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韶关市2010届高三第二次调研考试(理数)

韶关市 2010 届高三第二次调研考试 数学(理科)
本试卷分选择题和非选择题两部分,共 4 页,满分 150 分。考试用时 120 分钟 注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填在答题卡上。用 2B
铅笔将答题卡上试卷类型(A)涂黑。在答题卡右上角的“试室号”栏填写本科目试室号,在 “座位号列表”内填写座位号,并用 2B 铅笔将相应的信息点涂黑。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如果需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位 置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按 以上要求作答的答案无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,请将答题卡上交。

参考公式:正态变量概率密度曲线的函数表达式: f ( x) ?

1 ? ( x ? u) ?e x?R 2? 2 2? ?

u 、?

是参数,且 ? >0,一∞< u <+∞, u , ? 分别是正态变量的数学期望和标准差。

如果事件 A、B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件 A、B 相互独立,那么 P(A ? B)=P(A) ? P(B)

第一部分选择题(共 40 分) 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.全集 U=R. M ? {x | x 2 ? 4} N ? {x | | x |? 3} .则 CuM ? N A. {x | x ? 2} B. {x | ?3 ? x ? 2} C. {x12 ? x ? 3} D. {x | ?3 ? X ? ?2} {x | 2 ? X ? 3}

?

2.等比数列 ?an ?中, a1 ? a2 ? a3 ? 2 , a4 ? a5 ? a6 ? 4 ,则 a10 ? a11 ? a12 = A.32 B.16 C.12 D.8 3.若函数 f(x )=x3+x-2x-2 的一个正数零点附近的函数值的参考数据如下

那么方程 x ? x ? 2 x ? 2 ? 0 的一个近似根(精确到 0.1)为
3

A.1.2

B.1.3

C.1.4

D.1.5

4.若 0 ? a ? b ?

1 .则 2
B. log2 (ab) ? ?2

A. loga b ? ?2

1 C. ( ) a ? e ?b e

D. 2

ab

? 2b

5.下列说法中不正确的是

1

? A.线性回归方程 y ? bx ? a 必过点 ( x, y )
? B.设有一个回归方程 y ? 1? 2 x ,变量 x 增加一个单位时,变量 y 一定减少 2 个单位.
C.某市对 2010 届高三的一模考试的数学成绩进行了统计,得知服从正态分布,其密
? 1 度函数为 f ( x) ? e 10 2? ( x ?80 ) 2 200
?

( x ? R ) ,则该市数学在 110 分以上的人数与 50

分以下的人数相等. D.若由观测值计算得随机变量 K 2 ? X 与 Y 有关系的可能性越大. 6.某公司租地建仓库,已知仓库每月占用费 y1 与仓库到车站的距离成反比,而每月车存 货物的运费弛与仓库到车站的距离成正比,据测算,如果在距离车站 10 公理处建仓 库,这两项费用 y1 , y2 分别是 2 万和 8 万,那么要使 这两项费用之和最小,仓库应建在离车站 A.5 公理处 B.4 公理处 C.3 公理处 D.2 公理处 7.已知数列 ?an ?的各项全为正数,观察右边流程图,当 k=2 时, s ?

n(ad ? bc) 2 的值越大,说明分类变量 (a?b)(c?d )(a?c)(b?d )

1 4 ;当 k=5 时, s ? .当 k=4 时,输出 s 4 13

的值为(说明,赋值语句 M=N 也可以写成 M ? N,或

M :? N 1 A. 10
8.已知双曲线

B.

1 5

C.

3 10

D.

2 5

x2 ? 2 ? 1的左顶点为 A.右焦点 F,设 P 为 a 2 b2

第一象限中双曲线上的一点,若△PFA 是以 ? PFA 为直 角的等腰直角三角形,则双曲线的离心率为 A.

5 4

B.

5 2 4

C.2

D.3

第二部分非选择题(共 110 分) 二、填空题:每小题 5 分. ’共 30 分. 11.若 x ? 4i ? 3 ? yi ( x, y ? R ) ,则 | x ? yi | = 10.若一个几何体的三视图如图所示,则此几何体的体 积是 . 11.已知正方形 ABCD 的边长为 1, AB ? a , BC ? b, AC ? c ,则 a ? b ? c =
? ? ? ? ?

?

?

?



