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黎城县第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学模拟

精选高中模拟试卷

黎城县第四高级中学 2018-2019 学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 一、选择题
1. “ a ? b ? 3 ”是“圆 x ? y ? 2 x ? 6 y ? 5a ? 0 关于直线 y ? x ? 2b 成轴对称图形”的(
2 2

姓名__________

分数__________


A.充分不必要条件 C.充分必要条件 查,属于中等难度.

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

【命题意图】本题考查圆的一般方程、圆的几何性质、常用逻辑等知识,有一定的综合性,突出化归能力的考 2. 已知集合 A ? {?2, ?1, 0,1, 2,3} , B ? { y | y ?| x | ?3, x ? A} ,则 A ? B ? ( A. {?2, ?1, 0} B. {?1, 0,1, 2} C. {?2, ?1, 0} ) ,﹣3,﹣2 ) 【命题意图】本题考查集合的交集运算,意在考查计算能力. 3. 与向量 =(1,﹣3,2)平行的一个向量的坐标是( A.( ,1,1) B.(﹣1,﹣3,2) C.(﹣ , ,﹣1) D.( )

D. {?1,, 0,1}

4. 常用以下方法求函数 y=[f(x)]g(x)的导数:先两边同取以 e 为底的对数(e≈2.71828…,为自然对数的底 数)得 lny=g(x)lnf(x),再两边同时求导,得 ?y′=g′(x)lnf(x)+g(x)?[lnf(x)]′,即 y′=[f(x)]g(
x){g′

(x)lnf(x)+g(x)?[lnf(x)]′}.运用此方法可以求函数 h(x)=xx(x>0)的导函数.据此可以判断 ) C.h( ) D.h( ) ) B.h( )

下列各函数值中最小的是( A.h( )

  5. 在△ABC 中,已知 a=2

,b=6,A=30°,则 B=( D.45° )

A.60° B.120° C.120°或 60°

6. 已知四个函数 f(x)=sin(sinx) ,g(x)=sin(cosx) ,h(x)=cos(sinx) ,φ(x)=cos(cosx)在 x∈[﹣π ,π]上的图象如图,则函数与序号匹配正确的是(

A.f(x)﹣①,g(x)﹣②,h(x)﹣③,φ(x)﹣④ C.g(x)﹣①,h(x)﹣②,f(x)﹣③,φ(x)﹣④  

B.f(x)﹣①,φ(x)﹣②,g(x)﹣③,h(x)﹣④ D.f(x)﹣①,h(x)﹣②,g(x)﹣③,φ(x)﹣④

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7. i 是虚数单位,

=(



A.1+2i B.﹣1﹣2i C.1﹣2i D.﹣1+2i   8. 已知双曲线 (a>0,b>0)的右焦点 F,直线 x= ) C. x2+y2=1 D. ,那么实数 与其渐近线交于 A,B 两点,且△ABF 为

钝角三角形,则双曲线离心率的取值范围是( A. a 的取值范围是( A. B. ) B. D. 9. 已知直线 x+y+a=0 与圆

交于不同的两点 A、B,O 是坐标原点,且 C.

    2 2 10.若圆 x ? y ? 6 x ? 2 y ? 6 ? 0 上有且仅有三个点到直线 ax ? y ? 1 ? 0( a 是实数)的距离为, 则a ?( A. ?1 ) B. ?

2 4

C. ? 2

D. ?

3 2

11.若动点 A,B 分别在直线 l1: x+y﹣7=0 和 l2: x+y﹣5=0 上移动,则 AB 的中点 M 到原点的距离的最小值为( ) A.3 B.2 C.3 ) D.4 12.如果 a>b,那么下列不等式中正确的是( A. B.|a|>|b| C.a2>b2 D.a3>b3

二、填空题
13.满足 tan(x+ )≥﹣ 的 x 的集合是      .     14.曲线 C 是平面内到直线 l1:x=﹣1 和直线 l2:y=1 的距离之积等于常数 k2(k>0)的点的轨迹.给出下列四 个结论: ①曲线 C 过点(﹣1,1); ②曲线 C 关于点(﹣1,1)对称; ③若点 P 在曲线 C 上,点 A,B 分别在直线 l1,l2 上,则|PA|+|PB|不小于 2k; ④设 p1 为曲线 C 上任意一点,则点 P1 关于直线 x=﹣1、点(﹣1,1)及直线 y=1 对称的点分别为 P1、P2、P3, 则四边形 P0P1P2P3 的面积为定值 4k2.

