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江苏省江阴市四校2015-2016学年高一数学下学期期中试题


2015—2016 学年第二学期高一期中考试数学试题
一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. ) 1. 不等式 ( x ? 1)( x ? 1) ? 0 的解集为 ▲ 2. 已知 △ ABC 中, A ? 45 , B ? 60 , b ? 3 ,那么 a ?
0 0

▲ . ▲ .

3.在等比数列 ?an ? 中,已知 a3 ? 2 , a7 ? 8 ,则 a5 ? 4.数列 ?an ? 满足 a1 ? 3,



1 an?1

?

1 ? 5(n ? N ? ) 则 an ? an
2

5. 若 直线 l1: ax+2y+6=0 与直线 l2: x+(a-1)y+(a -1)=0 平行, 则实数 a= ▲ . 2 6.已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? 1 , 若 f (?1) ? 1 且 f ( x) ? 2 恒成立,则实数 a 的取值 范围是_______▲__________. 7. ?ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a, b, c , ab ? 60, 面积S?ABC ? 15 3 , ?ABC 外接圆 半径为 3 ,则 c ? ____▲________ 8.若直线 l 的斜率 k 的变化范围是 [?1, 3] ,则 l 的倾斜角的范围为 ▲ . 9.在△ABC 中,三个角 A、 B、C 所对的边分别为 a、b、c.若角 A、B、C 成等差数列,且 边 a、b、c 成等比数列,则△ABC 的形状为__▲___. 10. 数列 ?a n ? 满足

a a1 a 2 a3 ? ? ? ? ? n ? 3n ?1 ,则数列 ?a n ? 的通项公式为 ▲ 1 3 5 2n ? 1
>0 的解

11.已知关于 x 的不等式 ax﹣b<0 的解集是(3,+∞) ,则关于 x 的 不等式 集是 ____▲_____ .

12. 一船以 24km/h 的速度向正北方向航行, 在点 A 处望见灯塔 S 在船的北偏东 30? 方向上, 15min 后到点 B 处望见灯塔在船的北偏东 75? 方向上, 则船在点 B 时与灯塔 S 的距离是___ ▲______km。

? 1 ? 13.把数列 ? 2 第二个括号两个数, 第三个括号三个数, ??, ? 依次按第一个括号一个数, ?n ? n?

?1? ?1 1 ? ? 1 1 1 ? ?, ? , ?, ? , , ? ,??, 则 第 6 个括号内各数字之和为 ▲ . ? 2 ? ? 6 12 ? ? 20 30 42 ? 14. 已 知 数 列 ?an ? 是 各 项 均 不 为 0 的 等 差 数 列 , Sn 为 其 前 n 项 和 , 且 满 足
按此规律下去, 即?

an2 ? S2n?1 ? n ? N ? ? .若不等式
值为 ▲ .

?
an ?1



n ? 8 ? (?1)n 对任意的 n ? N ? 恒成立,则实数 ? 的最大 2n

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分 ,请在答题纸指定区域内作答,解答 时应写出文字说明、证明或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 已知直线 l 过点 P(2,3) ,根据下列条件分别求出直线 l 的方程: (1)直线 l 的倾斜角为 120 ; (2) l 与直线 x-2y+1=0 垂直; (3) l 在 x 轴、 y 轴上的截距之和等于 0.
1
o

16. (本小题满分 14 分) 在 ?ABC 中, a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且 ?2a ? c ?cos B ? ?b cosC (1)求角 B 的大小; (2)若 b ? 7, a ? c ? 8 ,求 a、c 的值

17. (本小题满分 14 分) 已知等差数列 ?an ? 中, a 2 ? 5 , S 5 ? 40 .等比数列 ?bn ? 中, b1 ? 3 , b4 ? 81 , (1)求 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式 (2)令 cn ? an ? bn ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn.

18.(本小题满分 16 分) 已知函数 f(x)=ax +x﹣a,a∈ R (1)若不等式 f(x)有最大值
2 2

,求实数 a 的值;

(2)若不等式 f(x)>﹣2x ﹣3x+1﹣2a 对一切实数 x 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)若 a<0,解不等式 f(x)>1.

19. (本小题满分 16 分) 如图,在 Rt ?ABC 中, ?ACB ?

?
2

, AC ? 3, BC ? 2, P 是 ?ABC 内的一点.

(1)若 P 是等腰直角三角形 PBC 的直角顶点,求 PA 的长; (2)若 ?BPC ?

