fccjxxw.com
非常超级学习网 学习超级帮手
当前位置:首页 >> 数学 >>

上海市静安区2013届高三上学期期末教学质量调研数学理试题


静安区 2012 学年高三年级第一学期期末教学质量检测 数学试卷(理科)
(试卷满分 150 分 考试时间 120 分钟)
一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直 接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.已知函数 f ( x ) ?
1 2 sin( 2 ax ? 2? 7 1 16 ) 的最小正周期为 4 ? ,则正实数 a =

. . .

2.等比数列 ?a n ? ( n ? N * )中,若 a 2 ?

,a5 ?

1 2

,则 a 12 ?

3. (理)两条直线 l 1 : 3 x ? 4 y ? 9 ? 0 和 l 2 : 5 x ? 12 y ? 3 ? 0 的夹角大小为
x
2

4. (理)设圆过双曲线

?

y

2

? 1 的一个顶点和一个焦点,圆心在此双曲线上,则圆心到

9

16

双曲线中心的距离是 . 5. (理)某旅游团要从 8 个风景点中选两个风景点作为当天上午的游览地,在甲和乙两个风 景点中至少需选一个,不考虑游览顺序,共有 种游览选择.

6. (理)求和: C n ? 2 C n ? 3 C n ? ? ? nC n =
1 2 3 n

.( n ? N * )

7. (理) 设数列 ?a n ? 满足当 a n ? n ( n ? N * ) 成立时, 总可以推出 a n ? 1 ? ( n ? 1) 成立. 下
2 2

列四个命题: (1)若 a 3 ? 9 ,则 a 4 ? 16 . (2)若 a 3 ? 10 ,则 a 5 ? 25 .
开始

(3)若 a 5 ? 25 ,则 a 4 ? 16 . (4)若 a n ? ( n ? 1) ,则 a n ? 1 ? n .
2 2

n←0,a←1/9, s←0 s←s+a a←3*a n←n+1 N s>100 Y 输出 s 结束

其中正确的命题是

.(填写你认为正确的所有命题序号)

8. (理)已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 4 sin ? .若以极点为原点,极 轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程为
? x ? 2 ? t, ( t 为参数) 则此直线 l 被曲线 C 截得的线段长度 , ? y ? 3 ?t ? 2 ?

为 . 9. (理)请写出如图的算法流程图输出的 S 值

.

理第 9 题

第 1 页 共 8 页

10

. (









?



?













N A O B S
南 理第 11 题

1 ? sin ? ? cos ? sin ?

?

1 ? sin ? ? cos ? sin ?

? 2 , tan ? tan ? = 则

.

11. (理)机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走”.如图所 示, “海宝”从圆心 O 出发,先沿北偏西 arcsin
A

12 13

方向行走 13 米至点

C

处,再沿正南方向行走 14 米至点 B 处,最后沿正东方向行走至点 C 处, B 、C 都在圆 O 上. 点 则在以圆心 O 为坐标原点, 正东方向为 x 轴 正方向,正北方向为 y 轴正方向的直角坐标系中圆 O 的方程 为 .

12. (理)过定点 F ( 4 , 0 ) 作直线 l 交 y 轴于 Q 点,过 Q 点作 Q T ? F Q 交 x 轴于 T 点,延长

TQ 至 P 点,使 Q P

? T Q ,则 P 点的轨迹方程是

.

13. (理)已知直线 (1 ? a ) x ? ( a ? 1) y ? 4 ( a ? 1) ? 0 (其中 a 为实数)过定点 P ,点 Q 在 函数 y ? x ?
1 x

的图像上,则 PQ 连线的斜率的取值范围是

.

14. (理)在复平面内,设点 A、P 所对应的复数分别为 ? i 、cos( 2 t ? 为虚数单位) 则当 t 由 ,
?
12

?
3

) ? i sin( 2 t ?

?
3

)(i

连续变到

?
4

时, 向量 A P 所扫过的图形区域的面积是

??? ?

.

