广东省深圳市2017届高三数学下学期第一次调研考试试题理

深圳市 2017 年高三年级第一次调研考试 数学(理科)
第Ⅰ卷 一 、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1.若集合 A ? ?2, 4,, 6,8? , B ? x | x 2 ? 9 x ? 18 ? 0 ，则 A ? B ? （ A．

?

?

）

?2, 4?

B． ?4, 6?

C． ?6,8?

D． ?2,8? ）

2.若复数 A． 2

a?i ? a ? R ? 为纯虚数，其中 i 为虚数单位，则 a ? （ 1 ? 2i
B． 3 C．-2 D．-3

3. 袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“2” ， “3” ， “4” ， “6”.现从中随机选取三 个球，则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是（ ）

2 3 a 4.等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ? a ? 3n ?1 ? b ，则 ? （ b
A． B． C． D． A．-3 B． -1 C. 1 D．3

1 4

1 2

1 3

）

2 2 5.直线 l : kx ? y ? 4 ? 0 ? k ? R ? 是圆 C : x ? y ? 4 x ? 4 y ? 6 ? 0 的一条对称轴，过点 A ? 0, k ? 作斜

率为 1 的直线 m ，则直线 m 被圆 C 所截得的弦长为 （ A．

）

2 2

B． 2

C.

6

D． 2 6

6.祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家， 他在实践的基础上提出了体积计算的原理： “幂 势既同，则积不容异”.意思是，如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个 几何体的体积相等.此即祖暅原理.利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体， 已知该几何体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行相距为 h ? 0 ? h ? 2 ? 的平面截该几 何体，则截面面积为 （ ）

1

A． 4? 7. 函数 f ? x ? ?

B． ? h 2

C. ? ? 2 ? h ?

2

D． ? ? 4 ? h ? ）

2

2x ? 1 ?cos x 的图象大致是 （ 2x ?1

8.已知 a ? b ? 0, c ? 0 ，下列不等关系中正确的是 （ A． ac ? bc B． a c ? b c

） D． ）

C. log a ? a ? c ? ? log b ? b ? c ?

a b ? a?c b?c

9. 执行如图所示的程序框图，若输入 p ? 2017 ，则输出 i 的值为（ A． 335 B．336 C. 337 D．338

2

x2 y 2 10.已知 F 是双曲线 E : 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的右焦点，过点 F 作 E 的一条渐近线的垂线，垂 a b
足为 P ，线段 PF 与 E 相交于点 Q ，记点 Q 到 E 的两条渐近线的距 离之积为 d 2 ，若 FP ? 2d ， 则该双曲线的离心率是（ A． 2 B．2 ） C. 3 D．4

11. 已知 棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 ，球 O 与该正方体的各个面相切，则平面 ACB1 截此 球所得的截面的面积为（ A． ） C.

8? 3

B．

5? 3

4? 3

D．

2? 3

12. 已知函数 f ? x ? ?

x2 , x ? 0, e 为自然对数的底数，关于 x 的方程 ex
）

f ? x? ?

2 f ? x?

? ? ? 0 有四

个相异实根，则实数 ? 的取值范围是（

3

A． ? 0,

? ?

2? ? e?

B． 2 2, ??

?

?

C. ? e ? 第Ⅱ卷

? ?

2 ? , ?? ? e ?

D． ?

? e2 4 ? ? 2 , ?? ? ?2 e ?

二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上 13.已知向量 p ? ?1, 2 ? , q ? ? x,3? ，若 p ? q ，则 p ? q ? 14. ? x ? ．

? ?

1? ? 的二项展开式中，含 x 的一次项的系数为 x?

5

． （用数字作答）

? x? y?4?0 ? 15.若实数 x, y 满足不等式组 ? 2 x ? 3 y ? 8 ? 0 ，目标函数 z ? kx ? y 的最大值为 12，最小值为 0， ? x ?1 ?
则实数 k ? ．

16.已知数列 ?an ? 满足 nan ? 2 ? ? n ? 2 ? an ? ? n 2 ? 2n ， 其中 a1 ? 1, a2 ? 2 ， 若 an ? an ?1 对 ?n ? N * 恒成立，则实数 ? 的取值范围为 ．

?

?

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. ?ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ，已知 2a ? 3c sin A ? a cos C ． （1）求 C ； （2）若 c ?

