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2010-2011学年第二学期期末教学质量监测试题高一数学

2010-2011 学年第二学期期末教学质量监测试题 高一数学
本试卷分选择题和非选择题两部分 分选择题和非选择题两部分, 小题, 本试卷分选择题和非选择题两部分,共三大题 20 小题,共 4 页,满分 150 分.考试用 分钟. 时 120 分钟.

注意事项: 注意事项:
1.答卷前,考生务必在答题卡第 1 面、第 3 面、第 5 面用黑色字迹的钢笔或签字笔填 第 写自己的考生号、姓名、座位号,再用 2B 铅笔把对应号码的标号涂黑. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案标号涂黑,如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域 内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;改动的答案也不超出 能指定的区域,不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 5.本次考试不允许使用计算器.

第一部分

选择题(共 50 分)

一、选择题: 本 大题共 10 小题, 每小题 5 分, 满分 50 分. 在每小题给出的四 择题 : (本 ( 小题, 个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 个选项中, 只有一项是符合题目要求的.)
1.若 sin α = A.

π
6

1 ,则下列角中符合条件的是 α = ( 2
B.

) D.

π

2.不等式 ( x + 2)( x ? 1) > 0 的解集为 ( A. x x < ?2或x > 1

4

C.

π

π
2

3


{

} }
1900 年 2

B. { x ?2 < x < 1} D. { x ?1 < x < 2}

C. x x < ?1或x > 2

{

3.历届奥运会召开时间表如下: 年份 届数 1896 年 1 1904 年 3 … … 2008 年

n

则 n 的值为 ( ) A.27 B.28 C.29 D.30 4.不等式 x + 2 y ? 1 > 0 表示的平面区域在直线 x + 2 y ? 1 = 0 的( A.左上方 B.左下方 C.右上方 D.右下方



5. Sn 是等差数列 {a n } 的前 n 项和,如果 S10 = 120 ,那么 a1 + a10 的值是 ( A.12 B.36 C.24 D.48



6. 已知点 P (3, y ) 在角 α 的终边上,且满足 y < 0, cos α = A. ?

3 4

B. ?

4 3
1

C.

4 3

3 ,则 tan α 的值等于( 5 3 D. 4



7. 已知 sin(α ?

π

1 π ) = , 则 cos( + α ) 的值等于( 4 3 4
B.



A.

2 2 3
x 2a + 2a x

1 3

C. ?

2 2 3

D. ?

1 3
D. 3x + 3? x ) D. PA + PB + PC = 0

8. 下列各式中最小值等于 2 的是( A. B. x +

) C. x 2 + x + 3

1 ( x ≥ 4) x

9. 设 p 是 ?ABC 所在平面内的一点, BC + BA = 2 BP ,则( A. PA + PB = 0

uuu uuu r r

uuu r

uuu uuu r r

B. PC + PA = 0

uuu uuu r r

C. PB + PC = 0

uuu uuu r r

uuu uuu uuu r r r

10. 已知函数 y = sin (ω x + ? ) (ω > 0, ? < ( A. )

π
2

) 的部分图象如图所示, 则

π ω =1 ? = 6 ?= π C. ω =2 6

B. ω =1 D. ω =2

? =?π ? =?π

6 6

第二部分 非选择题(共 100 分)
小题, 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 填空题(
11. 已知 tan α = 2, tan β = 3 ,则 tan(α ? β ) = 12. 等比数列 {an } 中, a1 + a2 = 3, a2 + a3 = 6, 则公比 q = 13. 若向量 a = (4,1) b = (2, x ? 1),

a / / b ,则 x =

14. 已 知 a, b, c 分 别 是 ?ABC 的 三 个 内 角 A, B, C 所 对 的 边 , 若 a = 1, b =

3,

A + C = 2 B ,则 sin C =

.

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分,解答题写出必要的文字说明、推演步骤)
15. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) = ? 3 sin 2 x + sin x cos x (1)求 f ( ) 的值;

π

6

(1)

求函数 f ( x ) 的最小正周期及最大值.

2

16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) = x + ax + 6 .
2

(1)当 a = 5 时,解不等式 f ( x ) < 0 ; (2)若不等式 f ( x) > 0 的解集为 R ,求实数 a 的取值范围.

17. (本小题满分 14 分) 某工厂生产 A、B 型两类产品,每个产品需粗加工和精加工两道工序完成. 已知粗加 工做一个 A、B 型产品分别需要 1 小时和 2 小时,精加工一个 A、B 型产品分别需要 3 小 时和 1 小时;又知粗加工、精加工每天工作分别不得超过 8 小时和 9 小时,而工厂生产一 个 A、B 型产品分别获利润 200 元和 300 元,试问工厂每天应生产 A、B 型产品各多少个, 才能获得利润最大?

18. (本小题满分 14 分)
2 2 已知二次函数 f ( x ) = x + 2(10 ? 3n )x + 9n ? 61n + 100 ,其中 n ∈ N .
*

(1)设函数 y = f ( x ) 的图象的顶点的横坐标构成数列 {a n } ,求证:数列 {a n } 为等差数列; (2)设函数 y = f ( x ) 的图象的顶点到 y 轴的距离构成数列 {d n },求数列 {d n }的前 n 项和

Sn .