12. 已知 x ? R , f ( x ? 1) ? ? f ( x) , f ( x ? 2) ? ? f ( x ? 1) ? ?[? f ( x)] ? f ( x) , f (x) 且 则 得

2

的一个周期为 2, 类比上述推理方法求解: f ( x ? a) ? 若

f ( x) ? 1 (a 为正常数,x ? R ), f ( x) ? 1

则 f (x) 的一个周期为

?a ? b ? 8 ? 0 ? 13.已知关于 x 的一元二次函数以 f ( x) ? ax ? 4bx ? 1 . 其中实数 a、 满足 ?a ? 0 b , ?b ? 0 ?
2

则函数 y ? f (x) 在区间[1,+∞]上是增函数的概率是________.
选做题:在下面两道小题中选做一题,两题都选只计算前一题的得分

14.(参数方程与极坐标)在极坐标系中,曲线 ? ? 4 cos? 和

? ? sin ? =1 相交于点 A,B,则 | AB | =
15. (几何证明选讲)如图,圆 D 的弦 BC 过半径 OA 的中点 D, 且 BD=4,0D=2,则圆心 D 到弦 BC 的距离等于____. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本题满分 12 分) 在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A、B、C 所对的边,且满足 a ? c ? b ? ac .
2 2 2

(I)求角 B 的大小; (Ⅱ)如图, 某地夏天从 8-14 时用电量变化曲线近似满足函数 y ? P sin(?x ? ? ) ? b, ? ? 0 ,

? 3A ? ? (0, ) .求函数解析式以及 f ( ) 取值范围. 2 ?

17. (本题满分 12 分) 如图(1)在直角梯形 ABCP 中,BC//AP,AB ? BC,CD ? AP,AD=DC=PD=2,E, F,G 分别是 PC、PD、BC 的中点,现将△PDC 沿 CD 折起,使平面 PDC ? 平面 ABCD(如图 2) . (I)求证:平面 APB∥平面 EFG;

3

(Ⅱ)求二面角 G-EF-D 的大小.

18. (本题满分 14 分) 某高级中学有高一学生 1080 人、高二学生 1080 人、高三学生 540 人,现采用分层抽 样的方法从中抽取 10 名评选为 2010 学年度“校园十佳学生” . (I)试确定各个年级中“校园十佳学生”人数各为多少人: (Ⅱ)若从这 10 名“校园十佳学生”中任选 2 人,求这 2 人 来自同一年级的概率: (Ⅲ)若从这 10 名“校园十佳学生”中任选 2 人,设这 2 人 中高三学生的人数为 ? , 试求 ? 的分布列和期望值.

19.(本题满分 14 分) 如图,已知 A、B、C 是长轴长为 4 的椭圆上的三点,点 A 是椭圆的右顶点,BC 过椭 .. 圆中心 D.且 AC ? BC ? 0 , BC ? 2 AC (I)求椭圆的方程; (Ⅱ)设圆 T 的方程是: ( x ? m) 2 ? y 2 ?

1 ,是否存在实数 m. 4

使圆 T 与椭圆和线段 AB 都没有公共点,若存在,求 m 的 取值范围;若不存在,请说明理由.

4

20. (本题满分 14 分) x 已知 f ( x) ? ,对于 ?x ? (0,1) ,不等式 f ( x) ? ax2 恒成立 2 1? x (I)求实数 a 的取值范围:

s (Ⅱ)已知 A, C ? (0, ) , c B, 且o

?

2

2

A?c o s

2

B?c o s

2

o s o s o s C ? 1. ? ? c A ? c B ? c C , 设 2 2 2 s n i A s n i B s n i C

求 A 的取值范围.

21. (本题满分 14 分) 由原点 D 向已知的三次曲线 y ? x ? 3x ? bx 引切线, 切于不同于点 D 的点 P ( x1 , y1 ) , 1
3 2

再由 P1 引此曲线的切线,切于不同于 P1 的点 P2 ( x2 , y2 ) ,如此继续地作下去,??,得 到点列 ?P ( xn , yn )?,试解答下列问题: n (I)求 x1 的值; (Ⅱ)求数列 ?xn ? 的通项公式; (Ⅲ)若 bn ?

