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广东省湛江市2013届高三普通高考测试(二)数学理试题 含答案


试卷类型:A

湛江市 2013 年普通高考测试题(二)

数学(理科)
本试卷共 4 页,共 21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 参考公式: 锥体的体积公式: V ? Sh ,其中 S 是底面面积,h 是高. 参考数据:
1 3

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一 项是符合题目要求的. 1.已知集合 A= {x|x〉1},B={X|X2

<4},则 A∩B = C. {x | x > 1} D. {x| 1 < x < 2}

A. {x | x < 2}
2. 复数

B. {x|-2<x<2}

2 的虚部是 1? i

A. 1

B

2

C.-1

D.- 2

3. 如果命题“ ?( p ? q) ”是真命题,则 A.命题 p、q 均为假命题 C.命题 p、q 中至少有一个是真命题 B.命题 p、q 均为真命题 D.命题 p、q 中至多有一个是真命题

4. 下列函数中既是奇函数,又在(0,+ ? )上单调递增的是

A. y = x2

B. y = x3

C. y = -x

D. y = tanx

5. 运行如图的程序框图,输出的结果是

1

A. 510

B. 1022

C. 254

D. 256

6.函数 f(x)= (x-1)cosx2 在区间[0,4]上的零点个数是

A. 4

B. 5

C. 6

D. 7

7. 设 F1,F2 是椭圆:

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点,若直线 x = wa ( m > 1 )上存在 a2 b2

一点尸,使 2PF1是 角 300的 腰 角 , m的 值 围 底 为 等 三 形 则 取 范 是 ΔF

A. 1 < M < 2 B. M > 2

C. 1 < M <

3 2

D. M >

3 2

8. 某几何体的一条棱长为 7 ,在该几何体的正视图中,这条棱的投影是长为 6 的 线段, 在该几何体的侧视图与俯视图中,这条棱的投影分别是长为 a 和 b 的线段,则 a + b 的最大 值为 A. 2 2 B. 2 3 C. 4 D. 2 5

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9?13 题) 9.曲线 y= x3-x + 3 在点(1,3)处的切线方程为_______ 10.已知函数 f ( x) ? ?

?2 x ( x ? 0) ?log3 x( x ? 0)

,那么 f [ f ( )] =_______

1 3

11.不等式|x2-3x+ 1|<1 的解集为______. 12.已知 {a n }的 前 n 项之和为 Sn,a1 _____________________________ =1, Sn = 2an+1,则 Sn =______ 13.四位学生,坐在一排有 7 个位置的座位上,有且只有两个空位是相邻的不同坐法有 ______种.(用数字作答)

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14.(坐标系与参数方程选做题)

2

在直角坐标系 x 吵中,曲线 C 的参数方程是 ?

? x ? 2 ? 2 cos? (? ? [0,2? ],? 为参数), ? y ? 2 sin ?

若以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴,则曲线 C 的极坐标方程是________.

15.( 几何证明选讲选做题) 如图,点 A、B、C 都在 O 上,过点 C 的切线 交 A B 的延 长线于点 D , 若 AB = 5, BC = 3,CD = 6,则线段 AC 的长为_______

三、解答题:本大题共 6 小题,共 8 0 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.( 本小题满分 12 分) 某市甲、乙两校高二级学生分别有 1100 人和 1000 人,为了解两校全体高二级学生期 末统考的数学成绩情况,采用分层抽样方法从这两所学校共抽取 105 名高二学生的数学 成 绩,并得到成绩频数分布表如下,规定考试成绩在[120,150]为优秀. 甲校:

乙校:

(1) (2)

求 中 与的 ; 表 x y 值 由以上统计数据完成下面 2x2 列联表,问是否有 99%的把握认为学生数学成绩优

秀 与所在学校有关? (3) 若以样本的频率作为概率,现从乙校总体中任取 3 人(每次抽取看作是独立重复

的),求优秀学生人数 ? 的分布列和数学期望.(注:概率值可 用分数表示)

3

17.( 本小题满分 12 分) 如图,已知平面上直线 l1//l2,A、B 分别是 l1、l2 上的动点,C 是 l1,l2 之间一 定点,C 到 l1 的距离 CM = 1 , C 到 l2 的距离 CN= 3 ,ΔABC 内角 A、B、C 所对 边分别为 a、b、

c,a > b ,且 b.cosB = a.cosA
(1) 判断三角形 ΔABC 的形状;

(2)记 ?ACM ? ? , f (? ) ?

1 1 ? ,求 f(θ)的 AC BC

最大值.

18.( 本小题满分 1 4 分) 如图,在长方体 ABCD 一 A1B1C1D1 中,AA1=2, AD = 3 , E 为 C D 中点,三棱 锥 A1- A B 1 E 的体积是 6 . (1) (2) 设 P 是棱 BB1 的中点,证明:CP//平面 AEB1; 求 AB 的长;

(3)求二面角 B—AB1-E 的余弦值.

4

19.( 本小题满分 1 4 分) 已知 a < 2 , f ( x) ? x ? a ln x ? (1) 求 f(x)的单调区间;
2

a ?1 1 , g ( x) ? x 2 ? e x ? xe x .(注:e 是自然对数的底) x 2

(2)若存在 x1∈ [e,e 取值范围.

],使得对任意的 x2∈ [—2,0],f(x1)<g(x2)恒成立,求实数 a



20.(本小题满分 14 分)

A(x C 异 已 抛 线 2=4x, F 是抛物线的焦点,设 1,y1) B(x2 ,y2)是 上 于 原点 O 的两个不重 知 物 C:y ,
合点,OA丄OB,且 AB 与 x 轴交于点 T (1) (2) (3) 求 x1x2 的值; 求 坐 ; T的 标 当 A在 运 时 动 R满 :FA ? FB ? FR , 点 轨 方 . 点 C上 动 , 点 足 求 R的 迹 程

21.( 本小题满分 1 4 分) 已知 x 轴上有一列点 P 1 , 2 P P 3 , …, n ,…, n ? 2 时, P n 是把线段 P n - 1 P n + 1 P 当 点 P P2P3, P 3P 4, … ,n P n + 1

作 n 等分的分点中最靠近 P n + 1 的点, 设线段 P 1 P 2 , 的长度分别
为 A1,A2,A3,…,AN,其中 a1=1.

(1)求 n关 n的 析 ; a 于 解 式 (2 )证明:a1 + a2 + a3 + … + an < 3 (3) 设点 P(n,AN) { n ? 3 ),在这些点中是否存在两个点同时在函数
5

y?

k (k ? 0) 的图象上?如果存在,求出点的坐标;如果不存在,说明理由. ( x ? 1) 2

6

7

8

9

10

11

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