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在 答题纸的相应编号上,填上正确的答案,选对得 5 分,否则一律得零分. 15. (理)若复数 z 1 z 2 ? 0 ,则 z 1 z 2 ? z 1 z 2 是 z 2 ? z 1 成立的( (A) 充要条件 条件 (B) 既不充分又不必要条件 (C) 充分不必要条件 ) (D) 必要不充分

16. (理) 等差数列 { a n } 中, 已知 3 a 5 ? 7 a 10 , a 1 ? 0 , 且 则数列 { a n } 前 n 项和 S n( n ? N * ) 中最小的是( (A) S 7 或 S 8
x
2

) (B) S 12
? 6 x ? 12 x? 2

(C) S 13

(D) S 14

17. (理)函数 f ( x ) ?

( x ? [ 3 , 5 ]) 的值域为(


7

(A) [ 2 , 3 ]

(B) [ 2 , 5 ]

(C) [ , 3 ]
3

7

(D) [ , 4 ]
3

18 . 理 ) 已 知 O 是 △ ABC 外 接 圆 的 圆 心 , A 、 B 、 C 为 △ ABC 的 内 角 , 若 (
第 2 页 共 8 页

cos B sin C

AB ?

cos C sin B

AC ? 2 m ? AO ,则 m 的值为 (

) (D) tan A

(A) 1

(B) sin A

(C) cos A

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规 定区域内写出必要的步骤 . 19. (理) (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 5 分. 某仓库为了保持库内的湿度和温度,四周墙上均装有如图所 M 示的自动通风设施.该设施的下部 ABCD 是矩形,其中 AB=2 米, D BC=1 米; 上部 CDG 是等边三角形, 固定点 E 为 AB 的中点. △EMN 是由电脑控制其形状变化的三角通风窗 (阴影部分均不通风) MN , 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和 AB 平行的伸缩横杆. (1)设 MN 与 AB 之间的距离为 x 米,试将△EMN 的面积 S (平方米)表示成关于 x 的函数; (2)求△EMN 的面积 S(平方米)的最大值.
A N C G

E (理 19 题)

B

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分. (理)已知 a,b,c 分别为△ ABC 三个内角 A 、 B 、 C 所对的边长,a,b,c 成等比 数列. (1)求 B 的取值范围; (2)若 x = B,关于 x 的不等式 cos2x?4sin( 的取值范围.
?
4 ? x 2

)sin(

?
4

?

x 2

)+m>0 恒成立,求实数 m

21. (理) (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 已知数列 { a n } 的各项均为非零实数,且对于任意的正整数 n ,都有
(a1 ? a 2 ? ? ? a n )
2

? a1 ? a 2 ? ? ? a n .

3

3

3

(1)当 n ? 3 时,求所有满足条件的三项组成的数列 a 1 、 a 2 、 a 3 ; (2)试求出数列 { a n } 的任一项 a n 与它的前一项 a n ? 1 间的递推关系.是否存在满足条件 的无穷数列 { a n } , 使得 a 2013 ? ? 2012 ?若存在, 求出这样的无穷数列 { a n } 的一个通项公式; 若不存在,说明理由.
第 3 页 共 8 页

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小题满分 7 分. 已知椭圆
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 的两个焦点为 F1 ( ? c , 0 ) 、 F 2 ( c , 0 ) , c 是 a 与 b 的等差中项,
2
2

2

其中 a 、 b 、 c 都是正数,过点 A ( 0 , ? b ) 和 B ( a , 0 ) 的直线与原点的距离为 (1)求椭圆的方程;

3 2



(2) (理)点 P 是椭圆上一动点,定点 A1 ( 0 , 2 ) ,求△ F1 PA 1 面积的最大值; (3)已知定点 E ( ? 1, 0 ) ,直线 y ? kx ? t 与椭圆交于 C 、 D 相异两点.证明:对任意的
t ? 0 ,都存在实数 k ,使得以线段 CD 为直径的圆过 E 点.

