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江川区第二中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

江川区第二中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. =( )

姓名__________

分数__________

A.﹣i B.i C.1+i D.1﹣i 2. 对一切实数 x,不等式 x2+a|x|+1≥0 恒成立,则实数 a 的取值范围是( A.(﹣∞,﹣2) A.有最大值 B. D.上是减函数,那么 b+c( C.有最小值 ) B.有最大值﹣
2



D.有最小值﹣ ) D. ?2

3. 若关于的不等式 A.

x?a ? 0 的解集为 ?3 ? x ? ?1 或 x ? 2 ,则的取值为( x ? 4x ? 3 1 1 B. C. ? 2 2


4. 已知 f(x)=4+ax﹣1 的图象恒过定点 P,则点 P 的坐标是( A.(1,5) B.(1,4) C.(0,4) D.(4,0) 5. 某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是 A、 28 ? 6 5 C、 56 ? 12 5 B、 30 ? 6 5 D、 60 ? 12 5

6. 已知正△ ABC 的边长为 a,那么△ ABC 的平面直观图△ A′B′C′的面积为( A. B. C. ) C. ?1? A ) D.



7. 已知集合 A ? ? x ? N | x ? 5? ,则下列关系式错误的是( A. 5 ? A B. 1.5 ? A 8. 如图是一个多面体的三视图,则其全面积为(

D. 0 ? A

A.

B.

C.

D.

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9. 已知 i 是虚数单位,则复数 A.﹣ + i B.﹣ + i C. ﹣ i

等于( D. ﹣ i



10.若直线 y ? 2 x 上存在点 ( x, y ) 满足约束条件

? x ? y ? 3 ? 0, ? ? x ? 2 y ? 3 ? 0, 则实数 m 的最大值为 ? x ? m, ?
A、 ?1 B、 C、

3 2

D、 2

11.有下列四个命题: ①“若 a2+b2=0,则 a,b 全为 0”的逆否命题; ②“全等三角形的面积相等”的否命题; ③“若“q≤1”,则 x2+2x+q=0 有实根”的逆否命题; ④“矩形的对角线相等”的逆命题. 其中真命题为( A.①② ) B.①③ C.②③ ) D.③④

12.下面的结构图,总经理的直接下属是(

A.总工程师和专家办公室 B.开发部 C.总工程师、专家办公室和开发部 D.总工程师、专家办公室和所有七个部

二、填空题
13.已知圆 C 的方程为 x ? y ? 2 y ? 3 ? 0 ,过点 P ? ?1, 2? 的直线与圆 C 交于 A, B 两点,若使 AB
2 2

最小则直线的方程是



14.在 ?ABC 中, ?C ? 90 , BC ? 2 , M 为 BC 的中点, sin ?BAM ?

1 ,则 AC 的长为_________. 3

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15.设 x,y 满足约束条件

,则目标函数 z=2x﹣3y 的最小值是



16.【常熟中学 2018 届高三 10 月阶段性抽测(一)】函数 f ? x ? ? 17.已知正四棱锥 O ? ABCD 的体积为 2 ,底面边长为 3 , 则该正四棱锥的外接球的半径为_________

1 2 x ? lnx 的单调递减区间为__________. 2

18.已知命题 p:?x∈R,x2+2x+a≤0,若命题 p 是假命题,则实数 a 的取值范围是 示)

.(用区间表

三、解答题
19.火车站 该小汽车从 北偏东 处以 60 方向的 处有一电视塔,火车站正东方向的 处有一小汽车,测得 距离为 31 , 的速度前往火车站,20 分钟后到达 处,测得离电视塔 21 ,问小汽车到火车站还需

多长时间?

20.(本小题满分 12 分) 两个人在进行一项掷骰子放球游戏中,规定:若掷出 1 点,甲盒中放一球;若掷出 2 点或 3 点,乙盒中

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放一球;若掷出 4 点或 5 点或 6 点,丙盒中放一球,前后共掷 3 次,设 x, y , z 分别表示甲,乙,丙 3 个 盒中的球数. (1)求 x ? 0 , y ? 1 , z ? 2 的概率; (2)记 ? ? x ? y ,求随机变量 ? 的概率分布列和数学期望. 【命题意图】 本题考查频离散型随机变量及其分布列等基础知识, 意在考查学生的统计思想和基本的运算能力.