1 , Sn 为数列 ?bn ?的前 n 项和,求证: Sn <1 2 xn
n

5

参考答案
一、选择题答案 DBCBB ACC 二、填空题

三、解答题 16. (本题满分 12 分) 解:(1)? a 2 ? c 2 ? b2 ? ac ,? cos B ?
.

a 2 ? c2 ? b2 1 ? ????2 分 2ac 2

????4 分 3 (2)观察图像可知,从 8-14 时的图像是 y=Psin( ?x ? ? )+b 的半个周期的图像.

又0 ? B ?? ?B ?

?

1 1 ? ? (50 ? 30 ) ? 10 , b ? ? (50 ? 30 ) ? 40 ?????5 分, 2 2 T 1 2? ? ,? ? ? ???6 分 ? ? 14 ? 8 ? ? 2 2 ? 6 ? y ? 10 sin(

?
6

x ? ? ) ? 40

将 x=8,y=30 代人上式,解得 ? ?

?
6

????7 分

? ? ? 所求解析式为 y ? 10 sin( x ? ) ? 40. ????8 分
6 6

A ? ? 2? , ) ? 10 sin( ? ) ? 40 ,? B ? ,? 0 ? A ? 2 6 ? 3 3 ? A ? ? 可知 ? ? ? ???10 分 6 2 6 2 A ? 1 3A ? sin( ? ) ? ( ,1) ? f ( ) ? (45,50) .....12 分。 2 6 2 ?

f(

3A

17.(本题满分 12 分) 证明:(I)? E,G 分别是 PC,BC 中点,? PB//EG, 又 PB ? 平面 EFG,EG ? 平面 EFG,故 BP//平面 EFG, ??2 分 由 AD=DC=PD=2 取 AD 中点 H,联结 FH,GH,? E、F、G 分别是 PC、PD、BC 的中点. ? GH∥CD,EF//CD,? EF//GH. ? E、F、H、G 四点共面. 又? AP∥FH, FH ? 平面 EFHG,? AP∥平面 EFG ...4 分 而 AP ? BP=P 故平面 APB∥平面 EFG,???5 分 (Ⅱ)依题意,CD ? AD,CD ? PD,? CD ? 面 PAD.由(I)知 EF//CD,? EF ? 面 PAD, ? EF ? FD,EF ? FH. ? ? DFH 就是二面角 G-EF-D 的平面角 ????7 分 ? 面 PDC ? 面 ABCD.面 PDC ? 面 ABCD=CD.AD ? CD ? AD ? 面 PCD, PC ? 面 PCD.? AD ? PD, ???9 分

6

1 1 PD ? 1 , DH ? AD ? 1 2 2 ? ? DFH ? 45? .即二面角 G-EF-D 的大小为 45 ? ?12 分
在 Rt△HDF 中, DF ? 解法二:建立如图所示空间直角坐标系,设平面 GEF 的一个法向量为 n ? ( x, y, z) ?7 分

?? ? ? n? EF ? ? y ? 0 则? ????9 分 ? ? ? n? EG ? x ? y ? 0 ?
取 n ? (1,0,1) .又平面 EFD 的法向量为 m ? (1,0,0)

?cos ? m, n ??

m? n nn

? ?

?

? ? 2 ,? ? m, n ? ? 45o ? ? 2 ? ?

? 二面角 G-EF-D 的大小为 45 ? .??????12 分
18. (本题满分 14 分) (I) ? 1080: 1080: 540=2:2:1,

? 高二年级中“校园十佳学生”人数为 ? 10 ? 4 ?????2 分

2 5 2 高二年级中“校团十佳学生”人数为 ? 10 ? 4 ?????3 分 5 1 高三年级中“校园十佳学生”人数为 ? 10 ? 2 5

即高一、高二、高三各有“校园十佳”人数分别为 4 人、4 人、2 人.??4 分 (II)设从这 10 名“校园十佳学生”中任选这 2 人来自同一年级为事件 A,这 2 人来 自高一年级为事件 A1 ,这 2 人来自高二年级为事件 A2 ,这 2 人来自高三年级为 事件 A3 ,则 A1 , A2 , A3 两两互斥且 A = A1 + A2 + A3 ,?????6 分
2 2 C4 C4 2 6 6 1 13 ? 2 ? ? ? ? ? ? P( A) ? P( A1 ) ? P( A2 ) ? P( A3 ) ? 2 C10 C10 1 45 45 45 45

答:这两人来自同一年级的概率是

13 ?9 分 45

(Ⅲ)由题意得 ? 的可能取值为 0,l,2.且 ? 服从超几何分布.