3 ，求 ?ABC 的面积 S 的最大值．

18. 如图，四边形 ABCD 为菱形，四边形 ACEF 为平行四边形，设 BD 与 AC 相交于点 G ，

AB ? BD ? 2, AE ? 3, ?EAD ? ?EAB ．

（1）证明：平面 ACEF ? 平面 ABCD ；
4

（2）若 AE 与平面 ABCD 所成角为 60°，求二面角 B ? EF ? D 的余弦值． 19. 某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯 式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档， 月用电量不超过 200 度的部分按 0.5 元/度收费，超过 200 度但不超过 400 度的部分按 0.8 元/度收 费，超过 400 度的部分按 1.0 元/度收费. （1）求某户居民用电费用 y （单位：元）关于月用电量 x （单位：度）的函数解析式； （2）为了了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年 1 月份 100 户居民每户的用电量，统计分析 后得到如图所示的频率分布直方图， 若这 100 户居民中， 今年 1 月份用电费用不超过 260 元的点 80%， 求 a, b 的值；

（3）在满足（2）的条件下，若以这 100 户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的概率， 且同组中的数据用该组区间的中点值代替，记 Y 为该居民用户 1 月份的用电费用，求 Y 的分布列和 数学期望． 20. 已成椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左右顶点分别为 A1、A2 ，上下顶点分别为 B2、B1 ，左右 a 2 b2
12 为菱形 A1 B1 A2 B2 的内切圆． 7

焦点分别为 F1、F2 ，其中长轴长为 4，且圆 O : x 2 ? y 2 ? （1）求椭圆 C 的方程；

（2）点 N ? n, 0 ? 为 x 轴正半轴上一点，过点 N 作椭圆 C 的切线 l ，记右焦点 F2 在 l 上的射影为 H ， 若 ?F1 HN 的面积不小于

3 2 n ，求 n 的取值范围． 16

21. 已知函数 f ? x ? ? x ln x, e 为自然对数的底数． （1）求曲线 y ? f ? x ? 在 x ? e ?2 处的切线方程； （2）关于 x 的不等 式 f ? x ? ? ? ? x ? 1? 在 ? 0, ?? ? 上恒成立，求实数 ? 的值；
5

（3）关于 x 的方程 f ? x ? ? a 有两个实根 x1 , x2 ，求证： x1 ? x2 ? 2a ? 1 ? e ．
?2

请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中 xOy 中， 已知曲线 E 经过点 P ? 1,

? 2 3? ? ? x ? a cos ? ， 其参数方程为 ? （ ? 为参数） ， ? ? 3 ? y ? 2 sin ? ? ? ? ?

以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线 E 的极坐标方程； （2）若直线 l 交 E 于点 A、B ，且 OA ? OB ，求证：

1 OA
2

?

1 OB
2

为定值，并求出这个定值．

23.选修 4-5：不等式选讲 已知 f ? x ? ? x ? a , g ? x ? ? x ? 3 ? x ，记关于 x 的不等式 f ? x ? ? g ? x ? 的解集为 M ． （1）若 a ? 3 ? M ，求实数 a 的取值范围； （2）若 ? ?1,1? ? M ，求实数 a 的取值范围．

理试卷答案 一、选择题 1-5: BCBAC 二、填空题 13. 5 2 三、解答题 17.解:（1）由已知及正弦定理可得 2sin A ? 3 sin C sin A ? sin A cos C ， 在 ?ABC 中， sin A ? 0 ， ∴ 2 ? 3 sin C ? cosC ， 14. -5 15. 3 16. 6-10: DCDCB 11、12：BC

?0, ?? ?

∴

3 1 sin C ? cos C ? 1 ， 2 2 ? ?

从而 sin ? C ?

??

? ? 1， 6?
6

∵0 ? C ?? ， ∴?

?
6

?C?

?
6

?

∴C ?

?

6 2 2? ∴C ? ； 3

?

?

5? ， 6

，

（2）解法：由（1）知 C ?

3 2? ，∴ sin C ? ， 2 3

∵S ?

3 1 ab ， 2ab sin C ，∴ S ? 4 2

∵ cos C ?

a 2 ? b2 ? c2 ， 2ab

∴ a 2 ? b 2 ? 3 ? ab ， ∵ a 2 ? b 2 ? 2ab ， ∴ ab ? 1 （当且仅当 a ? b ? 1 时等号成立） ， ∴S ?

3 3 ； ab ? 4 4
a b c ? ? ? 2， sinA sin B sin C

解法二：由正弦定理可知 ∵S ?

1 ab sin C ， 2

∴ S ? 3 sin A sin B ， ∴ S ? 3 sin A sin ?

?? ? ? A? ， ?3 ?

∴S ?

3 ?? 3 ? ， sin ? 2 A ? ? ? 2 6? 4 ?

