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第2章2.2.2 直线与圆的位置关系 课时闯关(含解析)


[A 级 基础达标] 1.直线 y=x+1 与圆 x2+y2=1 的位置关系是________. 1 1 解析:∵d= = <1, 2 1+(-1)2 ∴直线与圆相交. 答案:相交 2.直线 3x-y+m=0 与圆 x2+y2-2x-2=0 相切,则实数 m 等于________. 解析:圆 x2+y2-2x-2=0 的圆心 C(1,0),半径 r= 3,直线 3x-y+m=0 与圆相切时, | 3+m| d=r,即 = 3,解得 m=-3 3或 m= 3. 3+1 答案:-3 3或 3 3.(2010· 高考四川卷)直线 x-2y+5=0 与圆 x2+y2=8 相交于 A、B 两点,则 AB=________. 5 解析:圆心到直线的距离 d= = 5,半径 R=2 2,所以弦长 AB=2 R2-d2=2 8-5= 5 2 3. 答案:2 3 4.圆(x+1)2+(y+2)2=8 上到直线 x+y+1=0 的距离为 2的点的个数为________. |-1-2+1| 解析:圆心(-1,-2)到直线 x+y+1=0 的距离 d= = 2,又圆半径 r=2 2, 2 所以满足条件的点共有 3 个. 答案:3 5.过点 A(1, 2)的直线 l 将圆(x-2)2+y2=4 分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时,直 线 l 的斜率 k 等于________. 解析:由(1-2)2+( 2)2=3<4 可知,点 A(1, 2)在圆(x-2)2+y2=4 的内部,圆心为 O(2, 1 1 2 0),要使得劣弧所对的圆心角最小,只能是直线 l⊥OA,所以 kl=- =- = . kOA - 2 2 2 2 6.已知圆 C:x2+y2-8y+12=0,直线 l:ax+y+2a=0. (1)当 a 为何值时,直线 l 与圆 C 相切? (2)当直线 l 与圆 C 相交于 A,B 两点,且 AB=2 2时,求直线 l 的方程. 解:将圆 C 的方程 x2+y2-8y+12=0 配方后得到标准方程 x2+(y-4)2=4,则此圆的圆心 为(0,4),半径为 2. |4+2a| (1)若直线 l 与圆 C 相切,则有 2 =2. a +1 3 解得 a=- . 4 3 即当 a=- 时,直线 l 与圆 C 相切. 4 (2)法一:过圆心 C 作 CD⊥AB 于点 D, 则根据题意和圆的性质, 答案:

? a +1, 得?CD +DA =AC =2 , AB= 2. ?DA=1 2
CD=
2

|4+2a|
2 2

2

2

解得 a=-7 或 a=-1. 即直线 l 的方程为 7x-y+14=0 或 x-y+2=0. ? ?ax+y+2a=0, 法二:联立方程组? 2 2 并消去 y,得(a2+1)x2+4(a2+2a)x+4(a2+4a+3) ?x +y -8y+12=0, ? =0. 设此方程的两根分别为 x1,x2, 由 AB=2 2= (a2+1)[(x1+x2)2-4x1x2], 可求出 a=-7 或 a=-1. 所以直线 l 的方程是 7x-y+14=0 或 x-y+2=0. 7.求通过直线 l:2x+y+4=0 与圆 C:x2+y2+2x-4y+1=0 的交点,并且有最小面积的圆 的方程. 解:由 x2+y2+2x-4y+1=0 得(x+1)2+(y-2)2=4,∴C(-1,2). 1 1 设直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点,D 为 AB 的中点,∴kCD=- = . kl 2 1 ∴CD 的方程为 y-2= (x+1)即 x-2y+5=0. 2 ? x - 2 y + 5 = 0 , ? 13 6 由? 可得 D 的坐标为(- , ). 5 5 ?2x+y+4=0, ? |2×(-1)+2+4| 4 5 16 2 5 由点到直线的距离公式得 CD= = , AD= 4-CD2= 4- = . 5 5 5 5 ∴以 D 为圆心,AB 为直径的圆是面积最小圆. 13 6 4 故所求圆的方程为:(x+ )2+(y- )2= . 5 5 5 [B 级 能力提升] 8.(2010· 高考山东卷)已知圆 C 过点(1,0),且圆心在 x 轴的正半轴上.直线 l:y=x-1 被圆 C 所截得的弦长为 2 2,则过圆心且与直线 l 垂直的直线的方程为________. 解析:设圆心坐标为(x0,0)(x0>0),由于圆过点(1,0),则半径 r=|x0-1|.圆心到直线 l 的距 |x0-1| |x0-1| 2 离为 d= .由弦长为 2 2可知( ) =(x0-1)2-2, 2 2 整理得(x0-1)2=4. ∴x0-1=±2,∴x0=3 或 x0=-1(舍去). 因此圆心为(3,0),由此可求得过圆心且与直线 y=x-1 垂直的直线方程为 y=-(x-3), 即 x+y-3=0. 答案:x+y-3=0 9.(2010· 高考江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x2+y2=4 上有且只有四个点到直线 12x-5y+c=0 的距离为 1,则实数 c 的取值范围是________. 解析:由题设,得若圆上有四个点到直线的距离为 1,则需圆心(0,0)到直线的距离 d 满足 0≤d<1. |c| |c| ∵d= = , 122+(-5)2 13 ∴0≤|c|<13,即 c∈(-13,13). 答案:(-13,13) 10.矩形 ABCD 中,AB∶BC=4∶3,点 E 在边 CD 上,且 CE∶ED=1∶7,试确定以 BC 为 直径的圆与直线 AE 的位置关系.

解:如图,分别以 AB、AD 所在直线为 x,y 轴建立平面直角坐标系.不妨设|AB|=8,则|AD| =6, ∴A(0,0),B(8,0),C(8,6),E(7,6), 6 ∴直线 AE 的方程为 y= x, 7 即 6x-7y=0. BC 中点为 M(8,3), |6×8-7×3| ∴以 BC 为直径的圆的方程为(x-8)2+(y-3)2=9.M(8, 3)到 AE 的距离 d= 2 = 6 +(-7)2 27 27 < =3=r. 85 81 ∴直线 AE 与圆相交. 11.(创新题)已知圆 C:x2+y2-2x+4y-4=0,问:是否存在斜率为 1 的直线 l,使以 l 被圆 C 截得的弦 AB 为直径的圆经过原点?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由. 解:设这样的直线存在,其方程为 y=x+m, 它与圆 C 的交点设为 A(x1,y1)、B(x2,y2). ? ?y=x+m, 则由? 2 2 ?x +y -2x+4y-4=0 ? 得 2x2+2(m+1)x+m2+4m-4=0 (*) ?x1+x2=-(m+1), ∴? m2+4m-4 . 2 ∴y1y2=(x1+m)(x2+m)=x1x2+m(x1+x2)+m2. 由 OA⊥OB,得 x1x2+y1y2=0. ∴2x1x2+m(x1+x2)+m2=0. m2+4m-4-m(m+1)+m2=0.m2+3m-4=0. ∴m=1 或 m=-4. 容易验证:m=1 或 m=-4 时(*)有实根.故存在这样的直线,有两条,其方程为 y=x+1 或 y=x-4.

?

? ?x1x2=


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