21.【徐州市 2018 届高三上学期期中】如图,有一块半圆形空地,开发商计划建一个矩形游泳池 形附属设施 矩形的一边

及其矩

,并将剩余空地进行绿化,园林局要求绿化面积应最大化.其中半圆的圆心为 ,半径为 , 在直径上,点 、 、 、 在圆周上, 、 在边 ,求 上,且 ,设 .

(1)记游泳池及其附属设施的占地面积为 (2)怎样设计才能符合园林局的要求?

的表达式;

22.对于定义域为 D 的函数 y=f(x),如果存在区间[m,n]?D,同时满足: ①f(x)在[m,n]内是单调函数; ②当定义域是[m,n]时,f(x)的值域也是[m,n].
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则称[m,n]是该函数的“和谐区间”.
2 (1)证明:[0,1]是函数 y=f(x)=x 的一个“和谐区间”.

(2)求证:函数 (3)已知:函数 最大值.

不存在“和谐区间”. (a∈R,a≠0)有“和谐区间”[m,n],当 a 变化时,求出 n﹣m 的

23.已知函数 f(x)=x3+x. (1)判断函数 f(x)的奇偶性,并证明你的结论; (2)求证:f(x)是 R 上的增函数; (3)若 f(m+1)+f(2m﹣3)<0,求 m 的取值范围.
3 3 2 2 (参考公式:a ﹣b =(a﹣b)(a +ab+b ))

24.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 2 cos? ? y ? sin ?

( ? 为参数),过点 P(1,0) 的直线交曲线 C 于 A、B 两点.

(1)将曲线 C 的参数方程化为普通方程; (2)求 | PA | ? | PB | 的最值.

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江川区第二中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】 B 【解析】解: 故选:B. 【点评】本题考查复数的代数形式混合运算,复数的除法的运算法则的应用,考查计算能力. 2. 【答案】B 【解析】解:由 f(x)在上是减函数,知 f′(x)=3x2+2bx+c≤0,x∈, 则 ?15+2b+2c≤0?b+c≤﹣ 故选 B. 3. 【答案】D 【解析】 试题分析:由题意得,根据不等式与方程的关系可知,不等式解集的端点就是对应的方程的根,可得方程 . = = =i.

x?a ? 0 ,解得 x ? ?3, x ? ?1, x ? ?a ,其对应的根分别为 x ? ?3, x ? ?1, x ? 2 ,所以 a ? ?2 ,故选 x ? 4x ? 3
2

D. 考点:不等式与方程的关系. 4. 【答案】A 【解析】解:令 x﹣1=0,解得 x=1,代入 f(x)=4+a 则函数 f(x)过定点(1,5). 故选 A. 5. 【答案】B 【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥, 所求表面积为三棱锥四个面的面积之和。 利用垂直关系和三角形面积公式,可得:
x﹣1 得,f(1)=5,

S底 ? 10, S后 ? 10, S右 ? 10, S左 ? 6 5 ,
因此该几何体表面积 S ? 30 ? 6 5 ,故选 B.

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6. 【答案】D 【解析】解:∵正△ABC 的边长为 a,∴正△ABC 的高为 ,

画到平面直观图△A′B′C′后,“高”变成原来的一半,且与底面夹角 45 度, ∴△A′B′C′的高为 ∴△A′B′C′的面积 S= 故选 D. 【点评】 本题考查平面图形的直观图的性质和应用, 解题时要认真审题, 仔细解答, 注意合理地进行等价转化. = , = .

7. 【答案】A 【解析】 试题分析:因为 A ? ? x ? N | x ? 5? ,而 1.5 ? N , ?1? N,?.5 ? A, ?1 ? A ,即 B、C 正确,又因为 0 ? N 且

0 ? 5 ,所以 0 ? A ,即 D 正确,故选 A. 1
考点:集合与元素的关系. 8. 【答案】C 【解析】解:由三视图可知几何体是一个正三棱柱, 底面是一个边长是 侧棱长是 , ×2=6+ , 的等边三角形,

∴三棱柱的面积是 3× 故选 C.

