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高中数学选修2-1(北师版)第一章常用逻辑用语1.1 命题(与最新教材完全匹配)知识点总结含同步练习题及答案


高中数学选修2-1(北师版)知识点总结含同步练习题及答案
第一章 常用逻辑用语 1.1 命题

一、知识清单
命题的概念与真假判断 若则命题的四种形式

二、知识讲解
1.命题的概念与真假判断 描述: 命题的概念 一般地,用语言、符号或式子表达的可以判断真假的陈述句叫做命题 (proposition).判断一个语句是不是命题,就要看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真 假”这两个条件.一个命题一般可以用一个小写英文字母来表示,如 p ,q ,r ,?. 真命题与假命题 判断为真的命题称为真命题 (true proposition);判断为假的命题称为假命题 (false proposition). 例题: 判断下列语句中哪些是命题? (1) √2 是无限循环小数; (2) x 2 ? 3x + 2 = 0; (3) 当 x = 4 时, 2x > 0 ; (4) 垂直于同一条直线的两条直线一定平行吗? (5) 一个数不是奇数就是偶数; (6) 2030 年 6 月 1 日上海会下雨. 解:(2)语句中含有变量 x ,在没有给 x 赋值前,无法判断 x 2 ? 3x + 2 = 0 的真假,所以 不是命题;(4)是疑问句,没有做出任何判断,所以不能判断真假,所以不是命题.(1)、 (3)、(5)、(6)均可判断真假,故均为命题. 判断下列命题的真假. (1)一个实数不是质数就是合数; (2)若 x = 3 或 x = 7 ,则 (x ? 3)(x ? 7) = 0; (3)正方形既是矩形又是菱形; (4)若 A ∩ B = B,则 B ? A. 解:(1)假命题,如实数 1 既不是质数也不是合数;(2)、(3)、(4)均为真命题. “不等式 x 2 + (a ? 1)x + a2 ? 0 的解集为 ? ”是真命题,求 a 的取值范围. 解:命题为真命题,则可知二次函数 y = x2 + (a ? 1)x + a2 的图象与 x 轴没有交点,即

1 Δ = (a ? 1)2 ? 4a2 < 0,解得 a < ?1 或 a > ,所以 a 的取值范围是 3 2 (?∞, ?1) ∪ ( , +∞) . 3

2.若则命题的四种形式 描述: 若则命题 命题的常见形式为“若 p 则 q ”,其中 p 叫做命题的条件, q 叫做命题的结论. 逆命题 对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称 为互逆命题.其中一个命题称为原命题(original proposition),另一个称为原命题的逆命 题(inverse proposition).也就是说,如果原命题为“若 p ,则 q ”,那么它的逆命题 为“若 q ,则 p ”. 否命题 对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定,那么 这两个命题称为互否命题.其中一个命题称为原命题,另一个称为原命题的否命题(negative proposition).也就是说,如果原命题为“若 p ,则 q ”,那么它的否命题为“若 ?p ,则 ?q ”. 逆否命题 对于两个命题,如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定,那么 这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题,另一个称为原命题的逆否命 题(inverse and negative proposition).也就是说,如果原命题为“若 p ,则 q ”,那么 它的逆否命题为“若 ?q ,则 ?p ”. 四种命题的相互关系 四种命题的真假关系 ① 互为逆否的两个命题,它们有相同的真假性; ② 互逆或互否的两个命题,它们的真假性没有关系. 例题: 把下列命题改写成“若 p ,则 q ” 的形式,并判断命题的真假. (1)当 ac > bc 时, a > b ; (2)已知 x ,y 为正整数,且 y = x + 1 ,当 y = 3 时,x = 2; (3)当 m > (4)菱形的对角线互相垂直. 解:(1)若 ac > bc,则 a > b,假命题; (2)已知 x ,y 为正整数,且 y = x + 1 ,若 y = 3,则 x = 2 ,真命题; (3)若 m > (4)若一个四边形是菱形,则它的对角线互相垂直,真命题.

1 时,mx 2 ? x + 1 = 0 无实数根; 4

1 ,则 mx 2 ? x + 1 = 0 无实数根,真命题; 4

写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断它们的真假. (1)若 m ? n < 0 ,则方程 mx 2 ? x + n = 0 有实数根; (2)若 m ? 0 或 n ? 0,则 m + n ? 0 . 解:(1)逆命题:若方程 mx 2 ? x + n = 0 有实数根,则 m ? n < 0 ,假命题 否命题:若 m ? n ? 0 ,则方程 mx2 ? x + n = 0 没有实数根,假命题 ; 逆否命题:若方程 mx 2 ? x + n = 0 没有实数根,则 m ? n ? 0 ,真命题. (2)逆命题:若 m + n ? 0 ,则 m ? 0 或 n ? 0 ,真命题; 否命题:若 m > 0 且 n > 0,则 m + n > 0 ,真命题 ; 逆否命题:若 m + n > 0 ,则 m > 0 且 n > 0 ,假命题 .



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