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甘肃省玉门一中2019届高三数学上学期11月月考试题理

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甘肃省玉门一中 2019 届高三数学上学期 11 月月考试题 理
本试卷分第 1 卷(选择题)和第 2 卷(非选择题)两部分,满分 150 分.考试时间 120 分 钟
第 1 卷(选择题)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只

有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集U R ,设集合 A {x | y lg(x )} ,集合B

y y 2x , x 1 U ,



=( )

A. 1, 2

B. 1, 2

C. 1, 2

D. 1, 2

2. 若复数z 满足z(2-i)=11+7i(i 为虚数单位),则z 为( )

A.3+5i

B.3-5i

C.-3+5i

D.-3-5i

3. 函数 =-x+ 2 的一个零点落在下列哪个区间(

)

A.(0,1)

B.(1,2)

C.(2,3)

4. 如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是(

A.3

B.4

C.5

D.(3,4) )
D.8

第4 题图
-1-

(第5题图)

5. 示,则该三棱锥的表面积是(

某三棱锥的三视图如上图所 )

6.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆 4 种蔬菜品种中选出 3 种,分别种在不同土质的三块土地上,

其中黄瓜必须种植,不同的种植方法有( )

A.24 种

B.18 种

C.12 种

D.6 种

8.在等比数列{an}中,a6 与 a7 的等差中项等于 48,a4a5a6a7a8a9a10=1286.如果设数列{an}的前 n

项和为 Sn,那么Sn=( )

A.5n-4

B.4n-3

C.3n-2

D.2n-1

-2-

9.已知 sin

cos

,则

=( )

10.已知实数x∈[-1,1],y∈[0,2],则点P(x,y)落在区域

,内的概率为( )

A.

0)

B. (0,1)

C.

0)

D.

(1,

第 2 卷(非选择题)

本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题--第 21 题为必考题,每个试题考生都必须回答.

第 22 题---第 23 题为选考题,考生根据要求做答.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

14.《九章算术》“竹九节”问题:现有一根 9 节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,
-3-

上面 4 节的容积共3 升,下面3 节的容积共4 升,则第5 节的容积为 升.

15. 已知正四棱柱的底边和侧棱长均为 ,则该正四棱柱的外接球的表面积为 .

16. 已知函数

为奇函数,且对定义域内的任意 x 都有 f (1 x)

f (1

x) .当x

3) 时, f (x)

2 (x ) 给出以下 4 个结论:①函数 y

的图

象关于点

成中心对称

②函数 y f (x) | 是以 2 为周期的周期函数; ③当x

, 0) 时, f (x)

x) ;

④函数 y f (| x |) 在(k,k+1)(

上单调递增. 其中所有正确结论的序号为

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

17. (本小题满分12 分)在△ABC 中 , 角 A,B,C 的对边分别为a,b,c,且满足

(2c- a)cosB- bcos A=0.

(I)

求 角 B 的大小

log2

18.(本小题满分 12 分)某人为研究中学生的性别与每 周课外阅读量这两个变量的关系,随机抽查了 100 名中学生,得到频率分布直方图(如图所 示),其中样本数据的分组区间为:[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10] (10,12].
(Ⅰ)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,试估计样本中的 100 名学生周课

外阅读时间的平均数

(Ⅱ)在样本数据中,有 20 位女生的每周课外阅读时间超过 4 小时,15 位男生的每周 课外阅读时间没
有超过 4 小时.请画出每周课外阅读时间与性别列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过 0.05 的

前提下认为“该校学生的每周课外阅读时间与性别有关”.

P(K2≥k0) k0

0.10 2.706

0.05
3.84 1

0.010 0.005 6.635 7.879

19.(本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P ABCD 中, PC 底面 ABCD, 底面ABCD 是直角梯形,AB AD ,AB // CD ,AB 2AD 2CD 2 ,E 是PB 的中点。
-4-

(Ⅰ)求证:平面EAC 平面PBC Ⅱ)若二面角 P AC E 的余弦值为 求直线 PA 与平面 EAC 所成角的正弦值。

20.(本小题满分 12 分)已知椭圆

长轴长为 4,离心率为

(Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)设过定点 M(0,2)的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A,B,且∠AOB 为锐角(O 为坐标原点), 求直线 l 的斜率 k 的取值范围.

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=x2-ax+2lnx,a∈R. (Ⅰ)若曲线 y=f(x)在(1,f(1))处的切线垂直于直线 y=x,求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若 x>1 时,f(x)>0 恒成立,求实数 a 的取值范围.
请考生在第 22、23 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时请写 清题号并填涂. 22.(本小题满分10 分) 选修4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程是 ρ =2,以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐
标系, 直线l 的参数方程为 (Ⅰ)写出直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程;

-5-

(Ⅱ)设曲线 C 经过伸缩变换

得到曲线C′,设M(x,y)为曲线C′上任一点,

求x2- 3xy+2y2 的最小值,并求相应点M 的坐标

23.(本小题满分10 分)选修4-5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|x-1|. (Ⅰ)解不等式 f(x)+f(x+4)≥8;
(Ⅱ)若|a|<1,|b|<1,且a≠0,求证:

-6-

玉门一中 2019 届高三 11 月月考(理数)试卷参考答案 一、 选择题
CABBC BADDB CA 二、 填空题
2 13、 ,
2
-7-

67 14、66, 15、36π , 16、①②③ 三、解答题 6. 解析:解:(Ⅰ)(2 sinC sin A ) cos B sin B cos A 0 即 sinC (2 cos B )
0 C
-8-

B1

B

2

3

6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 B 3

-9-

3 sin A sin(C

)

6

- 10 -

3 sin A cos A
- 11 -

2 sin(A

)

6

2 A (0, ) A

- 12 -

(,
- 13 -

5 ) , 2 sin(A

) (1, 2]

3

6 66

6

3 sin A sin(C 6

) 的取值范围 (1, 2] 12分

7. 解:(Ⅰ)由频率分布直方图得

x =1×0.05+3×0.2+5×0.3+7×0.25+9×0.15+11×0.05=5.8.