∵0 ? A ? ∴

?
3

，

?
6

? 2A ?

?
6 ?

?

5? ， 6
，即 A ?

∴当 2 A ?

?
6

?
2

?
6

时， S 取最大值

3 . 4

7

18.解： （1）证明：连接 EG ， ∵四边形 ABCD 为菱形， ∵ AD ? AB, BD ? AC , DG ? GB ， 在 ?EAD 和 ?EAB 中，

AD ? AB, AE ? AE ， ?EAD ? ?EAB ，
∴ ?EAD ? ?EAB ， ∴ ED ? EB ， ∴ BD ? EG ， ∵ AC ? EG ? G ， ∴ BD ? 平面 ACFE ， ∵ BD ? 平面 ABCD ， ∴平面 ACFE ? 平面 ABCD ； （2）解法一：过 G 作 EF 垂线，垂足为 M ，连接 MB, MG , MD ， 易得 ?EAC 为 AE 与面 ABCD 所成的角， ∴ ?EAC ? 600 ， ∵ EF ? GM , EF ? BD ， ∴ EF ? 平面 BDM ， ∴ ?DMB 为二面角 B ? EF ? D 的平面角， 可求得 MG ?

3 13 ， , DM ? BM ? 2 2
5 ， 13

在 ?DMB 中由余弦定理可得： cos ?BMD ? ∴二面角 B ? EF ? D 的余弦值为

5 ； 13

8

解法二：如图，在平面 ABCD 内，过 G 作 AC 的垂线，交 EF 于 M 点， 由（1）可知，平面 ACFE ? 平面 ABCD ， ∴ MG ? 平面 ABCD ， ∴直线 GM , GA, GB 两两互相垂直， 分别 GA、GB、GM 为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系 G ? xyz ，

易得 ?EAC 为 AE 与平面 ABCD 所成的角，∴ ?EAC ? 600 ， 则 D ? 0, ?1, 0 ? , B ? 0,1, 0 ? , E ?

? 3 3? ? 3 3 3? ， ? 2 , 0, 2 ? ?, F ? ? ? 2 , 0, 2 ? ? ? ? ? ?

??? ? ??? ? ? 3 3 ? ???? ? 3 3 ? ， FE ? 2 3, 0, 0 , BE ? ? , ? 1, ? , DE ? ? ? 2 ? 2 ,1, 2 ? ? 2? ? ? ? ? ? 设平面 BEF 的一个法向量为 n ? ? x, y , z ? ，则

?

?

? ??? ??? ? ? n?FE ? 0 且 n?BE ? 0 ，
∴ x ? 0 ，且

3 3 x? y? z ?0 2 2

取 z ? 2 ，可得平面 BEF 的一个法向量为 n ? ? 0,3, 2 ? ， 同理可求得平面 DEF 的一个法向量为 m ? ? 0,3, ?2 ? ， ∴ cos n, m ?

?

??

5 ， 13 5 ． 13

∴二面角 B ? EF ? D 的余弦值为

19.解析： （1）当 0 ? x ? 200 时， y ? 0.5 x ； 当 200 ? x ? 400 时， y ? 0.5 ? 200 ? 0.8 ? ? x ? 200 ? ? 0.8 x ? 60 ，
9

当 x ? 400 时， y ? 0.5 ? 200 ? 0.8 ? 200 ? 1.0 ? ? x ? 400 ? ? x ? 140 ，

? 0.5 x, 0 ? x ? 200 ? 所以 y 与 x 之间的函数解析式为： y ? ?0.8 x ? 60, 200 ? x ? 400 ； ? x ? 140, x ? 400 ?
（2）由（1）可知：当 y ? 260 时， x ? 400 ，则 P ? x ? 400 ? ? 0.80 ， 结合频率分布直方图可知： ? ∴ a ? 0.0015, b ? 0.0020 ； （3）由题意可知 X 可取 50，150，250 ，350，450，550. 当 x ? 50 时， y ? 0.5 ? 50 ? 25 ，∴ P ? y ? 25 ? ? 0.1 ， 当 x ? 150 时， y ? 0.5 ? 150 ? 75 ，∴ P ? y ? 75 ? ? 0.2 ， 当 x ? 250 时， y ? 0.5 ? 200 ? 0.8 ? 50 ? 140 ，∴ P ? y ? 140 ? ? 0.3 ， 当 x ? 350 时， y ? 0.5 ? 200 ? 0.8 ? 150 ? 220 ，∴ P ? y ? 220 ? ? 0.2 ， 当 x ? 450 时， y ? 0.5 ? 200 ? 0.8 ? 200 ? 1.0 ? 50 ? 310 ，∴ P ? y ? 310 ? ? 0.15 ， 当 x ? 550 时， y ? 0.5 ? 200 ? 0.8 ? 200 ? 1.0 ? 150 ? 410 ，∴ P ? y ? 410 ? ? 0.05 ， 故 Y 的概率分布列为：

