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【数学】2.1.2 指数函数及其性质 课件1(人教A版必修1)


第二章 基本初等函数(Ⅰ) 2.1.2 指数函数及其性质

导入新课
问题1 某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4 个,…,一个这样的细胞分裂x次以后,得到的细胞个数y与x 有怎样的关系?
1
2
3

第1次: 2个 第2次:4个 第3次:8个

2
2
2

………… ……

第x次:

y?2

x

导入新课
问题2 一种放射性物质不断衰减为其它物质,每经 过一年剩留量约为原来的84%,则这种物质经过x年后的 剩留量是多少?
分析:

设该物质经过x年后的剩留量为y 若设该物质原有量为1 则经过一年剩留量为: y ? 1? 0.84% 2 经过二年剩留量为: y ? 1? 0.84% ? 0.84% ? 0.84 经过三年剩留量为: y ? 1? 0.84% ? 0.84% ? 0.84% ? 0.843 …… x 即经过x年后的剩留量是 y ? 0.84

问题探究

y?2

x
x

y ? 0.84

思考:(1)它们是否构成函数?
(2)这两个解析式有什么共同特征? 分析: 对于这两个关系式,每给自变量x的一个 值,y都有唯一确定的值和它对应。

两个解析式都具有 y ? a 的形式,其中自变量x是 指数,底数a是一个大于0且不等于1的变量。
x

指数函数的概念
定义:形如y ? a (a ? 0且a ? 1)的函数称为指数函数;
x

其中x是自变量,函数的定义域为R.
注意 :

(1)ax为一个整体,前面系数为1; (2)a>0,且 a≠1 ; (3)自变量x在幂指数的位置且为单个x;

? 思考:为什么概念中明确规定a>0,且a≠1?

为什么概念中明确规定a>0,且 a≠1
?当 x ? 0时, a x ? 0. ? (1)若a ? 0, ? x ?当 x ? 0时, a 无意义. ?

1 1 (2)若a < 0, 如y = (-2) , 这时对于x = , 在实数范围 2 4 内的函数值不存在.
x

(3) 若a=1时,函数值y=1,没有研究的必要.

练习
判断下列哪些函数是指数函数.

(1)y ? x , x ? R
2

(×) (× ) (× )

(2)y ? 2 ? 4 x , x ? R (3)y ? (?4) x ,x ? R
x

1 (4)y ? (2a ? 1) ( a ? , a ? 1), x ? R (√ ) 2 (5)y ? ? x , x ? R (√ ) (6)y ? 42 x , x ? R (√ )

指数函数的图像和性质
1、在方格纸上画出: y ? 2 x , y ? ? 1 ? , y ? 3 x , y ? ? 1 ? ? ? ? ?
?2? ? 3?
x x

的图像,并分析函数图象有哪些特点? 画函数图象的步骤: 列表 描点 连线

列表:

x
y?2
x
x

-2
1 4

-1
1 2

0 1 1 1 1

1 2
1 2

2 4
1 4

?1? y ?? ? ?2?

4
1 9
x

2
1 3

y ?3

x

3
1 3

9
1 9

?1? y?? ? ?3?

9

3

描点、连线
y

?1? y?? ? ?2?

x

?1? y?? ? ? 3?

x

y?3

x

y ? 2x

a越大,曲线约往 y轴靠近,且都过
定点(0,1)
1

关于y轴对称

0

1

x

y

y

y

?1? y?? ? ? 2?

x

?1? y?? ? ? 3?

x

y ? 3x

y ? 2x

y=ax (0<a<1) y=ax (a>1)
1 1 0 1 1

x

0

0 x

x

归纳

函数

y=ax (a>1)

y=ax (0<a<1)

图 指 数 象 函 定义域 数 R 性 (0,??) 没有最值 值 域 质 没有奇偶性 定 点 (0,1 ) 一 性 在R上是增函数 在R上是减函数 览 质 表 单调性 若x>0, 则y>1 若x>0, 则0<y<1 若x<0, 则0<y<1 若x<0, 则y>1

口诀
左右无限上冲天,
永与横轴不沾边.

大 1 增,小 1 减,
图象恒过(0,1)点.

学以致用
例、比较下列各组数的大小: ①

1.7 ,1.7
1 3 1 2

2.5

3

② ④

0.8 ,0.6
1.7 ,0.9
0.3

1.3

1.3

③ a ,a

(a ? 0, 且a ? 1)

3.1

解:③ 1.72.5、1.73可以看作函数y=1.7xy=a1.3 解:② 0.81.3 ,0.61.3可以看做是函数 的两个函数值 解:① 1 1 解:④ 在y ∵1.7>1 1? a x是Ra2=0.6下的函数值 a 3 ? a 2 当a ? 1时,a =0.8, 上的增函数, ? ∵1.70.3>1,而0.93.1<1 1 1 ∵ a1 在R上是增函数 ∴ y=1.7x<0 , a2<0

当0 ?1.7 ? 0.9 是.R上的减函数, ? a ∴函数 y=a1 3 为减函数 ?a 又∵2.5<3
x3.1

0.3 ? 1时,y

?a3 ? a2

∴ 又∵2.5x=1.3>0 1.7 , < 1.73

∴0.81.3>0.61.3

比较指数幂大小的方法:
①同底异指:构造函数法(一个), 利用函数的单调性, 若底数是参变量要注意分类讨论。 ②异底同指:构造函数法(多个),利用函数图象在y轴左 右两侧的特点。 ③异底异指:寻求中间量

课堂小结
函 数 图 2.指数函数的图像和性质 3.指数函数性质的简单应用 思想与方法: 数形结合,由具体到一般
函 数 性 质

y

1.指数函数的概念


a>1
2.当x=0时,y=1
3.在R上是增函数

(0,1) x 0 0<a<1

y=1 x

1.定义域为R,值域为(0,+?). 3.在R上是减函数

4.非奇非偶函数

在第一象限内,按逆时针方向旋 转,底数a越来越大


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