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2002年江苏省高考数学试题


2002 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。 (1)函数 f ( x ) ? A.

? 2

sin 2 x 的最小正周期是( ) 。 cos x

B.

?

C. 2?

D. 4?

(2)圆 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1的圆心到直线 y ? A.

3 。 x 的距离是( ) 3

3 C. 1 D. 3 2 (3)不等式 (1 ? x)(1? | x |) ? 0 的解集是( ) A. {x | 0 ? x ? 1} B. {x | x ? 0且x ? ?1} C. {x | ?1 ? x ? 1} D. {x | x ? 1且x ? ?1} (4)在 (0,2? ) 内,使 sin x ? cos x 成立的 x 取值范围为( ) ? ? 5? ? ? 5? ? 5? 3 ) B. ( , ? ) C. ( , ) D. ( , ? ) ? ( , ? ) A. ( , ) ? (? , 4 2 4 4 4 4 4 4 2 k 1 k 1 (5)设集合 M ? {x | x ? ? , k ? Z }, N ? {x | x ? ? , k ? Z } ,则( ) 2 4 4 2 A. M ? N B. M ? N C. M ? N D. M ? N ? ?
B. (6)一个圆锥和一个半球有公共底面,如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等,那么,这 个圆锥轴截面顶角的余弦值是( ) 。

1 2

4 3 3 C. D. ? 5 5 5 (7)函数 f ( x) ? x | x ? a | ?b 是奇函数的充要条件是( )
A. B. A.ab=0 B. a+b=0 C. a=b (8)已知 0 ? x ? y ? a ? 1 ,则有( ) 。 A. loga ( xy) ? 0 (9)函数 y ? 1 ? D. a ? b ? 0
2 2

3 4

B. 0 ? loga ( xy) ? 1 C. 1 ? loga ( xy) ? 2

D. loga ( xy) ? 2

1 x ?1 A. 在( ? 1,?? )内单调递增 C. 在( 1,?? )内单调递增

B. 在( ? 1,?? )内单调递减 D. 在( 1,?? )内单调递减

(10) 极坐标方程 ? ? cos? 与 ? cos ? ?

1 的图形是( ) 。 2

O

1 2

x

O

1 2

x O

1 2
C

x

O D

1 2

x

A

B

(11)从正方体的 6 个面中选取 3 个面,其中有 2 个面不相邻的选法共有( ) 。 A.8 种 B. 12 种 C. 16 种 D. 20 种 (12)据 2002 年 3 月 5 日九届人大五次会议《政府工作报告》 :“2001 年国内生产总值达到 95933 亿元,比上年增长 7.3%,”如果“ 十 ? 五 ”期间(2001 年—2005 年)每年的国内 生产总值都按此年增长率增长,那么到“ 十 ? 五 ”末,我国国内生产总值约为( ) 。 A. 115 000 亿元 B. 120 000 亿元 C. 127 000 亿元 D. 135 000 亿元

1

二. 填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中横线上。 (13)椭圆 5x 2 ? ky 2 ? 5 的一个焦点是(0,2) ,那么 k= (14) ( x ? 1)(x ? 2) 的展开式中 x 项的系数是
2 7
3

。 。 。

(15)已知 sin ? ? cos 2? (? ? ( (16)已知函数 f ( x) ?

?
2

, ? )) ,则 tg? ?

1 1 1 x2 , 那 f (1) ? f (2) ? f ( ) ? f (3) ? f ( ) ? f (4) ? f ( ) = 。 2 2 3 4 1? x

三. 解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 12 分)已知复数 z ? 1 ? i ,求实数 a,b 使 az ? 2bz ? (a ? 2z) 2

(18) (本小题满分 12 分)设 {an } 为等差数列, {bn } 为等比数列, 分别求出 {an } 及 {bn } 的前 10 项的和 S 10 及 T10 。 a1 ? b1 ? 1, a2 ? a4 ? b3 , b2b4 ? a3 ,

(19) (本小题满分 12 分)四棱锥 P ? ABCD 的底面是边长为 a 的正方形,PB ? 面 ABCD (I)若面 PAD 与面 ABCD 所成的二面角为 60 ,求这个四棱锥的体积; (II)证明无论四棱锥的高怎样变化,面 PAD 与面 PCD 所成的二面角恒大于 90 。
?
?