?0.1 ? 2 ?100b ? 0.3 ? 0.8 ， ? 100a ? 0.05 ? 0.2

Y

25 0.1

75 0.2

140 0.3

220 0.2

310 0.15

410 0.05

P

所以随机变量 X 的数学期望

EY ? 25 ? 0.1 ? 75 ? 0.2 ? 140 ? 0.3 ? 220 ? 0.2 ? 310 ? 0.15 ? 410 ? 0.05 ? 170.5 .
20.解： （1）由题意知 2a ? 4 ，所以 a ? 2 ， 所以 A1 ? ?2, 0 ? , A2 ? 2, 0 ? , B1 ? 0, ?b ? , B2 ? 0, b ? ，则 直线 A2 B2 的方程为 所以

x y ? ? 1 ，即 bx ? 2 y ? 2b ? 0 ， 2 b

?2b 4 ? b2

?

12 ，解得 b 2 ? 3 ， 7

10

故椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1； 4 3

（2）由题意，可设直线 l 的方程为 x ? my ? n, m ? 0 ， 联立 ?

? x ? my ? n 消去 x 得 ? 3m 2 ? 4 ? y 2 ? 6mny ? 3 ? n 2 ? 4 ? ? 0 ， （*） 2 2 ?3 x ? 4 y ? 12
2

由直线 l 与椭圆 C 相切，得 ? ? ? 6mn ? ? 4 ? 3 3m ? 4
2

?

?? n

2

? 4? ? 0 ，

化简得 3m 2 ? n 2 ? 4 ? 0 ， 设点 H ? mt ? n, t ? ，由（1）知 F1 ? ?1, 0 ? , F2 ?1, 0 ? ，则

m ? n ? 1? t ?0 1 ? ? ?1 ，解得 t ? ? ， 1 ? m2 ? mt ? n ? ? 1 m
所以 ?F1 HN 的面积 S ?F1HN
2 ?m ? n ? 1? 1 m ? n ? 1? 1 ? ? n ? 1? ? ， 2 1 ? m2 2 1 ? m2

代入 3m 2 ? n 2 ? 4 ? 0 消去 n 化简得 S ?F1HN ? 所以

3 m， 2

3 3 3 2 4 m ? n 2 ? ? 3m 2 ? 4 ? ，解得 ? m ? 2 ，即 ? m 2 ? 4 ， 2 16 16 3 9

从而

4 n2 ? 4 4 3 ? ? 4 ，又 n ? 0 ，所以 ? n ? 4， 9 3 3
?4 3 ? , 4? . ? 3 ?
1 x

故 n 的取值范围为 ?

21.解（1）对函数 f ? x ? 求导得 f ? ? x ? ? ln x ? x ? ? ln x ? 1 ， ∴ f ? e ?2 ? ln e ?2 ? 1 ? ?1 ， 又 f e ?2 ? e ?2 ln e ?2 ? ?2e ?2 ，
?2 ∴曲线 y ? f ? x ? 在 x ? e ?2 处的切线方程为 y ? ?2e ?2 ? ? x ? e ?2 ，即 y ? ? x ? e ；

? ?

? ?

?

?

?

?

（2）记 g ? x ? ? f ? x ? ? ? ? x ? 1? ? x ln x ? ? ? x ? 1? ，其中 x ? 0 ， 由题意知 g ? x ? ? 0 在 ? 0, ?? ? 上恒成立，下求函数 g ? x ? 的最小值， 对 g ? x ? 求导得 g ? ? x ? ? ln x ? 1 ? ? ，

11

令 g ? ? x ? ? 0 ，得 x ? e? ?1 ， 当 x 变化时， g ? ? x ? , g ? x ? 变化情况列表如下：

x
g? ? x?

? 0, e ?
? ?1

e? ?1
0 极小值

?e

? ?1

, ?? ?

-

+

g ? x?

?

?

∴ g ? x ?min ? g ? x ?极小 ? g e ? ?1 ? ? ? ? 1? e ? ?1 ? ? e ? ?1 ? 1 ? ? ? e ? ?1 ， ∴ ? ? e? ?1 ? 0 ， 记 G ?? ? ? ? ? e
? ?1

?

?

?

?