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其中,所有正确结论的序号是      .   2 15.设抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F , A, B 两点在抛物线上,且 A , B , F 三点共线,过 AB 的中点 M 作 y 轴的垂线与抛物线在第一象限内交于点 P ,若 PF ?

3 ,则 M 点的横坐标为 2

.

x2 y2 16.设某双曲线与椭圆 ? ? 1 有共同的焦点,且与椭圆相交,其中一个交点的坐标为 27 36 . ( 15 ,4) ,则此双曲线的标准方程是
17.已知圆 C:x ? y ? 2 x ? 4 y ? m ? 0 ,则其圆心坐标是_________, m 的取值范围是________.
2 2

【命题意图】本题考查圆的方程等基础知识,意在考查运算求解能力.

?y ? x y 2 ? 2 xy ? 3 x 2 ? 18.已知 x, y 满足 ? x ? y ? 4 ,则 的取值范围为____________. 2 x ?x ? 1 ?
三、解答题
19.已知 f( (1)求 f(x); (2)求 f(x)在区间[2,6]上的最大值和最小值.   )=﹣x﹣1.

20.有一批同规格的钢条,每根钢条有两种切割方式,第一种方式可截成长度为 a 的钢条 2 根,长度为 b 的钢 条 1 根; 第二种方式可截成长度为 a 的钢条 1 根,长度为 b 的钢条 3 根.现长度为 a 的钢条至少需要 15 根,长度为 b 的钢条至少需要 27 根. 问:如何切割可使钢条用量最省?

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21.在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 建立极坐标系,圆 C 的极坐标方程为 (1)写出圆 C 的直角坐标方程; .

为参数) ,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴

(2)P 为直线 l 上一动点,当 P 到圆心 C 的距离最小时,求 P 的直角坐标.

22.如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AA1C1C 是边长为 4 的正方形.平面 ABC⊥平面 AA1C1C,AB=3,BC=5 . (Ⅰ)求证:AA1⊥平面 ABC; (Ⅱ)求证二面角 A1﹣BC1﹣B1 的余弦值; (Ⅲ)证明:在线段 BC1 上存在点 D,使得 AD⊥A1B,并求 的值.

 

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23.如图所示,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E 是棱 DD1 的中点. (Ⅰ)求直线 BE 与平面 ABB1A1 所成的角的正弦值; (Ⅱ)在棱 C1D1 上是否存在一点 F,使 B1F∥平面 A1BE?证明你的结论.

24.已知函数 θ∈(0,π), (1)求 θ 的值; (2)当 m=0 时,求函数 f(x)的单调区间和极值; (3)若在上至少存在一个 x0,使得 f(x0)>g(x0)成立,求 m 的取值范围.     ,m∈R.

上为增函数,且

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黎城县第四高级中学 2018-2019 学年高二上学期第二次月考试卷数学(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】 A









2. 【答案】C 【解析】当 x ? {?2, ?1, 0,1, 2,3} 时, y ?| x | ?3 ? {?3, ?2, ?1, 0} ,所以 A ? B ? {?2, ?1, 0} ,故选 C. 3. 【答案】C 【解析】解:对于 C 中的向量:(﹣ , ,﹣1)=﹣ (1,﹣3,2)=﹣ 因此与向量 =(1,﹣3,2)平行的一个向量的坐标是 故选:C. 【点评】本题考查了向量共线定理的应用,属于基础题.   4. 【答案】B 【解析】解:(h(x))′=xx[x′lnx+x(lnx)′] =xx(lnx+1), 令 h(x)′>0,解得:x> ,令 h(x)′<0,解得:0<x< , ∴h(x)在(0, )递减,在( ,+∞)递增, ∴h( )最小, 故选:B. 【点评】本题考查函数的导数的应用,极值的求法,基本知识的考查.   5. 【答案】C , .