C 2?k ? C P(? ? k ) ? 8 2 2 (k ? 0,1,2). C10
k

? 分布列为

??2 分

7

E? ? 0 ?

28 16 1 2 ? 1? ? 2 ? ? ???14 分 45 45 45 5

19.(本题满分 14 分) (I)设所求椭圆的方程为:

x2 y2 ? ? 1(0 ? b ? 2) ????2 分 4 b2 由椭圆的对称性知, | OC |?| OB |
由 AC ? BC ? 0 得,AC ? BC,
? ?

?| BC |? 2 | AC | ,?| OC |?| AC | ,? △AOC 是等腰直角三角形,

? C 的坐标为(1,1) ??4 分
? C 点在椭圆上,?
所求的椭圆方程为

12 1 4 ? ? 1 ,?b 2 ? 4 b2 3
x 2 3? 2 ? ? 1 ?????6 分 4 4

(Ⅱ)(1)当圆心在椭圆内时,即-2<m<2 时,

1 ? 2 2 ?( x ? m) ? y ? 4 13 由? 消去 y,整理得 2 x 2 ? 6mx ? 3m 2 ? ?0 ? 2 2 4 ? x ? 3? ? 1 ?4 4 ?
由 ? ? 36m 2 ? 8(3m 2 ?

13 78 78 ??8 分 ?m? ) ? 0 .解得 ? 6 6 4

78 78 ,圆 T 与椭圆没有公共点???9 分 ?m? 6 6 ? A(2,0),B(-1,-1)? A8 的方程为:x-3y-2=0 因为直线 AB 与圆 T 相离时,直线 AB 和线段 AB 与圆 T 的公共点个数相同, ??
所以此时转化为求直线与圆无公共点问题, 由圆心 (m, 到直线 AB 的距离 d ? O)

1 , 2



10 |m?2| 1 10 或m ? 2? ? ,? m ? 2 ? 2 ?11 分 2 2 10
要使圆 T 与椭圆和线段 AB 都没有公共点.

78 10 ????l2 分 ? m ? 2? 6 2 (2)当圆心在椭圆外,即 m>2 或 m<-2 时,若圆 T 过椭圆的左顶点或右顶点, 1 1 5 5 m ? 2 ? 或 ? 2 ? m ? .即 m ? 或m ? ? 2 2 2 2 5 5 ? 当 m ? ? 或 m ? 时,也满足圆 T 与椭圆和线段 AB 都没有公共点?13 分 2 2
m 必须满足: ? 综上,m 的取值范围为 (?? ,? ) ? (? 20. (本题满分 14 分)

5 2

10 5 78 , 2? ) ? ( ,??) ??l4 分 6 2 2

8

(1)解:对于 ?x ? (0,1) ,不等式 f (x) ≥ ax 恒成立,
2

只要

x ? ax 2 恒成立, 1? x2
1 x (1 ? x 2 )

只要 a ?

只要 a ? [

1 ]min ???2 分 x(1 ? x 2 )

设 g ( x)

1 , x ? (0,1) , x ? x3
? (1 ? 3x)(1 ? 3x) ???4 分 ( x ? x3 ) 2
3 3 , x2 ? ? (不合题意,舍去)?????5 分 ?0, 3 3

g ' ( x) ?

令 g ' ( x) ? =O,则 x1 ?

由于在(0,1)中只有一个极小值,故 g min ? g ( 故 a 的取值范围是 (??,

3 3 3 ??6 分 )? 2 3

3 3 ] ???8 分 2
2

(II)由(I)知,对于 ?x ? (0,1) ,不等式 f ( x) ? ax 恒成立时, a ? (??, 由 cosA, cosB, cosC ? (0,1) 故
??

3 3 ] 2

2 2 2 cos B cos c cos A cos B cos C cos A ? ? ? a (cos A ? cos B ? cos C) ? ? ? 2 2 2 2 2 2 sin A sin B sin C 1 ? cos A 1 ? cos B 1 ? cos C

? a ???10 分
令a ?

3 3 2

则 f ( x) ?

x 3 3 2 3 时;取等号.??????12 分 ? x .当且仅当 x ? 2 2 1? x 3
3 3 时, ? ? 3 等号成立.?13 分 2 3
9

当且仅当 cos A ? cos B ? cosC ?