23. (理) (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分, 第 3 小题满分 8 分. 函数 y ? f ( x ) ,x ? D , 其中 D ? ?. 若对任意 x ? D , f ( x ) ? f ( x ) , 则称 y ? f ( x ) 在 D 内为对等函数. (1)指出函数 y ?
x , y ? x , y ? 2 在其定义域内哪些为对等函数;
3

x

(2) 试研究对数函数 y ? log

a

x( a ? 0 且 a ? 1 ) 在其定义域内是否是对等函数?若是, x 在所给集合内成为对

请说明理由;若不是,试给出其定义域的一个非空子集,使 y ? log 等函数;

a

(3)若 ?0 ? ? D , y ? f ( x ) 在 D 内为对等函数,试研究 y ? f ( x ) ( x ? D )的奇偶性.

第 4 页 共 8 页

高三年级
说明

理科数学试卷答案及评分标准

1.本解答列出试题的一种解法,如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准 的精神进行评分. 2.评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅, 当考生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分,但该步以后的解答未改变这一题的内容 和难度时,可视影响程度决定后面部分的给分,这时原则上不应超过后面部分应给分数之半, 如果有较严重的概念性错误,就不给分. 3.第 19 题至第 23 题中右端所注的分数,表示考生正确做到这一步应得的该题的累加分 数. 4.给分或扣分均以 1 分为单位.

答案及评分标准
1.a ?
n?2
n ?1

1 4



2. 64;

3. (理)arccos

33 65

4. (理)

5. (理) 13; 6. (理)

7. (理) (3) (2) (4) 理)1;

8. (理)4
2 2

9. (理)

1093 9

10. (文
G
2

11. (理) x ? y ? 225 14. (理)
?
6

12. (理) y

? 16 x ;

13. (理) [ ? 3 , ?? ) ;


D M A E C N B

15. (文理)D; 16. (理)C; 17. (文理)A ;18. (文理)B 19(理)解: (1) ①如图 1 所示,当 MN 在矩形区域滑动, 即 0<x≤1 时, △ EMN 的面积 S= ? 2 ? x = x ; ················1 分 ················
2 1

图1

②如图 2 所示,当 MN 在三角形区域滑动, 即 1<x< 1 ?
3

G

时,
M D H F N C

如图,连接 EG,交 CD 于点 F,交 MN 于点 H, ∵ E 为 AB 中点, ∴ F 为 CD 中点,GF⊥CD,且 FG= 3 . 又∵ MN∥CD, ∴ △ MNG∽△ DCG. ∴
MN DC ? GH GF

A
2[ 3 ? 1 ? x ] 3

E

B

图2
?

,即 M N

. ·············· 分 ·············4

故△ EMN 的面积 S= 1 ?
2

2[ 3 ? 1 ? x ] 3

?x

=?

3 3

x

2

? (1 ?

3 3

)x

; ··························6 分 ··························

第 5 页 共 8 页

综合可得:
? x, ? 0 < x ≤ 1 ? ? S ? ? 3 2 ? 3? x ? ?1 ? ? x. 1 < x<1 ? ?? ? 3 3 ? ? ? ?

?

3

?

·································· 分 ································· 7

(2)①当 MN 在矩形区域滑动时, S ②当 MN 在三角形区域滑动时,S= ?

? x

,所以有 0
2

······················ 8 ? S ? 1 ; ·······················
)x



3 3

x

? (1 ?

3 3

.
1 ? 3 3 (平方米).

因而,当 x ? ∵
1 2 ? 3 3

1? 2

3

(米)时,S 得到最大值,最大值 S= 2

? 1,
? 3 3

∴ S 有最大值,最大值为 1
2

平方米.

······································ 12 分 ······································

20(理)解: (1)∵a、b、c 成等比数列,∴b2=ac ································1 分 ································ 则 cosB=
a
2

?c

2

?b

2

2 ac

=

a

2

?c

2

? ac

2 ac
2

··············································· 分 ·············································· 3 ≥
ac 2 ac ? 1 2

而 a2+c2≥2ac∴cosB= 得到 0 ? B ?
?
3

a

?c

2

? ac

2 ac

,等号当且仅当 a=c 时取得,即

1 2

≤cosB<1,

. ···························································· 7 分 ····························································
π 4 ? x 2

(2)cos2x?4sin(

)sin(
1 2

π 4

? 3 2

x 2

)=cos2x?4sin(

π 4

?

x 2

)cos(

π 4

?

x 2

)

=2cosx2?2cosx?1=2(cosx? ∵x=B ∴
1 2

)2?

