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安徽省六安市第一中学2017_2018学年高二数学上学期期末考试试题理(含解析)

六安一中 2017~2018 年度高二年级第一学期期末考试 数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.

1. 已知椭圆

的一个焦点与抛物线

的焦点重合,长轴长等于圆

的半径,则椭圆 的方程为( )

A.

B.

【答案】B

【解析】椭圆

C.

D.

的一个焦点与抛物线

的焦点重合,可得 ,

长轴长等于圆

,即

的半径,a=2,则 b=1,

所求椭圆方程为:

.

故选:B.

2.

的内角 的对边分别为 ,已知 , ,

,则 ( )

A. 2 B. 3 C.

D.

【答案】B

【解析】在

中,由余弦定理得:

,即

,整理得:

.

解得 或 (舍)

故选 B.

3. 记 为等差数列 的前 项和.若

A. 1 B. 2 【答案】C

C. 4

D. 8



,则 的公差为( )

-1-

【解析】由

,得

,整理得

,解得 .

故选 C. 4. 已知命题



,则下列叙述正确的是( )

A.



B.



C.



D. 是假命题

【答案】D 【解析】因为全称命题的否定为特称命题,

所以命题



,的否定



.

当 是, ,而

.

所以

.

故命题 是真命题,即 是假命题. 故选 D.

5. 函数

的最小值是( )

A.

B.

【答案】A

C.

D. 2

【解析】

,当且仅当

时取等号,故选 A.

点睛:本题考查了分式型函数的最值问题,这类问题的一般解法就是先分离再换元整理,变

形成

,出现了

的结构,很容易利用均值不等式找到此式子的

最小值(或者利用对勾函数的性质也可以得到),进而得到原函数的最大值.

6. “双曲线渐近线方程为

”是“双曲线方程为

(为常数且 )”的(

-2-

) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 【答案】C 【解析】双曲线渐近线方程为 y=±2x, 即 b=2a,或 a=2b,

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

故双曲线方程为

(λ 为常数且 λ≠0),

是充要条件,

故选:C.

7. 已知点

为空间不共面的四点,且向量

与, 不能构成空间基底的向量是( )

A.

B.

C.

D. 或

【答案】C

,向量

,则

【解析】∵



即 与, 共面, ∴ 与, 不能构成空间基底; 故选:C.

8. 已知抛物线

的焦点为 ,

是 上一点,

,则 ( )

A. 1 B. -1 或 1 【答案】D

C. 2

D. -2 或 2

【解析】抛物线

的焦点为

是 C 上一点,



由抛物线定义可得:



解得 =2,

可得 =±2. 故选:D.

9. 椭圆

上的点到直线

的最大距离是( )

A.

B.

C. 3 D.

-3-

【答案】B

【解析】设椭圆

上的点



则点 P 到直线

的距离



最大值为

.

故选 B.

10. 在三棱锥

中,

面 ,则直线 与平面



,点

所成角的正弦值为( )

分别是

的中点, 平

A.

B.

【答案】C

C.

D.

【解析】

∵AB⊥BC,OA=OC,∴OA=OB=OC, 又∵OP⊥平面 ABC ∴PA=PB=PC. 取 BC 中点 E,连接 PE,则 BC⊥平面 POE,作 OF⊥PE 于 F,连接 DF,则 OF⊥平面 PBC ∴∠ODF 是 OD 与平面 PBC 所成的角。
-4-



,

在 Rt△POA 中,PO=1,

在 Rt△POC 中,D 是 PC 的中点,PC= ,∴OD= ,

在 Rt△POE 中,



在 Rt△ODF 中

故选 C. 点睛:求直线和平面所成角的关键是作出这个平面的垂线进而斜线和射影所成角即为所求, 有时当垂线较为难找时也可以借助于三棱锥的等体积法求得垂线长,进而用垂线长比上斜线 长可求得所成角的正弦值,当空间关系较为复杂时也可以建立空间直角坐标系,利用向量求 解.

11. 过抛物线

的焦点 作不与坐标轴垂直的直线,交抛物线于 两点,弦 的

垂直平分线交 轴于点 ,若 A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 【答案】A

,则

()

【解析】设 M(x1,y1),N(x2,y2),弦 MN 的中点为 (x0,y0),则

∴MN 的垂直平分线为

令 y=0,则 ∴







故选:A.

-5-

点睛:1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时,一般运用定义转化为到准线距离处理. 2.若

为抛物线

上一点,由定义易得

;若过焦点的弦 AB 的端点坐

标为

,则弦长为

可由根与系数的关系整体求出,本题

就是由韦达定理得到;若遇到其他标准方程,则焦半径或焦点弦长公式可由数形结 合的方法类似地得到.