P

B C D

A

2

(20) (本题满分 12 分) 设 A、B 是双曲线 x ?
2

y2 ? 1 上的两点,点 N(1,2)是线段 AB 的中点。 2

(I) 求直线 AB 的方程。 ( II ) 如 果 线 段 AB 的垂 直 平 分 线与 双 曲 线相交 于 C 、 D 两 点 , 那么 A 、 B 、 C 、 D 四点是否共圆?为什么?

(21) (本小题满分 12 分,附加题满分 4 分) (I)给出两块面积相同的正三角形纸片(如图 1,图 2),要求用其中一块剪拼成一个正三棱 锥模型,另一块剪拼成一个正三棱柱模型,使它们的全面积都与原三角形的面积相等, 请设计一种剪拼方法,分别用虚线标示在图 1、图 2 中,并作简要说明。 (II)试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小。 (III) (本小题为附加题,如果解答正确,加 4 分,但全卷总分不超过 150 分。 )如果给出的 是一块任意三角形的纸片(如图 3) ,要求剪拼成一个直三棱柱模型,使它的全面积与给出 的三角形的面积相等,请设计一种剪拼方法,用虚线标示在图 3 中,并作简要说明。

图1

图2

图3

3

(22) (本小题满分 14 分)已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ? ax ? bx2 ; (I)当 b>0 时,若对任意 x ? R 都有 f ( x) ? 1 ,证明 a ? 2 b ; (II)当 b>1 时,证明:对任意 x ? [0,1] , | f ( x) |? 1 的充要条件是 b ? 1 ? a ? 2 b ; (III)当 0 ? b ? 1 时,讨论:对任意 x ? [0,1] , | f ( x) |? 1 的充要条件。

4

2002 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学参考答案
说明: 一. 本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如 果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细 则。 二. 对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数 的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分。 三. 解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 四. 只给整数分数,选择题和填空题不给中间分。 一. 选择题:本题考查基本知识和基本运算,每小题 5 分,满分 60 分。 (1)C (2)A (3)D (4)C (5)B (6)C (7)D (8)D (9) C (10)B (11)B (12)C 二. 填空题:本题考查基本知识和基本运算。每小题 4 分,满分 16 分。 (13)1 (14)1 008 (15) ?

3 3

(16)

7 2

三. 解答题 (17)本小题主要考查复数的基础知识和基本运算技能。满分 12 分。 解:因为 z ? 1 ? i

?a z ?2 b z ?( a?2 b ) ? ( a? 2 b ) i

2 ( a ? 22 z )? (a ? 2 )? ? 4

4a (?

2

2 i? ) a(?

a4? ) a 4 ?(

i2)

因为 a , b 都是实数,所以由 az ? 2bz ? (a ? 2z) 2 得 ?

?a ? 2b ? a 2 ? 4a 两式相加,整理得 ?a ? 2b ? 4(a ? 2)

a 2 ? 6a ? 8 ? 0 解得: a1 ? ?2, a2 ? ?4 对应得 b1 ? ?1, b2 ? 2 所以,所求实数为 a ? ?2 , b ? ?1 或 a ? ?4, b ? 2
(18)本小题主要考查等差数列,等比数列基础知识,以及运算能力和推理能力满分 12 分。 解:因为 {an } 为等差数列, {bn } 为等比数列。 ? a2 ? a4 ? 2a3 , b2b4 ? b3 已知 a2 ? a4 ? b3 , b2 b4 ? a3 因为 b3 ? 0 ? b3 ? 由 a1 ? 1, a 3 ?
2