2? ,设 ?PCB ? ? ,求 ?PBC 的面积 S (? ) 的解析式, 3

并求 S (? ) 的最大值·

20. (本小题满分 16 分)
* 对于给定数列 {cn } ,如果存在实常数 p , q 使得 cn?1 ? pcn ? q 对于任意 n ? N 都成立,我

们称数列 {cn } 是 “Q 类数列”. (1)若 an ? 3n , bn ? 3 ? 5 , n ? N ,数列 {an } 、{bn } 是否为“Q 类数列”?若是,指出
n
*

它对应的实常数 p , q ,若不是,请说明理由; (2)证明:若数列 {an } 是“Q 类数列”,则数列 {an ? an?1}也是“Q 类数列”; (3)若数列 {an } 满足 a1 ? 2 , an ? an ?1 ? 3t ? 2n (n ? N * ) , t 为常数.求数列 {an } 前 2015 项的和.并判断 {an } 是否为“Q 类数列”,说明理由;

2

四校联考 2015—2016 学年度第二学期期中考试 高一数学试卷参考答案及评分标准 一、填空题(每小题 5 分,共计 70 分) 1.__ (-1,1)_______ 2.___

2 ______

3.____ 4_____

4.____

3 _____ 15n ? 14

5.___ -1____

6.___ ?4 ? a ? 0 ____

7.____3____

8.____ ? , ? ? ? ?0, ? ___ ? 4 ? ? 3?

? 3?

?

? ??

9.___ 等边三角形______ 11.____ (-3,2)_____

?n ? 1? ?9 an ? ? n 10.___ ?2?2n ? 1? ? 3 ?n ? 2?_____

12.____ 3 2 __ ___ 21 14.____ ? _____ __ 2 二、解答题(六大题,共 90 分) 15.(本题满分 14 分)

3 13.____ ______ 176

(1)直线 l 的方程为

3x ? y ? 3 ? 2 3 ? 0 ?????4 分

(2)直线 l 的方程为 2 x ?

y ? 7 ? 0 ??????8 分

(3) ①当直线 l 经过原点时在 x 轴、 y 轴上的截距之和等于 0, 此时直线 l 的方程为 y ?

3 x 2

????????????10 分

②当直线 l 经不过原点时,设直线 l 的方程为 因为 P(2,3) 在直线 l 上,所以

x y ? ?1 a ?a

?a ? 0?

2 3 ? ? 1 , a ? ?1 ,即 x ? y ? 1 ? 0 ?????13 分 a ?a

综上所述直线 l 的方程为 3x ? 2 y ? 0 或 x ? y ? 1 ? 0 ???????????14 分 16.(本题满分 14 分) (1) ?2 sin A ? sin C ?cos B ? ? sin B cosC

? 2 sin A cos B ? ? sin B cosC ? cos B sin C ? ? sin?B ? C ? ? ? sin A
又 ? sin A ? 0 ? cos B ? ? 1 2
??????7 分
2

? B ? ?0, ? ? ? B ?

2? 3

(2) b 2 ? 49 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? a 2 ? c 2 ? ac ? ?a ? c? ? ac ? 64 ? ac

3

?a ? 3 ?a ? 5 ? ac ? 15 又 ? a ? c ? 8 ? ? ??????14 分 或? ?c ? 5 ?c ? 3
17.(本题满分 14 分) 解: (1)设公差为 d ,则由 a 2 ? 5 , S 5 ? 40 ,得:

? a1 ? d ? 5 ?a1 ? 2 ,解得 ? ,则 an ? 3n ? 1 ? d ? 3 a ? 2 d ? 8 ? ? 1
(2)? q ?
3

?????????4 分

b4 81 ? ? 27 ? q ? 3 b1 3
?????????8 分

bn ? b1qn?1 ? 3 ? 3n?1 ? 3n

(3) Tn ? c1 ? c2 ? c3 ? ?? cn ? 2 ? 3 ? 5 ? 32 ? 8 ? 33 ? ?? (3n ?1)3n ① ∴ 3Tn ? 2 ? 32 ? 5 ? 33 ? 8 ? 34 ? ?? (3n ?1)3n?1 ② ①-②: ?2Tn ? 2 ? 3 ? 3(32 ? 33 ? ?? 3n ) ? (3n ?1)3n?1 ∴ Tn ?