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【解析】解:∵a=2

,b=6,A=30°, = = ,

∴由正弦定理可得:sinB= ∵B∈(0°,180°), ∴B=120°或 60°. 故选:C.   6. 【答案】 D

【解析】解:图象①是关于原点对称的,即所对应函数为奇函数,只有 f(x); 图象②④恒在 x 轴上方,即在[﹣π,π]上函数值恒大于 0,符合的函数有 h(x)和 Φ(x), 又图象②过定点(0,1),其对应函数只能是 h(x), 那图象④对应 Φ(x),图象③对应函数 g(x). 故选:D. 【点评】本题主要考查学生的识图、用图能力,从函数的性质入手结合特殊值是解这一类选择题的关键,属于 基础题.   7. 【答案】D 【解析】解: 故选 D. 【点评】本小题考查复数代数形式的乘除运算,基础题.   8. 【答案】D 【解析】解:∵函数 f(x)=(x﹣3)ex, ∴f′(x)=ex+(x﹣3)ex=(x﹣2)ex, 令 f′(x)>0, 即(x﹣2)ex>0, ∴x﹣2>0, 解得 x>2, ∴函数 f(x)的单调递增区间是(2,+∞). 故选:D. 【点评】 本题考查了利用导数判断函数的单调性以及求函数的单调区间的应用问题, 是基础题目.   9. 【答案】A ,

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【解析】解:设 AB 的中点为 C,则 因为 所以|OC|≥|AC|, 因为|OC|= 所以 2( ,|AC|2=1﹣|OC|2, )2≥1, ,

所以 a≤﹣1 或 a≥1, 因为 <1,所以﹣ <a< , ,

所以实数 a 的取值范围是 故选:A.

【点评】本题考查直线与圆的位置关系,考查点到直线的距离公式,考查学生的计算能力,属于中档题.   10.【答案】B 【解析】 试 题 分 析 : 由 圆 x ? y ? 6 x ? 2 y ? 6 ? 0 , 可 得 ( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 4 , 所 以 圆 心 坐 标 为 (3,1) , 半 径 为
2 2 2 2

r ? 2 ,要使得圆上有且仅有三个点到直线 ax ? y ? 1 ? 0(a 是实数)的距离为,则圆心到直线的距离等于
3a 2 1 r ,即 ,故选 B. 1 ? 1 ,解得 a ? ? 2 4 2 a ?1
考点:直线与圆的位置关系. 【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系,其中解答中涉及到圆的标准方程、圆心坐标和圆的半径、 点到直线的距离公式等知识点的综合考查, 着重考查了学生分析问题和解答问题的能力, 以及推理与运算能力 和转化的思想方法, 本题的解答中, 把圆上有且仅有三个点到直线的距离为, 转化为圆心到直线的距离等于 是解答的关键. 11.【答案】A 【解析】解:∵l1:x+y﹣7=0 和 l2:x+y﹣5=0 是平行直线, ∴可判断:过原点且与直线垂直时,中的 M 到原点的距离的最小值 ∵直线 l1:x+y﹣7=0 和 l2:x+y﹣5=0, ∴两直线的距离为 = , + =3 ,

1 r 2

∴AB 的中点 M 到原点的距离的最小值为 故选:A

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【点评】本题考查了两点距离公式,直线的方程,属于中档题.   12.【答案】D 【解析】解:若 a>0>b,则 ,故 A 错误;

若 a>0>b 且 a,b 互为相反数,则|a|=|b|,故 B 错误; 若 a>0>b 且 a,b 互为相反数,则 a2>b2,故 C 错误; 函数 y=x3 在 R 上为增函数,若 a>b,则 a3>b3,故 D 正确; 故选:D 【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体,考查了函数的单调性,难度不大,属于基础题.  

二、填空题
13.【答案】 [kπ , +kπ),k∈Z .

【解析】解:由 tan(x+ 解得 kπ ≤x<

)≥﹣



+kπ≤x+



+kπ,

+kπ, , , +kπ),k∈Z,

故不等式的解集为[kπ 故答案为:[kπ

+kπ),k∈Z,

【点评】本题主要考查三角不等式的求解,利用正切函数的图象和性质是解决本题的关键.   14.【答案】 ②③④ .

【解析】解:由题意设动点坐标为(x,y),则利用题意及点到直线间的距离公式的得:|x+1||y﹣1|=k2, 对于①,将(﹣1,1)代入验证,此方程不过此点,所以①错; 对于②,把方程中的 x 被﹣2﹣x 代换,y 被 2﹣y 代换,方程不变,故此曲线关于(﹣1,1)对称.②正确 ; 对于③,由题意知点 P 在曲线 C 上,点 A,B 分别在直线 l1,l2 上,则|PA|≥|x+1|,|PB|≥|y﹣1| ∴|PA|+|PB|≥2 =2k,③正确; 对于④,由题意知点 P 在曲线 C 上,根据对称性, 则四边形 P0P1P2P3 的面积=2|x+1|×2|y﹣1|=4|x+1||y﹣1|=4k2.所以④正确. 故答案为:②③④.