?b3 ? 2a3 , a3 ? b3

2

得: b3 ? 2b3

2

1 3 10 ? 9 55 d ?? 知 {an } 的公差为 d ? ? ? S10 ? 10 a1 ? 4 8 2 8 1 2 2 由 b1 ? 1, b3 ? 知 {bn } 的公比为 q ? 或q ? ? 2 2 2 10 b (1 ? q ) 31 2 当q ? 时, T10 ? 1 ? (2 ? 2 ) 2 1? q 32

1 1 , a3 ? 2 4

b1 (1 ? q10 ) 31 2 当q ? ? 时, T10 ? ? (2 ? 2 ) 2 1? q 32
(19) 本小题考查线面关系和二面角的概念, 以及空间想象能力和逻辑推理能力满分 12 分。 P (I)解:因为 PB ? 面 ABCD。 所以 BA 是 PA 在面 ABCD 上的射影 又 DA ? AB , 所以 PA ? DA

? ? PAB 是面 PAD 与面 ABCD 所成的二面角的平面角? ?PAB ? 60? 而 PB 是四棱锥 P ? ABCD 的高,PB=AB ? tg 60? ? 3a
B O C

E A D

5

1 3 3 ?V锥 ? ? 3a ? a 2 ? a 3 3
(II)证:不论棱锥的高怎样变化,棱锥侧面 PAD 与 PCD 恒为全等三角形。 作 AE ? DP ,垂足为 E,连结 EC,则 ?ADE ? ?CDE

? AE ? CE, ?CED ? 90? 故 ?CEA 是面 PAD 与面 PCD 所成的二面角的平面角 设 AC 与 DB 相交于点 O,连结 EO,则 EO ? AC 2 ? a ? OA ? AE ? AD ? a 2
在三角形 AEC 中,

cos ?AEC ?

AE 2 ? EC 2 ? (2 ? OA) 2 ( AE ? 2OA)( AE ? 2OA) ? ?0 2 AE ? EC AE 2

所以,面 PAD 与面 PCD 所成的二面角恒大于 90 度。 (20)本小题主要考查直线、圆、双曲线和坐标法等基本知识,以及逻辑推理能力、运 算能力和分析解决问题的能力。满分 12 分。 解: (I)依题意,可设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1) ? 2

y2 ? 1 ,整理得 (2 ? k 2 ) x 2 ? 2k (2 ? k ) x ? (2 ? k ) 2 ? 2 ? 0 (1) 2 记 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) ,则 x1 , x 2 是方程(1)的两个不同的根 2k ( 2 ? k ) 2 所以 2 ? k ? 0 ,且 x1 ? x 2 ? 2?k2 1 由 N(1,2)是 AB 的中点得: ( x1 ? x2 ) ? 1 ? k (2 ? k ) ? 2 ? k 2 2 解得 k=1,所以直线 AB 的方程为 y ? x ? 1
2 代入 x ?

(II)将 k=1 代入方程(1)得 x ? 2 x ? 3 ? 0 解出 x1 ? ?1, x2 ? 3
2

由 CD 垂直平分 AB,得直线 CD 的方程为 y ? ?( x ? 1) ? 2 即 y ? 3 ? x 代入双曲线方程,整理得: x ? 6 x ? 11 ? 0 (2) 记 C( x3 , y3 ) ,D ( x4 , y 4 ) ,以及 CD 的中点为 M( x0 , y0 )
2

由 y ? x ? 1 得 y1 ? 0, y 2 ? 4 即 A、B 的坐标分别为(-1,0)和(3,4)

则 x3 , x 4 是方程(2)的两个根,所以 x3 ? x4 ? ?6, x3 x4 ? ?11 从而 x 0 ?

1 ( x3 ? x 4 ) ? ?3 , y0 ? 3 ? x0 ? 6 2
2 (3 x? 4 x 2) ? ( 3 y? y 4 ) ? 2 2 (3 x? 4 x ? ) 2[( x3 ? x4 ) 2 ? 4 x3 x4 ] ? 4 10

|C D? |

?| MC |?| MD |?

1 | CD |? 2 10 2

又 | MA |?| MB | ?