3

19. (本小题满分 14 分) 已知向量 p = (a + c, b), q = (a ? c, b ? a) 且p ? q = 0 ,其中角 A, B, C 是 ?ABC 的 内角, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边. (1)求角 C 的大小; (2)求 sin A + cos B 的取值范围.

20.

(本小题满分 14 分) 将数列 {an } 中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表:

a1 a2 a4 a7

a3 a5 a8

a6 a9 a10

记表中的第一列数 a1,a2,a4,a7, 构成的数列为 {bn } ,b1 = a1 = 1 .Sn 为数列 {bn } L 的前 n 项和,且满足 bn =

………………………

Sn 2 (n ≥ 2) . Sn ? 2 1 1 1 (1)证明: ? = (n ≥ 2) ; S n S n ?1 2
(2)求数列 {bn } 的通项公式; (3)上表中,若从第三行起,每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列,且公比

为同一个正数.当 a94 = ?

9 时,求上表中第 k ( k ≥ 3) 行所有项的和. 105

4

2010-2011 学年第二学期期末教学质量监测数学 高一数学参考答案
说明: 1、本解答给出了一种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,各题组可根 据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则. 2、对于计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改 变该题的内容和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应 得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
一.选择题(每题 5 分,共 50 分) 选择题( 1 2 3 4 题号 答案 A A C C 二.填空题(每题 5 分,共 20 分) 填空题(

5 C

6 B

7 D

8 D

9 B

10 D

1 11. ? ; 12. 2 ; 7

13.

3 2

14. 1

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分,解答题写出必要的文字说明、推演步骤)
15. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) = ? 3 sin 2 x + sin x cos x (1)求 f ( ) 的值;

π

6

(2)求函数 f ( x ) 的最小正周期及最大值. 解: (1) f ( ) = ? 3 sin ( ) + sin
2

π

π

π
6

6

6

cos

π
6

----------------

-------1 分

1 1 3 = ? 3× + × =0 4 2 2
(2) f ( x ) = ? 3 sin 2 x + sin x cos x = ? 3 ×

-----------------------4 分

1 ? cos 2 x sin 2 x + 2 2

------------7 分

π 3 = sin(2 x + ) ? 6 2
∴ 最小正周期为 T = 最大值为 1 ?

----------------- -9 分 -------10 分

2π =π 2
当 { x | x = kπ +

3 2

π
6

, ( k ∈ Z )} 取最大值

12 分

5

16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) = x + ax + 6 .
2

(1)当 a = 5 时,解不等式 f ( x ) < 0 ; (2)若不等式 f ( x) > 0 的解集为 R ,求实数 a 的取值范围. 解: (1)当 a = 5 时, f ( x ) = x 2 + 5 x + 6 . 由 f ( x ) < 0 ,得 x + 5 x + 6 <0. 即 ( x + 2)( x + 3) < 0 .
2

-----------3 分 ………………6 分

所以

?3 < x < ?2 .
2

(2)若不等式 f ( x ) > 0 的解集为 R ,则有 ? = a ? 4 × 6 < 0 .

9分

解得 ? 2 6 < a < 2 6 ,即实数 a 的取值范围是 (?2 6 ,2 6 ) . ……………12 分 17. (本小题满分 14 分) 某工厂生产 A、B 型两类产品,每个产品需粗加工和精加工两道工序完成,.已知粗加工 做一个 A、B 型产品分别需要 1 小时和 2 小时,精加工一个 A、B 型产品分别需要 3 小时和 1 小时;又知粗加工、精加工每天工作分别不得超过 8 小时和 9 小时,而工厂生产一个 A、 B 型产品分别获利润 200 元和 300 元,试问工厂每天应生产 A、B 型产品各多少个,才能获 得利润最大? 解:设每天生产 A 型产品 x 个,B 型产品子 y 个, ------1分

?x + 2 y ≤ 8 ? 则 ?3x + y ≤ 9 ? x ≥ 0, y ≥ 0 ?

-------------5 分

y 9 3x+y=9 M(2,3) x+2y=8 o 3 x

目标函数为:z=2x+3y ---------------6 分 作出可行域: 把直线 l :2x+3y=0 向右上方平移至 l ′ 的位置时,直线经过可行域 上 的 点 M , 且 与 原 点 距 离 最 大 , 此 时 z=2x+3y 取 最 大 值 ----------------------11 分 解方程 ?

