5 ?1 2

第二部分(非选择题 共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡上.

13.圆心在原点,且与直线 x ? y ? 2 ? 0 相切的圆的方程为 14.知向量 a ? (1 , sin ? ) , b ? (1 , cos ? ) ,则 a ? b 的最大值为

?

?

? ?

15.已知 x, y ? Z , n ? N ,设 f (n) 是不等式组 ?
*

? x ?1 表示的平面区域内可行解 ?0 ? y ? ? x ? n
3 2 ,且 2

的个数,则 f (2) =_______ 16.在半径为 3 的球面上有 A、B、C 三点,球心 O 到平面 ABC 的距离是

?ABC ? 90? , AB ? BC ,则 B、C 两点间的球面距离为

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明

过程.
17.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ), x ? R (其中 A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ? 且图象上一个最低点为 M ( (1) 求 f ( x) 的解析式; (2)当 x ? [0,

?
2

)的周期为 ? ,

2? , ?2) . 3

?
12

] ,求 f ( x) 的最大值和最小值.

18.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) 满足 f ( x ? 1) ? 3 f ( x) ? 2,若a1 ? 1, an ? f (n) . (1)设 Cn ? an ? 1 ,证明: {Cn } 是等比数列; (2)设 Sn 是数列 {an } 的前 n 项和,求 Sn .

19.(本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为正方形, PD ? 平面 ABCD,PD=AB=4,E、F、 G 分别是 PC、PD、BC 的中点. (1)求证: PA ?平面 EFG (2)求三棱锥 P-EFG 的体积 (3)求点 P 到平面 EFG 的距离

20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C:

2 x2 y 2 ,其左、右焦点分别为 F1,F2, ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0 ? 的离心率为 2 2 a b

点 P 是坐标平面内一点,且|OP|=

? 3 7 ???? ???? (O 为坐标原点)。 PF ? PF 1 2 ? 2 , 4

(1)求椭圆 C 的方程; ???? ? ???? (2)若过 F1 的直线 L 与该椭圆相交于 M、N 两点,且 F1M ? 2 F1 N ,求直线 L 的方程。

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 减函数。 (Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)求证:对于任意的 x1 ? [1, m] 总存在 x 2 ? [1, m], 使得g ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? 0. 成立。

1 a 函数 g ( x) ? ln x ? ax 在(1, ??) 上为 ( x ? )在(1, ??) 上为增函数, 2 x

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。做答 时请写清题号。 22.(本小题满分 10 分)《选修 4—1:几何证明选讲》 如图,圆 O 的直径 AB ? 6 , C 为圆周上一点, BC ? 3 ,过 C 作圆的切线,过 A 作的垂 线 AD,AD 分段别与直线、圆交于点 D、E。求 ?DAC 的度数与线段 AE 的长。

23. (本小题满分 10 分)《选修 4—4:坐标系与参数方程》

? ?x ? t 平面直角坐标系中,直线的参数方程是 ? (为参数),以坐标原点为极点, x 轴 ? ? y ? 3t
的正半轴为极轴,建立极坐标系,已知曲线 C 的极坐标方程为

? 2 cos 2 ? ? ? 2 sin 2 ? ? 2 ? sin ? ? 3 ? 0 .
(1)求直线的极坐标方程; (2)若直线与曲线 C 相交于 A 、 B 两点,求 | AB | .

24. (本小题满分 10 分)《选修 4—5:不等式选讲》 设函数 f ? x ? ? x ? a ? 3x ,其中 a ? 0 . (1)当 a ? 1 时,求不等式 f ? x ? ? 3 x ? 2 的解集; (2)若不等式 f ? x ? ? 0 的解集为 ? x | x ? ?1? ,求 a 的值

参考答案(文科) 一、选择题

19. 解(1)证明平面 PAB P平面 EFG (2) VP-EFG ? VG-PEF ?

4 3 4

(3) 设点 P 到平面 EFG 的距离为 d,由 VP-EFG ? VG-PEF ? 有 3

1?1 4 ? ? ?2?2 2 ?d ? ? d ? 2 3? 2 3 ?

21. 解(1) f ?( x) ?
2

1 a (1 ? 2 ) ? 0在(1,??) 上恒成立 2 x

则 a ? x 在(1,??) 上恒成立∴ a ? 1 又 g ?( x) ?

1 1 ? a ? 0在(1,??) 上恒成立,则 a ? 在(1,??) 上恒成立∴ a ? 1 ,而 a=1 x x

(2)依题意可知,只须证:函数 y ? ? f ( x) 的值域是函数 y ? g ( x) 值域的子集 设 y ? ? f ( x) 的值域为 M, y ? g ( x) 的值域为 N; 由(1)可知 y ? ? f ( x) = ?

1 1 ( x ? )在[1, m] 上为减函数, 2 x 1 1 g ( x) ? ln x ? x在[1, m] 上为减函数∴ M ? [? (m ? ),?1], N ? {ln m ? m,?1} 2 m

设 ? ( x) ? x ?

1 ? 2 ln x, ( x ? 1) x

则∵ x ? 1, ∴ ? ?( x) ? 1 ?

1 2 ( x ? 1) 2 ? ? ? 0, x2 x x2

∴ y ? ? ( x)在(1,??) 上为增函数 ∵m>1,∴ ? (m) ? ? (1) ? 0 ∴ 2 ln m ? m ? ∴ M ? N , 即 对于任意的 x1 ? [1, m](m ? 1) 总存在 x 2 ? [1, m] ,使得 g ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? 0

1 1 1 ∴ ? (m ? ) ? ln m ? m m 2 m

24.


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