( x0 ? x1 ) 2 ? ( y0 ? y1 ) 2 ? 4 ? 36 ? 2 10

即 A、B、C、D 四点到点 M 的距离相等,所以 A、B、C、D 四点共圆。 (21)本小题主要考查空间想象能力、动手操作能力、探究能力和灵活运用所学知识解 决现实问题的能力,满分 12 分,附加题 4 分。 解: (I)如图 1,沿正三角形三边中点连线折起,可拼得一个正三棱锥。 如图 2,正三角形三个角上剪出三个相同的四边形,其较长的一组邻边边长为三角形边 长的

1 4

,有一组对角为直角,余下部分按虚线折起,可成为一个缺上底的正三棱柱,而剪

6

出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱柱的上底。 (II)依上面剪拼的方法,有 V柱 ? V锥 推理如下:设给出正三角形纸片的边长为 2,那么,正三棱锥与正三棱柱的底面都是边长为 1 的正三角形,其面积为

3 ,现在计算它们的高: 4

2 3 6 1 3 h锥 ? 1 ? ( ? )2 ? h柱 ? tg 30 ? 3 2 3 2 6 1 3 6 3 3 2 2 ?3 ?V锥 ? V柱 ? ( h锥 ? h柱 ) ? ?( ? )? ? ? 0 所以 V柱 ? V锥 3 4 9 6 4 24
(III) (附加题,满分 4 分) 如图 3,分别连结三角形的内心与各顶点,得到三条线段,再以这三条线段的中点为顶 点作三角形, 以新作的三角形为直三棱柱的底面, 过新三角形的三个顶点向原三角形三边作 垂线,沿六条垂线剪下三个四边形,可以拼接成直三棱柱的上底、余下部分按虚线折起,成 为一个缺上底的直三棱柱,即可得到直三棱柱模型。 注:考生如有其他的剪拼方法,可比照本标准评分。

图1

图2

图3

(22)本小题主要考查二次函数、不等式等基础知识,以及逻辑推理能力、运算能力和 灵活、综合应用数学知识解决问题的能力。满分 14 分。 (I)证:依设,对任意 x ? R ,都有 f ( x) ? 1

a a2 a 2 a2 ? 1 因为 a ? 0, b ? 0 ? a ? 2 b ) ? 2 ? f( )? 因为 f ( x) ? ?b( x ? 2b 4b 2b 4b
(II)证: 必要性: 对任意 x ? [0,1],| f ( x) |? 1 ? ?1 ? f ( x) ,据此可以推出 ? 1 ? f (1) 即 a ? b ? ?1

? a ? b ? 1 对任意 x ? [0,1],| f ( x) |? 1 ? f ( x) ? 1 1 1 ) ?1 即a? ?1 ? 1 ?a ? 2 b 因为 b>1, 可以推出 f ( b b 充分性:因为 b ? 1, a ? b ? 1 ,对任意 x ? [0,1] ,可以推出:

?b ? 1 ? a ? 2 b

ax ? bx2 ? b( x ? x 2 ) ? x ? ? x ? ?1 2 即 ax ? bx ? ?1 2 2 因为 b ? 1, a ? 2 b ,对任意 x ? [0,1] ,可以推出 ax ? bx ? 2 b x ? bx ? 1 2 即 ax ? bx ? 1 ? ?1 ? f ( x) ? 1
综上,当 b>1 时,对任意 x ? [0,1] , | f ( x) |? 1 的充要条件是 b ? 1 ? a ? 2 b (III)解:因为 a ? 0,0 ? b ? 1时,对任意 x ? [0,1] : f ( x) ? ax ? bx ? ?b ? ?1,
2

即 f ( x) ? ?1 ;

f ( x) ? 1 ? f (1) ? 1 ? a ? b ? 1即 a ? b ? 1 a ? b ? 1 ? f ( x) ? (b ? 1) x ? bx2 ? 1 ,即 f ( x) ? 1 所以,当 a ? 0,0 ? b ? 1 时,对任意 x ? [0,1] , | f ( x) |? 1 的充要条件是 a ? b ? 1

7


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