【点评】本题考查根据三视图求几何体的表面积,考查由三视图确定几何图形,考查三角形面积的求法,本题 是一个基础题,运算量比较小. 9. 【答案】A 【解析】解:复数 故选:A. 【点评】本题考查了复数的运算法则,属于基础题. 10.【答案】B 【解析】如图,当直线 x ? m 经过函数 y ? 2 x 的图象 与直线 x ? y ? 3 ? 0 的交点时, = = = ,

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函数 y ? 2 x 的图像仅有一个点 P 在可行域内, 由?

? y ? 2x ,得 P(1,2) ,∴ m ? 1 . ?x ? y ? 3 ? 0

11.【答案】B
2 2 【解析】解:①由于“若 a +b =0,则 a,b 全为 0”是真命题,因此其逆否命题是真命题;

5 4 ②“全等三角形的面积相等”的否命题为“不全等的三角形的面积不相等”,不正确;

2 5

③若 x2+2x+q=0 有实根,则△=4﹣4q≥0,解得 q≤1,因此“若“q≤1”,则 x2+2x+q=0 有实根”的逆否命题是真命 题; 综上可得:真命题为:①③. 故选:B. 【点评】本题考查了命题之间的关系及其真假判定方法,考查了推理能力,属于基础题. 12.【答案】C 【解析】解:按照结构图的表示一目了然, 就是总工程师、专家办公室和开发部. 读结构图的顺序是按照从上到下,从左到右的顺序. 故选 C. 【点评】本题是一个已知结构图,通过解读各部分从而得到系统具有的功能,在解读时,要从大的部分读起, 一般而言,是从左到右,从上到下的过程解读.
2 3 4

41

④“矩形的对角线相等”的逆命题为“对角线相等的四边形是矩形”,是假命题.

41

二、填空题
13.【答案】 x ? y ? 3 ? 0 【解析】 试题分析:由圆 C 的方程为 x ? y ? 2 y ? 3 ? 0 ,表示圆心在 C (0,1) ,半径为的圆,点 P ? ?1, 2? 到圆心的距
2 2

离等于 2 ,小于圆的半径,所以点 P ? ?1, 2? 在圆内,所以当 AB ? CP 时, AB 最小,此时

kCP ? ?1, k1 ? 1,由点斜式方程可得,直线的方程为 y ? 2 ? x ? 1 ,即 x ? y ? 3 ? 0 .
考点:直线与圆的位置关系的应用. 14.【答案】 2 【解析】

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考点:1、正弦定理及勾股定理;2 诱导公式及直角三角形的性质. 【方法点睛】本题主要考查正弦定理及勾股定理、诱导公式及直角三角形的性质,属于难题,高考三角函数的 考查主要以三角恒等变形,三角函数的图象和性质,利用正弦定理、余弦定理解三角形为主,难度中等,因此 只要掌握基本的解题方法与技巧即可, 对于三角函数与解三角形相结合的题目,要注意通过正余弦定理以及 面积公式实现边角互化,求出相关的边和角的大小,有时也要考虑特殊三角形的特殊性质(如正三角形,直角 三角形等). 15.【答案】 ﹣6 .

【解析】解:由约束条件

,得可行域如图,

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使目标函数 z=2x﹣3y 取得最小值的最优解为 A(3,4), ∴目标函数 z=2x﹣3y 的最小值为 z=2×3﹣3×4=﹣6. 故答案为:﹣6. 16.【答案】 ? 0,1?

【解析】 17.【答案】

11 8

【解析】因为正四棱锥 O ? ABCD 的体积为 2 ,底面边长为 3 ,所以锥高为 2,设外接球的半径为 R ,依轴 截面的图形可知: R 2 ? ( R ? 2)2 ? ( 18.【答案】 (1,+∞)
2 【解析】解:∵命题 p:?x∈R,x +2x+a≤0,

6 2 11 ) ?R ? 2 8

当命题 p 是假命题时,

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2 命题¬p:?x∈R,x +2x+a>0 是真命题;

即△=4﹣4a<0, ∴a>1; ∴实数 a 的取值范围是(1,+∞). 故答案为:(1,+∞). 【点评】本题考查了命题与命题的否定的真假性相反问题,也考查了二次不等式恒成立的问题,是基础题目.

三、解答题
19.【答案】 【解析】 解:由条件 在 . = 在 (分钟) 答到火车站还需 15 分钟. 20.【答案】 【解析】(1)由 x ? 0 , y ? 1 , z ? 2 知,甲、乙、丙 3 个盒中的球数分别为 0,1,2, . 中,由正弦定理,得 ( ) = ,设 ,

中,由余弦定理得

1 此时的概率 P ? C3 ? ?? ? ?