12. 设双曲线

的右顶点为 ,右焦点为 ,弦 过 且垂直于 轴,过点

、点 分别作为直线 、 的垂直,两垂线交于点 ,若 到直线 的距离小于



则该双曲线离心率的取值范围是( )

A.

B.

C.

D.

【答案】B

【解析】由题意,B 在 x 轴上,

,∴







直线 BQ 的方程为



令 y=0,可得



∵B 到直线 PQ 的距离小于 2(a+c),













∴,

∵e>1,





故选 B.

-6-

点睛:解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 的方程或不 等式,再根据 的关系消掉 得到 的关系式,而建立关于 的方程或不等式,要充分利 用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

13. 在平面直角坐标系 中,直线 与双曲线

的两条渐近线分别交于点 , ,双

曲线的左,右焦点分别是 【答案】

,则四边形

的面积是__________.

【解析】双曲线

的渐近线方程为:



直线 与

分别交于点 , .

所以

.

则四边形

的面积是:

.

故答案为: . 14. 正方体 为__________.

的棱长为 1, 分别为 , 的中点,则点 到平面

【答案】

的距离

【解析】

取 的中点 O,连接 O,OE,OF, F,则△ FO 的面积

点 F 到平面 E 的距离=点 F 到平面 O E 的距离 h,

由等体积可得

,即

∴h= .

.
-7-

故答案为: .

15.

,不等式

恒成立,则实数的取值范围是__________.

【答案】 【解析】根据题意,分 2 种情况讨论: ①若 =0,则 a=±1,

当 a=1 时,不等式

为:?1<0,

满足对任意实数 x 都成立,则 a=1 满足题意,

当 a=?1 时,不等式

为:?2x <0,

不满足对任意实数 x 都成立,则 a=?1 不满足题意,

②若 ≠0,不等式

为二次不等式,

要保证

对任意实数 x 都成立,

必须有



解可得:

<1,

综合可得



故答案为:

.

16. 设 为椭圆

的右焦点,且椭圆上至少有 10 个不同的点

,使

【答案】

组成公差为 的等差数列,则 的取值范围是__________.

-8-

【解析】椭圆

中,左顶点为:

,右顶点为 ,

若这个等差数列是增数列,则 a1?|FP1|=13?9=4,a10?|FP10|=13+9=22,

∴a10=a1+9d,∴0< a10?a1=9d?18,

解得

.

若这个等差数列是减数列,则 a1?|FP1|=13+9=22, a10?|FP10|=13?9=4,

∴a10=a1+9d,∴0> a10?a1=9d?18,?2?d<0.

∴d 的取值范围是

.

故答案为:

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知椭圆

的长轴两端点为双曲线 的焦点,且双曲线 的离心率为 .

(1)求双曲线 的标准方程; (2)若斜率为 1 的直线交双曲线 于 两点,线段 的中点的横坐标为 ,求直线的方程 .

【答案】(1)

(2)

.

........................ 试题解析:

(1)椭圆

的长轴两端点为

,得 ,



,得 ,∴

.∴双曲线 的方程为

.

-9-

(2)设直线的方程为

,由









∴直线方程为 18. 直三棱柱
.

,∴ .

. 中,底面

是边长为 2 的正三角形, 是棱 的中点,且

(1)若点 为棱 的中点,求异面直线 与 所成角的余弦值;

(2)若点 在棱 上,且

平面 ,求线段 的长.

【答案】(1) (2)

【解析】试题分析:(1)取 边中点为 ,以 为坐标原点, 为 轴, 为 轴, 为

轴建立空间直角坐标系,由



,利用向量求解即可;

(2)设

,若

平面 ,则由



,用空间坐标表示数量积求

解方程即可.

试题解析:

取 边中点为 ∵底面 是边长为 2 的正三角形,



连接 ,∵ 是边 的中点∴



以 为坐标原点, 为 轴, 为 轴, 为轴建立如图所示的空间直角坐标系,

- 10 -

















(1)若 为 的中点,则





设异面直线 与 所成的角为,则



所以异面直线 与 所成的角得余弦值为 .

(2)设

,则







平面 ,则由





可得

即当

时,

平面 .

19. 已知椭圆

的左,右焦点分别为



.直线 与椭圆交于

两点. (1)若

的周长为

,求椭圆的离心率;

(2)若

,且以 为直径的圆过椭圆的右焦点,求的取值范围.