?x + 2 y = 8 得 M 的坐标为(2,3). ?3x + y = 9

-------13 分 -----14 分

答:每天应生产 A 型产品 2 个,B 型产品 3 个才能获得最大利润 (画图正确给 10 分) 18. (本小题满分 14 分) 已知二次函数 f ( x ) = x 2 + 2(10 ? 3n )x + 9n 2 ? 61n + 100 ,其中 n ∈ N .
*

(1)设函数 y = f ( x ) 的图象的顶点的横坐标构成数列 {a n } ,求证:数列 {a n } 为等差数列; (2)设函数 y = f ( x ) 的图象的顶点到 y 轴的距离构成数列 {d n },求数列 {d n }的前 n 项和
6

Sn .
解: (1)由二次函数 y = f ( x ) 的对称轴为 x = 3n ? 10 得 a n = 3n ? 10 ∵ 对 n ∈ N 且 n ≥ 2 ,有 a n ? a n ?1 = 3 ∴ {a n } 为等差数列。 (2)由题意, d n = a n ,即 d n = ? ---2分

-------5分 ----------6分

?10 ? 3n ?3n ? 10

(1 ≤ n ≤ 3) (n ≥ 4)

--------8分

∴当 1 ≤ n ≤ 3 时, S n =

7 + 10 ? 3n 17 n ? 3n 2 ?n = 2 2

------------10分

当 n ≥ 4 时, S n = 7 + 4 + 1 ? (? 2 ? 5 + L + 10 ? 3n ) =

3n 2 ? 17 n + 48 2

----13分

?17 n ? 3n 2 (1 ≤ n ≤ 3) ? ? 2 ∴ Sn = ? 2 ? 3n ? 17 n + 48 (n ≥ 4 ) ? 2 ?
19. (本小题满分 14 分)

------------14 分

已知向量 p = (a + c, b), q = (a ? c, b ? a) 且p ? q = 0 ,其中角 A, B, C 是 ?ABC 的 内角, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边. (1)求角 C 的大小; (2)求 sin A + cos B 的取值范围. 解: (1)由 p ? q = 0 得 (a + c )( a ? c ) + b(b ? a ) = 0 -----------2 分 ------------3 分

∴ a 2 + b 2 ? c 2 = ab
由余弦定理得: cos C =

a2 + b2 ? c2 1 = 2ab 2

-----------5 分

Q 0 < C < π ∴C =
(2)Q C =

π
3 2π 3

-----------6 分 --------------7 分 --------------8 分

π
3

∴A+ B =

∴ sin A + sin B = sin A + sin(

2π ? A) 3

7

= sin A + sin

2π 2π cos A ? cos sin A 3 3

------------9 分

3 3 π = sin A + cos A = 3 sin( A + ) 2 2 6
Q0 < A <

------------11 分 -----------12 分 -------------13 分

1 π ∴ < sin( A + ) ≤ 1 2 6 ∴
20.

2π 3



π
6

< A+

π
6

<

5π 6

3 π < 3 sin( A + ) ≤ 3 2 6





3 < sin A + sin B ≤ 3 2

----------14 分

(本小题满分 14 分)
将数列 {an } 中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表:

a1 a2 a4 a7

a3 a5 a8

a6 a9

a10

记表中的第一列数 a1,a2,a4,a7, 构成的数列为 {bn } ,b1 = a1 = 1 .Sn 为数列 {bn } L 的前 n 项和,且满足 bn =

………………………

Sn 2 (n ≥ 2) . Sn ? 2 1 1 1 (1)证明: ? = (n ≥ 2) S n S n ?1 2
(2)求数列 {bn } 的通项公式; (3)上表中,若从第三行起,每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列,且公

比为同一个正数.当 a94 = ?

9 时,求上表中第 k ( k ≥ 3) 行所有项的和. 105
Sn 2 , bn = S n ? S n ?1 , Sn ? 2
即 S n S n ?1 = 2 S n ?1 ? 2 S n , -----------2 分 ------------3 分 ------------4 分 ------------5 分

20. (1)证明:由已知,当 n ≥ 2 时, bn = 所以 S n ? S n S n ?1 ? 2 S n + 2 S n ?1 = S n ,
2 2

1 1 1 ? = . S n S n ?1 2 (2)又 S1 = b1 = a1 = 1 .
所以

?1? 1 ? 是首项为 1,公差为 的等差数列. 2 ? Sn ? 1 1 n +1 所以 = 1 + (n ? 1) = , Sn 2 2 2 . 即 Sn = n +1
由(1)可知,数列 ?
8

------------6 分

所以当 n ≥ 2 时, bn = S n ? S n ?1 =

2 2 2 ? =? . n +1 n n(n + 1)

-----------7 分

?1,    n = 1, ? 因此 bn = ? 2 ? ? n(n + 1) ,n ≥ 2. ?
(3)解:设上表中从第三行起,每行的公比都为 q ,且 q > 0 .

-------------8 分

13 × 14 = 91 , 2 所以表中第 1 行至第 13 行共含有数列 {an } 的前 91 项,
因为 1 + 2 + L + 12 + 13 = 故 a94 在表中第 14 行第三列, 因此 a94 = b14 q = ?
2

------------9 分

------------10 分 ------------11 分

9 . 105

又 b14 = ?

2 , 14 × 15 所以 q = 3 .

------------12 分

记表中第 k ( k ≥ 3) 行所有项的和为 Sk , 则 Sk =

bk (1 ? q k ) 2 (1 ? 3k ) 1 ? 3k =? = 1? q k (k + 1) 1 ? 3 k (k + 1)

(k ≥ 3) .

-----------14 分

9


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