···············································11 分 ···············································

≤cosx<1
1 2

∴2(cosx?

)2?
3 2

3 2

≥?

3 2 3 2

则由题意有:?m<?

即 m>

··············································· 分 ·············································· 14
2

(说明:这样分离变量 m ? 2 cos x ? cos 2 x ? ? 2 cos

x ? 2 cos x ? 1 参照评分)

2 3 21(理)解: (1)当 n ? 1 时, a 1 ? a 1 ,由 a 1 ? 0 得 a 1 ? 1 . ···················· 1 分 ····················

当 n ? 2 时 , (1 ? a 2 ) ? 1 ? a 2 , 由 a 2 ? 0 得 a 2 ? 2 或 a 2 ? ? 1 . 当 n ? 3 时 ,
2

3

(1 ? a 2 ? a 3 )

2

? 1 ? a 2 ? a 3 ,若 a 2 ? 2 得 a 3 ? 3 或 a 3 ? ? 2 ;若 a 2 ? ? 1 得 a 3 ? 1 ; 5 分

3

3

综上讨论,满足条件的数列有三个: 1,2,3 或 1,2,?2 或 1,?1,1. ············································ 分 ··········································· 6 (2)令 S n ? a 1 ? a 2 ? ? ? a n ,则 S n ? a 1 ? a 2 ? ? ? a n ( n ? N * ) . 从而 ( S n ? a n ? 1 ) ? a 1 ? a 2 ? ? ? a n ? a n ? 1 . ································ 分 ·······························7
2 3 3 3 3
2 3 3 3

两式相减,结合 a n ? 1 ? 0 ,得 2 S n ? a n ? 1 ? a n ? 1 . ······························· 分 ······························ 8
第 6 页 共 8 页

2

当 n ? 1 时, (1) a 1 ? 1 ; n ? 2 时,2 a n ? 2 ( S n ? S n ? 1 ) = ( a n ? 1 ? a n ? 1 ) ? ( a n ? a n ) , 由 知 当 即 ( a n ? 1 ? a n )( a n ? 1 ? a n ? 1) ? 0 ,所以 a n ?1 ? ? a n 或 a n ? 1 ? a n ? 1 . ···············12 分 ··············· 又 a 1 ? 1 , a 2013 ? ? 2012 ,所以无穷数列 ?a n ? 的前 2012 项组成首项和公差均为 1 的等差 数列,从第 2013 项开始组成首项为?2012,公比为?1 的等比数列.故
(1 ? n ? 2012 ) ?n an ? ? . ··········································· 分 ·········································· 14 n ( n ? 2012 ) ? 2012 ? ( ? 1 )

2

2

(说明:本题用余弦定理,或者正弦定理余弦定理共同使用也可解得,请参照评分) 22.解: (1)在椭圆中,由已知得 c ? a ? b ?
2 2 2

a

2

?b 2

2

························· 分 ························ 1

过点 A ( 0 , ? b ) 和 B ( a , 0 ) 的直线方程为
3 2

x a

?

y ?b

? 1 ,即 bx ? ay ? ab ? 0 ,该直线与原点的

距离为

,由点到直线的距离公式得:
a

ab
2

?
2

3 2

?b

························· 3 分 ·························

解得: a ? 3 , b ? 1 ;所以椭圆方程为
2 2

x

2

?

y

2

? 1 ······························ 分 ····························· 4

3

1

(2) (理) F1 ( ? 2 , 0 ) ,直线 F 1 A 1 的方程为 y ?

2 x ? 2 , F1 A1 ?