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【点评】此题重点考查了利用直接法求出动点的轨迹方程,并化简,利用方程判断曲线的对称性,属于基础题 .   15.【答案】2

【 解 析 】 由 题 意 , 得 p ? 2 , F (1, 0) , 准 线 为 x ? ?1 , 设 A( x1 , y1 ) 、 B ( x2 , y2 ) , 直 线 AB 的 方 程 为

2k 2 ? 4 , x1 x2 ? 1 .又 k2 1 1 2 1 1 2 设 P ( x0 , y0 ) ,则 y0 ? ( y1 ? y2 ) ? [ k ( x1 ? 1) ? k ( x2 ? 1)] ? ,所以 x0 ? 2 ,所以 P ( 2 , ) . 2 2 k k k k 1 3 因为 | PF |? x0 ? 1 ? 2 ? 1 ? ,解得 k 2 ? 2 ,所以 M 点的横坐标为 2. k 2 2 2 y x 16.【答案】 ? ?1 4 5
y ? k ( x ? 1) ,代入抛物线方程消去 y ,得 k 2 x 2 ? (2k 2 ? 4) x ? k 2 ? 0 ,所以 x1 ? x2 ?
【解析】

x2 y2 试题分析:由题意可知椭圆 ? ? 1 的焦点在 y 轴上,且 c 2 ? 36 ? 27 ? 9 ,故焦点坐标为 ?0,?3? 由双曲 27 36
线的定义可得 2a ? 曲线的标准方程为

? 15 ? 0? ? ?4 ? 3?
2

2

?

? 15 ? 0? ? ?4 ? 3?
2

2

? 4 ,故 a ? 2 , b 2 ? 9 ? 4 ? 5 ,故所求双

y2 x2 y2 x2 ? ? 1 .故答案为: ? ?1. 4 5 4 5

考点:双曲线的简单性质;椭圆的简单性质. 17.【答案】 (1, ?2) , ( ??,5) . 【解析】将圆的一般方程化为标准方程, ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 5 ? m ,∴圆心坐标 (1, ?2) ,
2 2

而 5 ? m ? 0 ? m ? 5 ,∴ m 的范围是 ( ??,5) ,故填: (1, ?2) , ( ??,5) . 18.【答案】 ? 2, 6? 【解析】

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考点:简单的线性规划. 【方法点睛】本题主要考查简单的线性规划.与二元一次不等式(组)表示的平面区域有关的非线性目标函数 的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成.常见代数式的几何意义:(1)

? x, y ? 与原点 ? 0, 0 ? 的距离;(2) ? x ? a ? ? ? y ? b ?
2

2

? x, y ? 与 ? 0, 0 ? 点连线的斜率;(4)
三、解答题
19.【答案】 【解析】解:(1)令 t= ∴f(t)= ∴f(x)= , (x≠1)…

y ?b 表示点 ? x, y ? 与点 ? a, b ? 连线的斜率. x?a

x 2 ? y 2 表示点 y 表示点 ? x, y ? 与点 ? a, b ? 间的距离;(3) 可表示点 x

,则 x=



(2)任取 x1,x2∈[2,6],且 x1<x2, f(x1)﹣f(x2)= ﹣ = ,

∵2≤x1<x2≤6,∴(x1﹣1)(x2﹣1)>0,2(x2﹣x1)>0, ∴f(x1)﹣f(x2)>0, ∴f(x)在[2,6]上单调递减,… ∴当 x=2 时,f(x)max=2,当 x=6 时,f(x)min= …   20.【答案】 【解析】解:设按第一种切割方式需钢条 x 根,按第二种切割方式需钢条 y 根,

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根据题意得约束条件是

,目标函数是 z=x+y,

画出不等式组表示的平面区域如下图阴影部分.