1 ?1? 3 ?2?

2

1 . 4

(4 分)

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21.【答案】(1)

(2)

【解析】试题分析:(1)根据直角三角形求两个矩形的长与宽,再根据矩形面积公式可得函数解析式,最后 根据实际意义确定定义域(2)利用导数求函数最值,求导解得零点,列表分析导函数符 号变化规律,确定函 数单调性,进而得函数最值

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(2)要符合园林局的要求,只要 由(1)知, 令 解得 令 当 当 所以当 时, 时, 时, 取得最小值. ,即 或 ,

最小, , (舍去),

是单调减函数, 是单调增函数,

答:当 满足 22.【答案】

时,符合园林局要求.

2 【解析】解:(1)∵y=x 在区间[0,1]上单调递增.

又 f(0)=0,f(1)=1, ∴值域为[0,1], ∴区间[0,1]是 y=f(x)=x 的一个“和谐区间”. (2)设[m,n]是已知函数定义域的子集. ∵x≠0,[m,n]?(﹣∞,0)或[m,n]?(0,+∞), 故函数 在[m,n]上单调递增.
2

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若[m,n]是已知函数的“和谐区间”,则 故 m、n 是方程 的同号的相异实数根.

2 ∵x ﹣3x+5=0 无实数根,

∴函数

不存在“和谐区间”.

(3)设[m,n]是已知函数定义域的子集. ∵x≠0,[m,n]?(﹣∞,0)或[m,n]?(0,+∞), 故函数 若[m,n]是已知函数的“和谐区间”,则 故 m、n 是方程 ∵ ,
2 2 2 ,即 a x ﹣(a +a)x+1=0 的同号的相异实数根.

在[m,n]上单调递增.

2 ∴m,n 同号,只须△=a (a+3)(a﹣1)>0,即 a>1 或 a<﹣3 时,

已知函数有“和谐区间”[m,n], ∵ ∴当 a=3 时,n﹣m 取最大值 23.【答案】 【解析】解:(1)f(x)是 R 上的奇函数
3 3 证明:∵f(﹣x)=﹣x ﹣x=﹣(x +x)=﹣f(x),



∴f(x)是 R 上的奇函数 (2)设 R 上任意实数 x1、x2 满足 x1<x2,∴x1﹣x2<0, f(x1)﹣f(x2)=(x1﹣x2)+[(x1)3﹣(x2)3]=(x1﹣x2)[(x1)2+(x2)2+x1x2+1]=(x1﹣x2)[(x1+ x2)
2

+ x22+1]<0 恒成立,

因此得到函数 f(x)是 R 上的增函数. (3)f(m+1)+f(2m﹣3)<0,可化为 f(m+1)<﹣f(2m﹣3), ∵f(x)是 R 上的奇函数,∴﹣f(2m﹣3)=f(3﹣2m), ∴不等式进一步可化为 f(m+1)<f(3﹣2m),

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∵函数 f(x)是 R 上的增函数, ∴m+1<3﹣2m, ∴

24.【答案】(1) 【解析】

1 x2 ? y 2 ? 1 .(2) | PA | ? | PB | 的最大值为,最小值为 . 2 2

试 题解析:解:(1)曲线 C 的参数方程为 ? 得曲线 C 的普通方程为

? x ? 2 cos? ? y ? sin ?
(3 分)

( ? 为参数),消去参数 ?

x2 ? y2 ? 1 2

(2)由题意知,直线的参数方程为 ? 得 (cos
2

? x ? 1 ? t cos? ? x ? 1 ? t cos? x2 ? y2 ? 1 (为参数),将 ? 代入 2 y ? t sin ? y ? t sin ? ? ?
(6 分)

? ? 2 sin 2 ? )t 2 ? 2t cos? ? 1 ? 0

设 A, B 对应的参数分别为 t1, t2 ,则 | PA | ? | PB |?| t1t2 |? ∴ | PA | ? | PB | 的最大值为,最小值为 考点:参数方程化成普通方程.

1 1 1 ? ? [ ,1] . 2 2 cos ? ? 2 sin ? 1 ? sin ? 2
2

1 . 2

(10 分)

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