故 ? 的取值范围是 [ 21. (本题满分 14 分)

3 3 ,?? ) 2

?14 分

解:(1)由 y ? x3 ? 3x 2 ? bx ①得 y' ? 3x 2 ? 6 x ? b ????1 分 过曲线①上点 P ( x1 , y1 ) 的切线 l1 的方程是: 1
3 2 y ? ( x1 ? 3x1 ? bx1 ) ? (3x1 ? 6x1 ? b)(x ? x1 ), ( x1 ? 0) ? ??2 分 ? 2

由它过原点,有

? x1 ? 3x1 ? bx1 ? ? x1 (3x1 ? 6x1 ? b)
3 2 2

3 2 ?2x1 ? 3x1 ( x1 ? 0) ?x1 ? ?3 分 ?

3 2

(2)过曲线①上点 Pn?1 ( xn?1 , yn?1 ) 的切线 ln ?1 ,的方程是:
2 3 2 y ? ( xn?1 ? 3xn?1 ? bxn?1 ) ? (3xn?1 ? 6xn?1 ? b)(x ? xn?1 )

由 ln ?1 过曲线①上点 P ( xn , yn ) , n
2 3 2 3 2 有 xn ? 3xn ? bxn ? ( xn?1 ? 3xn?1 ? bxn?1 ) ? (3xn?1 ? 6xn?1 ? b)(xn ? xn?1 )

? xn ? xn?1 ? 0 ,以 x n ? x n?1 除上式,得 ?
2 2 xn ? xn xn?1 ? xn?1 ? 3( xn ? xn?1 ) ? b ? 3xn?1 ? 6xn?1 ? b 2

2 xn ? xn xn?1 ? 2x2n?1 ? 3( xn ? xn?1 ) ? 0 .以 xn ? xn?1 除之,得 xn ? 2xn?1 -3 =0.

1 1 3 xn ? ,? xn ?1 ? 1 ? ? ( xn ? 1) ????7 分 2 2 2 1 1 故数列 ?xn ? 1?是以 x1 ? 1 ? 为首项,公比为 ? 的等比数列, 2 2 1 1 1 ? xn ? 1 ? (? ) n ?1 ,? xn ? 1 ? ( ? ) n ???.8 分 2 2 2
所以 xn ?1 ? ? (3)证明:

1 ? xn ? 1 ? ( ? ) n 2 当 n 为偶数时

?bn?1 ? bn ?

1 1 ? n = 2 xn ?1 2 xn
n ?1

1 1 2n?1 (1 ? (? ) n?1 ) 2

?

1 1 2n (1 ? (? ) n ) 2

?

2

n ?1

1 1 1 1 ? n ? n ?1 ? n n ?1 n ? (?1) 2 ? (?1) 2 ? 1 2 ?1

10

=

2 n ? 2 n ?1 2 n ? 2 n ?1 ? n ?1 n n n ?1 (2n ?1 ?1)(2n ?1) 2 2 ?2 ?2 ?1 2 n ? 2 n ?1 2 n ?12 n ? 2 n ?1 ? 1

?

? 当 n≥2 时. 2 n ?1 ? 2 ? 1.? 2n ?1 ? 1 ? 0
2 n ? 2 n ?1 1 1 ? bn ?1 ? bn ? n n ?1 ? n ?1 ? n ???11 分 22 2 2
sn ? b1 ? b2 ? ?? ? bn?1 ? bn ? (b1 ? b2 ) ? ?? ? (bn?1 ? bn )

1 1 ? (1 ? n ) 1 1 1 1 1 1 2 ? 1 ? 1 ? 1 ?12 分, ? ( ? 2 ) ? ( 3 ? 4 ) ? ?? ? ( n ?1 ? n ) = 2 1 2 2 2 2 2 2 2n 1? 2
当 n 为奇数时,因为 bn 所以有

1 ? 0 .n+l 为偶数 2 xn
n

Sn ? b1 ? b2 ? ?? ? bn?1 ? bn ? b1 ? b2 ? ?? ? bn?1 ? bn ? bn?1

? (b1 ? b2 ) ? ?? ? (bn ? bn?1 ) ?

1 1 ? (1 ? n ?1 ) 1 1 1 1 1 1 1 2 ? ( ? 2 ) ? ( 3 ? 4 ) ? ?? ? ( n ? n ?1 ) ? 2 ? 1 ? n ?1 ? 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1? 2

? Sn <1 .............................. 14 分

11


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