，则 G ? ? ? ? ? 1 ? e

? ?1

，

令 G ? ? ? ? ? 0 ，得 ? ? 1 ． 当 ? 变化时， G ? ? ? ? , G ? ? ? 变化情况列表如下：

?
G? ? ? ? G ?? ?

? 0,1?
+

1 0 极大值

?1, ?? ?
-

?

?

∴ G ? ? ?max ? G ? ? ?极大 ? G ?1? ? 0 ， 故 ? ? e? ?1 ? 0 当且仅当 ? ? 1 时取等号， 又 ? ? e? ?1 ? 0 ，从而得到 ? ? 1 ； （3）先证 f ? x ? ? ? x ? e ，
?2

记 h ? x ? ? f ? x ? ? ? x ? e ?2 ? x ln x ? x ? e ?2 ，则 h? ? x ? ? ln x ? 2 ， 令 h? ? x ? ? 0 ，得 x ? e ?2 ， 当 x 变化时， h? ? x ? , h ? x ? 变化情况列表如下：

?

?

x
h? ? x ?

? 0, e ?
?2

e ?2
0

?e

?2

, ?? ?
+

-

12

h ? x?

?

极小值

?

∴ h ? x ?min ? h ? x ?极小 ? h e ?2 ? e ?2 ln e ?2 ? e ?2 ? e ?2 ? 0 ，

? ?

h ? x ? ? 0 恒成立，即 f ? x ? ? ? x ? e ?2 ，
记直线 y ? ? x ? e ?2 , y ? x ? 1 分别与 y ? a 交于 x1? , a , x2? , a ， 不妨设 x1 ? x2 ，则 a ? ? x1? ? e
?2

? ??

?

? f ? x1 ? ? ? x1 ? e ?2 ，

从而 x1? ? x1 ，当且仅当 a ? ?2e ?2 时取等号， 由（2）知， f ? x ? ? x ? 1 ，则 a ? x2? ? 1 ? f ? x2 ? ? x2 ? 1 ， 从而 x2 ? x2? ，当且仅当 a ? 0 时取等号， 故 x1 ? x2 ? x2 ? x1 ? x2? ? x1? ? ? a ? 1? ? ? a ? e

?

?2

? ? 2a ? 1 ? e
?2

?2

，

因等号成立的条件不能同时满足，故 x1 ? x2 ? 2a ? 1 ? e ．

? 1 ? a cos ? ? 2 3? ? 22.解： （1）将点 P ? 1, 代入曲线 E 的方程： ? 2 3 ， ? ? 3 ? ? 2 sin ? ? ? ? ? 3
解得 a 2 ? 3 ， 所以曲线 E 的普通方程为

x2 y 2 ? ? 1， 3 2
1 2 ? sin ? ? ? 1 ， 2 ? ? ?

极坐标方程为 ? 2 ? cos 2 ? ?

?1 ?3

（2）不妨设点 A, B 的极坐标分别为 A ? ?1 , ? ? , B ? ? 2 , ? ?

??

? , ?1 ? 0, ? 2 ? 0 ， 2?

1 1 2 2 ? ? ?1 cos ? ? ? ? ?1 sin ? ? ? 1 ? 3 2 ? 则? ， 2 2 1 ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? cos ? ? ? ? ? ? ? 2 sin ? ? ? ? ? ? 1 ? 2 ? 2 ?? 2 ?? ? ? ? 2? ?3 ? 1 2 ?1 1 2 ? cos ? ? sin ? 2 ?? 2 ? 1 3 即? ， ? 1 ? 1 sin 2 ? ? 1 cos 2 ? 2 ? 2 ? ?2 3
13

∴

1

?

2 1

?

1

?

2 2

?

5 ， 6

即

1 OA
2

?

1 OB ?
2

?

5 ， 6
为定值

所以

1 OA
2

1 OB
2

5 ． 6

23.解： （1）依题意有： 2a ? 3 ? a ? ? a ? 3? ，

3 3 ，则 2a ? 3 ? 3 ，∴ ? a ? 3 ， 2 2 3 3 若 0 ? a ? ，则 3 ? 2a ? 3 ，∴ 0 ? a ? ， 2 2
若a ? 若 a ? 0 ，则 3 ? 2a ? ? a ? ? a ? 3? ，无解， 综上所述， a 的取值范围为 ? 0,3? ； （2）由题意可知，当 x ? ? ?1,1? 时， f ? x ? ? g ? x ? 恒成立， ∴ x ? a ? 3 恒成立， 即 ?3 ? x ? a ? 3 ? x ，当 x ? ? ?1,1? 时恒成立， ∴ ?2 ? a ? 2 ．

14