【答案】(1) (2)

.

【解析】试题分析:(1)由题意得 ,

,进而可求离心率;

(2)由

,消去 ,得

,设



,由题知

- 11 -

,再利用根与系数的关系化简整理即可得出.

试题解析:

(1)由题意得, ,

,解得

.

所以椭圆的离心率 ;

(2)由

,消去 ,得

.





,则



.

, ∴

,由题知





因为

,所以

,即

.

20. 如图,在三棱台

中,

, 平面 ,





, 分别为

的中点.

(1)求证: 平面 ; (2)求平面 与平面 所成角(锐角)的大小. 【答案】(1)见解析(2) . 【解析】试题分析:(1)根据 AB=2DE 可得到 BC=2EF,从而可以得出四边形 EFHB 为平行四边 形,从而得到 BE∥HF,便有 BE∥平面 FGH,再证明 DE∥平面 FGH,从而得到平面 BDE∥平面 FGH ,从而 BD∥平面 FGH; (2)连接 HE,根据条件能够说明 HC,HG,HE 三直线两两垂直,从而分别以这三直线为 x,y
- 12 -

,z 轴,建立空间直角坐标系,利用两平面的法向量求解二面角的大小.

试题解析:

由 平面 ,可得 平面 ,





,则

,于是

两两垂直,

以点 为坐标原点,

所在的直线分别为 轴建立空间直角坐标系,



,则















(1)证明:连接

,设 与 交于点 .在三棱台

中,

,则



而 是 的中点,

,则

,所以四边形

是平行四边形,

是 的中点,

.

又在

中, 是 的中点,则



又 平面 , 平面 ,

故 平面

(2)平面 的一个法向量为



设平面 的法向量为

,则

,即



取 ,则







,故平面 与平面

所成角(锐角)的大小为 .

点睛:用向量法解决立体几何问题的注意点: (1)建立空间直角坐标系时要判断是否具备了两两垂直的三条直线,否则要先给出证明;
- 13 -

(2)求线面角时要借助直线的方向向量和平面的法向量夹角余弦值的绝对值求出线面角的正 弦值;求二面角时,要借助两平面法向量夹角的余弦值来求出二面角的余弦值,但在解题时 要借助于图形来判断二面角为锐角还是钝角.

21. 平面内一动圆 ( 在 轴右侧)与圆

外切,且与 轴相切.

(1)求动圆圆心 的轨迹 的方程;

(2)已知动直线过点

,交轨迹 于 两点,坐标原点 为 的中点,求证:

.

【答案】(1)

(2)见解析

【解析】试题分析:(1)设

,根据题意可得

,化简即可得解;

(2)设



,当直线垂直于 轴时,由抛物线的对称性知

,当直

线不垂直于 轴时,设

与椭圆联立得

,用坐标表示

即可证得.

试题解析:

(1)设

,则



∴动圆圆心 的轨迹 的方程为:

.

(2)证明:设



,由于 为 的中点,则

当直线垂直于 轴时,由抛物线的对称性知

.

当直线不垂直于 轴时,设





,得









∴ ∴
- 14 -

综上, 22. 已知椭圆

. ,上顶点为 ,焦点为 ,点 是椭圆 上异于点 的不同的两

点,且满足直线 与直线 斜率之积为 .

(1)若 为椭圆上不同于长轴端点的任意一点,求

面积的最大值;

(2)试判断直线 是否过定点;若是,求出定点坐标;若否,请说明理由.

【答案】(1) (2) .

【解析】试题分析:(1)设

,由

即可得解;

(2)由题意,

,直线 的斜率不为 0,设直线 的方程为:





,由直线与椭圆联立得

,由直线 与直线 斜率之积

为 ,利用坐标表示得

试题解析:

(1)设

,则

,解得



,进而可得解.

.



面积的最大值为 .

(2)由题意,

,直线 的斜率不为 0,设直线 的方程为:







,由

,得







∵直线 与直线 斜率之积为





将②式代入,化简得

,解得



(若设直线 的斜截式方程,此处可直接求出直线 的纵截距为 2 或 )



时,直线 的方程为:

,过定点 ,不符合题意;

- 15 -



时,直线 的方程为:

,过定点 ,将

代入①式,

解得

∴直线 过定点 . 点睛:定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多 少,或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题,证明该式是恒定的. 定点、定值问 题同证明问题类似,在求定点、定值之前已知该值的结果,因此求解时应设参数,运用推理, 到最后必定参数统消,定点、定值显现.

- 16 -


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