6 ,当椭圆上的点 P

到直线 F 1 A 1 距离最大时,△ F1 PA 1 面积取得最大值 ································ 分 ·······························6 设与直 线 F 1 A 1 平行的直线方程为 y ?
7 3
2

2 x ? d ,将 其代入椭圆方程
28 3 28 3

x

2

?

y

2

? 1 得:

3
2

1

x

? 2d

2x ? d

2

? 1 ? 0 , ? 0 , 8d ? 即

?

d

2

?

? 0, 解得 d

2

? 7, d ? ? 当

7

时 , 椭 圆 上 的 点 P 到 直 线 F1 A1 距 离 最 大 为
2? 3 2 ? 2

2? 3

7

, 此 时 △ F1 PA 1 面 积 为

1 2

6

7

?

2

14

··················································· 9 分 ···················································

23(理)解: (1) y ?

x , y ? x 是对等函数; ································· 分 ································4
3

(2) 研究对数函数 y ? log

a

x, 其定义域为 ( 0 , ?? ) , 所以 log

a

x ? log

a

x, o l 又g

a

x ? 0,

所以当且仅当 log a x ? 0 时 f ( x ) ? f ( x ) 成立.所以对数函数 y ? log

a

x 在其定义域

( 0 , ?? ) 内不是对等函数. ····················································· 6 分 ·····················································

第 7 页 共 8 页

当 0 ? a ? 1 时,若 x ? ( 0 ,1] ,则 log 当 a ? 1 时,若 x ? [1, ?? ) ,则 log

a

x ? 0 ,此时 y ? log

a

x 是对等函数;

a

x ? 0 ,此时 y ? log

a

x 是对等函数; x 是对等函数;当 a ? 1 时,

总之,当 0 ? a ? 1 时,在 ( 0 ,1 ] 及其任意非空子集内 y ? log 在 [1, ?? ) 及其任意非空子集内 y ? log

a

a

x 是对等函数. ··························· 分 ·························· 10

(3)对任意 x ? D ,讨论 f ( x ) 与 f ( ? x ) 的关系. 1)若 D 不关于原点对称,如 y ? ······ 11 x 虽是对等函数,但不是奇函数或偶函数; ······· 分

2)若 D ? ?0 ? ,则 f ( 0 ) ? f ( 0 ) ? 0 .当 f ( 0 ) ? 0 时, f ( x ) 既是奇函数又是偶函数;当
f ( 0 ) ? 0 时, f ( x ) 是偶函数. ··············································· 13 分 ···············································

3)以下均在 D 关于原点对称的假设下讨论. 当 x ? 0 时, f ( x ) ? f ( x ) ? f ( x ) ? 0 ; 当 x ? 0 时,f ( x ) ? f ( ? x ) ? f ( x ) , f ( x ) ? f ( x ) , 若 则有 f ( ? x ) ? f ( x ) ; 此时, x ? 0 当 时, ? x ? 0 ,令 ? x ? t ,则 x ? ? t ,且 t ? 0 ,由前面讨论知, f ( ? t ) ? f ( t ) ,从而
f ( x) ? f (? x) ;

综上讨论,当 x ? 0 时,若 f ( x ) ? 0 ,则 f ( x ) 是偶函数. ························ 15 分 ························
? 若当 x ? 0 时,f ( x ) ? 0 , f ( x ) ? f ( ? x ) ? f ( x ) ? ? f ( x ) ; 则 此时, x ? 0 时, x ? 0 , 当

令 ? x ? t ,则 x ? ? t ,且 t ? 0 ,由前面讨论知, f ( ? t ) ? ? f ( t ) ,从而 f ( x ) ? ? f ( ? x ) ; 若 f ( 0 ) ? 0 ,则对任意 x ? D ,都有 f ( ? x ) ? ? f ( x ) . 综上讨论, 若当 x ? 0 时,f ( x ) ? 0 , f ( 0 ) ? 0 , f ( x ) 是奇函数. f ( 0 ) ? 0 , f ( x ) 且 则 若 则 不是奇函数也不是偶函数. ··················································· 18 分 ···················································

第 8 页 共 8 页


更多相关文章:

非常超级学习网 fccjxxw.com

copyright ©right 2010-2021。
非常超级学习网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图