4分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,100 位学生中有 100×0.75=75(位)的每周课外阅读时间超过 4 小时,

25 人的每周课外阅读时间不超过 4 小时.所以每周课外阅读时间与性别列联表如下:(完成列

联表 6 分)

男生 女生 总计

每周课外阅读时间不超过 4 小



15

10

25

每周课外阅读时间超过 4 小时

55

20

75

总计 2

70

30

100

100× 15×20-55×10 2

- 14 -

100 结合列联表可算得 K
1.59<3.841. 10 分
- 15 -

的观测值 k=
- 16 -

70×30×25×75

= 63 ≈

所以不能在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为“该校学生的每周课外阅读时 间与性别有关”.12 分
19.

4分
(Ⅱ)以C 为原点,建立空间直角坐标系如图所示, 则C(0,0,0) ,
A(1,1,0) ,B(1,-1,0) 。 设P(0,0,a) (a>0) ,则E(1 2

- 17 -

, 1 ,a ) , 22
CA (1,1,0) ,CP (0,0, a) ,CE
- 18 -

(1

1,2 2

- 19 -

a ),
2

6分

设直线PA 与平面EAC 所成角为 ,则 sin

10 分

PA ? n cos PA, n

2,

PA n 3

2a=4

12 分

c3

- 20 -

a=2 20.解:(Ⅰ)依题意, a= 2
- 21 -

,解得



22 2

- 22 -

b=1 a =b +c

x2 2 故椭圆C 的方程为 4 +y =1.

4分

(Ⅱ)如图,依题意,直线 l 的斜率必存在, 设直线 l 的方程为 y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2),
y=kx+2 联立方程组 x2 2
4 +y =1

- 23 -

,消去 y 整理得(1+4k2)x2+16kx+12=0,

由韦达定理,x1+x2=

-16k

12

- 24 -

2,x1x2=
- 25 -

2, 6 分

1+4k 2

- 26 -

1+4k
- 27 -

12k2
- 28 -

-32k2

∴y1y2 =(kx1 +2)(kx2 +2) =k x1x2 +2k(x1 +x2) +4 =1+4k2 +1+4k2 +4 =

4-4k2 1+4k2,

因为直线 l 与椭圆 C 相交,则Δ >0, 即 256k2-48(1+4k2)>0,

解得k<-

3 2



k>

3 2,

8分

当∠AOB 为锐角时,向量 O→ A·O→ B>0,则 x1x2+y1y2>0,

即 122+ 4-4k22>0,解得-2<k<2, 1+4k 1+4k

10 分

33 故当∠AOB 为锐角时,k∈(-2,- ∪
(

- 29 -

2). 12 分

2) 2 ,

21.解:(Ⅰ)f(x)定义域为(0,+∞),f′(x)=2x-a

- 30 -

2 f′(1)=4-a=-1 ,
a=5,
- 31 -

+x,

2

2 2x2-5x+2 x-2

f(x)=x -5x+2lnx,f′(x)=2x-5+x=

x



2x-1

x



1 当x>2 或0<x<

1 f′(x)>0,当

- 32 -

时,f′(x)<0, 2时,

2<x<2

1

1

故 f(x)的单调递增区间为(0, ),(2,+∞),单调递减区间为( ,2).

6

2

2



x2+2lnx

(Ⅱ)由f(x)>0,得a<

x 在x>1 时恒成立,

x2+2lnx

x2+2-2lnx

令g(x)= x ,g′(x)=

x2

2
令h(x)=x2+2-2lnx,h′(x)=2x- x>0

- 33 -

在 x>1 时成立,

所以 h(x)在(1,+∞)为增函数,h(x)>h(1)=3>0 .

故g′(x)>0,故g(x)在(1,+∞)为增函数.g(x)>g(1)=1, 所

以a≤1,即实数a 的取值范围为(-∞,1]. 选考题
22.解:(Ⅰ) 3x-y- 3+2=0

12 分

x2+y2=4

4分

x2 2 (Ⅱ)设 C′: 4 +y =1

设M 为:x=2cosθ ,y=sinθ

x2- 3xy+2y2=3+2cos(2θ

π

+3 )

所以当M 为(1,

3 或(-1
2)

3 ,- 2 )

6分 8分

x2- 3xy+2y2 的最小值为1

10 分

-2x-2,x<-3, 23.解:(Ⅰ)f(x)+f(x+4)=|x-1|+|x+3|= 4,-3≤x≤1,
2x+2,x>1.

当x<-3 时,由-2x-2≥8,解得 x≤-5; 当-

3≤x≤1 时,f(x)≤8 不成立; 当 x>1 时,由 2x+2≥8,解得 x≥3. 所以不等式的解集为{x|x≤-5,或x≥3}.

5分

(Ⅱ)f(ab)>

- 34 -

b |a|f(a)即|ab-1|>|a-b|. 6 分

因为|a|<1,|b|<1,

所以|ab-1|2-|a-b|2=(a2b2-2ab+1)-(a2-2ab+b2)=(a2-1)(b2-1)>0, 所

以|ab-1|>|a-b|. 故所证不等式成立.

10 分

- 35 -


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