,解得



此时 z=11.4,但 x,y,z 都应当为正整数, ∴点(3.6,7.8)不是最优解. 经过可行域内的整点且使 z 最小的直线是 y=﹣x+12, 即 z=12,满足该约束条件的(x,y)有两个:(4,8)或(3,9),它们都是最优解. 即满足条件的切割方式有两种,按第一种方式切割钢条 4 根,按第二种方式切割钢条 8 根; 或按第一种方式切割钢条 3 根,按第二种方式切割钢条 9 根,可满足要求. 【点评】本题考查简单的线性规划,考查了简单的数学建模思想方法,是中档题.   21.【答案】 【解析】解:(1)圆 C 的极坐标方程为
2=3

,可得直角坐标方程为 x2+y2=2

,即 x2+(y﹣)

; , t),

(2)设 P(3+ ∵C(0, ∴|PC|= ),

=



∴t=0 时,P 到圆心 C 的距离最小,P 的直角坐标是(3,0). 22.【答案】 【解析】(I)证明:∵AA1C1C 是正方形,∴AA1⊥AC. 又∵平面 ABC⊥平面 AA1C1C,平面 ABC∩平面 AA1C1C=AC,

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∴AA1⊥平面 ABC. (II)解:由 AC=4,BC=5,AB=3. ∴AC2+AB2=BC2,∴AB⊥AC. 建立如图所示的空间直角坐标系,则 A1(0,0,4),B(0,3,0),B1(0,3,4),C1(4,0,4), ∴ 设平面 A1BC1 的法向量为 则 , , . =(x2,y2,z2). .

,平面 B1BC1 的法向量为 ,令 y1=4,解得 x1=0,z1=3,∴

,令 x2=3,解得 y2=4,z2=0,∴



= ∴二面角 A1﹣BC1﹣B1 的余弦值为

= .

=



(III) 设点 D 的竖坐标为 t, (0<t<4) , 在平面 BCC1B1 中作 DE⊥BC 于 E, 可得 D , ∴ ∵ ∴ ∴ . = ,∴ , ,解得 t= . , =(0,3,﹣4),

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【点评】本题综合考查了线面垂直的判定与性质定理、面面垂直的性质定理、通过建立空间直角坐标系利用法 向量求二面角的方法、向量垂直与数量积得关系等基础知识与基本方法,考查了空间想象能力、推理能力和计 算能力.   23.【答案】 【解析】解:(I)如图(a),取 AA1 的中点 M,连接 EM,BM,因为 E 是 DD1 的中点,四边形 ADD1A1 为 正方形,所以 EM∥AD. AD⊥平面 ABB1A1, 又在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中. 所以 EM⊥面 ABB1A1, 从而 BM 为直线 BE 在平面 ABB1A1 上的射影, ∠EBM 直线 BE 与平面 ABB1A1 所成的角. 设正方体的棱长为 2,则 EM=AD=2,BE= 于是在 Rt△BEM 中, 即直线 BE 与平面 ABB1A1 所成的角的正弦值为 . (Ⅱ)在棱 C1D1 上存在点 F,使 B1F 平面 A1BE, 事实上,如图(b)所示,分别取 C1D1 和 CD 的中点 F,G,连接 EG,BG,CD1,FG, 因 A1D1∥B1C1∥BC,且 A1D1=BC,所以四边形 A1BCD1 为平行四边形, 因此 D1C∥A1B,又 E,G 分别为 D1D,CD 的中点,所以 EG∥D1C,从而 EG∥A1B,这说明 A1,B,G,E 共面,所以 BG?平面 A1BE ,

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F, G 分别为 C1D1 和 CD 的中点, 因四边形 C1CDD1 与 B1BCC1 皆为正方形, 所以 FG∥C1C∥B1B, 且 FG=C1C=B1B , 因此四边形 B1BGF 为平行四边形,所以 B1F∥BG,而 B1F?平面 A1BE,BG?平面 A1BE,故 B1F∥平面 A1BE .

【点评】本题考查直线与平面所成的角,直线与平面平行,考查考生探究能力、空间想象能力.   24.【答案】 【解析】解:(1)∵函数 增函数, ∴g′(x)=﹣ + ≥0 在,mx﹣ ≤0,﹣2lnx﹣ <0, 上为

∴在上不存在一个 x0,使得 f(x0)>g(x0)成立. ②当 m>0 时,F′(x)=m+ ∵x∈,∴2e﹣2x≥0,mx2+m>0, ∴F′(x)>0 在恒成立. 故 F(x)在上单调递增, F(x) max=F(e)=me﹣ 只要 me﹣ ﹣4, . ,+∞) ﹣ = ,

﹣4>0,解得 m>

故 m 的取值范围是(

【点评】本题考查利用导数求闭区间上函数的最值,考查运算求解能力,推理论证能力 ; 考查化归与转化思想 . 对数学思维的要求比较高,有一定的探索性.综合性强,难度大,是高考的重点.解题时要认真审题,仔细 解答.  

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