(6n ? 5)3n ?1 ? 15 4

?????????14 分

18.(本题满分 16 分) 解: 解: (1)由题意 a<0,且
2

=

,解得:a=﹣2 或 a=﹣ ;
2

???? 4 分

(2)由 f(x)>﹣2x ﹣3x+1﹣2a,得(a+2)x +4x+a﹣1>0, 若 a=﹣2,不等式 4x﹣3>0 不对一切实数 x 恒成立,舍去, 若 a≠﹣2,由题意得 ,解得:a>2, ?????9 分

故 a 的范围是: (2,+∞) ; 2 (3)不等式为 ax +x﹣a﹣1>0,即(x﹣1) (ax+a+1)>0, ∵a<0,∴(x﹣1) (x+ ∵1﹣(﹣ )= , ,解集为:{x|1<x<﹣ }, )<0,

∴﹣ <a<0 时,1<﹣
2

a=﹣ 时, (x﹣1) <0,解集为?, a<﹣ 时,1>﹣ ,解集为{x|﹣ <x<1}. ?????16 分

4

19.(本题满分 16 分) 解: (1)因为 P 是等腰直角三角形 PBC 的直角顶点,且 BC ? 2 , 所以 ?PCB ?

?

4

, PC ? 2 ,???1 分

又因为 ?ACB ?

?
2

,??ACP ?

?
4

,???2 分
2 2 2

在 ?PAC 中,由余弦定理得: PA ? AC ? PC ? 2 AC ? PC cos 所以 PA ? 5 .???6 分 (2)在 ?PBC 中, ?BPC ? 由正弦定理得

?
4

? 5 ,???5 分

2? ? , ?PCB ? ? ,所以 ?PBC ? ? ? ,???7 分 3 3

2 PB PC ? ? , 2? sin ? ? sin sin( ? ? ) ???8 分 3 3
? PB ? 4 3 4 3 ? sin ? , PC ? sin( ? ? ) ???9 分 3 3 3 1 2? 4 3 ? 所以 ?PBC 得面积 S (? ) ? PB ? PC sin ? sin( ? ? )sin ? ???11 分 2 3 3 3
= 2sin ? cos ? ?

2 3 2 3 3 ??12 分 sin ? ? sin 2? ? cos 2? ? 3 3 3

=

2 3 ? 3 ? sin(2? ? ) ? ,? ? (0, ) ,???14 分 3 6 3 3
3 .???16 分 3

所以当 ? ?

?
6

时, ?PBC 面积得最大值为

20.(本题满分 16 分) 解: (1)因为 an ? 3n 则有 an?1 ? an ? 3 , n ? N 故数列 {an } 是“ Q ” , 对应的实 . .类数列 ... . ,
*

常数分别为 1, 3. 因为 bn ? 3 ? 5n ,则有 bn?1 ? 5bn

* , n? N

故数列 {bn } 是“ Q 类数列 ” , 对应的实常数分别为 5, 0. . . ... .

????4 分

5

(2)证明:若数列 {an } 是“Q 类数列”, 则存在实常数 p , q , 使得 an?1 ? pan ? q 对于任意 n ? N * 都成立,且有 an?2 ? pan?1 ? q 对于任意 n ? N * 都成 立,因此 ? an?1 ? an?2 ? ? p ? an ? an?1 ? ? 2q 对于任意 n ? N * 都成立,故数列 ?an ? an?1 ? 也 是“ Q 类数列 ” . . . ... . 对应的实常数分别为 p , 2q . ????8 分

( 3 ) 因 为 an ? an?1 ? 3t ? 2n (n ? N * ) 则 有 a2 ? a3 ? 3t ? 22 , a4 ? a5 ? 3t ? 24 ?? ,

a2014 ? a2015 ? 3t ? 22014
故数列 {an } 前 2015 项的和

S2015 ? 2 ? 3t ? 22 ? 3t ? 24 ? ?? 3t ? 22014 ? 2 ? t (22016 ? 4) ????12 分
若数列 {an } 是“ Q 类数列 ” , 则存在实常数 p , q . . ... . 使得 an?1 ? pan ? q 对于任意 n ? N 都成立,
*

且有 an?2 ? pan?1 ? q 对于任意 n ? N 都成立,
*

因此 ? an?1 ? an?2 ? ? p ? an ? an?1 ? ? 2q 对于任意 n ? N 都成立,
*

而 an ? an?1 ? 3t ? 2n (n ? N * ) ,且 an ? an?1 ? 3t ? 2n (n ? N * ) 则有 3t ? 2
n?1

? 3t ? p2n ? 2q 对于任意 n ? N * 都成立,可以得到 t ( p ? 2) ? 0, q ? 0 ,

(1)当 p ? 2, q ? 0 时, an?1 ? 2an , an ? 2n , t ? 1 ,经检验满足条件。 (2)当 t ? 0 , q ? 0 时, an?1 ? ?an , an ? 2(?1)n?1 , p ? ?1 经检验满足条件。 因此当且仅当 t ? 1 或 t ? 0 , 时, 数列 ?an 或 ?1 , 0 .????16 分

Q 类数列 ” 。 对应的实常数分别为 2 , 0 , ? 也是“ . . ... .

6


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