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汉中市一中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

汉中市一中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 在等差数列{an}中,a1=2,a3+a5=8,则 a7=( A.3 B.6 C.7 ) B. D. C. D.8 ,那么实数 )

座号_____

姓名__________

分数__________

2. 已知直线 x+y+a=0 与圆 x2+y2=1 交于不同的两点 A、B,O 是坐标原点,且 a 的取值范围是( A.

3. 设命题 p: A. C. 4. 以椭圆 + B. D.

,则

p 为(



=1 的顶点为焦点,焦点为顶点的双曲线 C,其左、右焦点分别是 F1,F2,已知点 M 坐标为 = ,则 ﹣S

(2,1),双曲线 C 上点 P(x0,y0)(x0>0,y0>0)满足 ( A.2 ) B.4 C.1 D.﹣1

5. 数列{an}满足 a1= , A. B. C. D.

=

﹣1(n∈N ),则 a10=(

*



6.已知 F1、 F2 是椭圆的两个焦点, 满足 A.(0,1) B.(0, ]

=0 的点 M 总在椭圆内部, 则椭圆离心率的取值范围是 ( C.(0, ) D.[ ,1)



7. 某个几何体的三视图如图所示,其中正(主)视图中的圆弧是半径为 2 的半圆,则该几何体的表面积为 ( )

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A. 92 ? 14? 运用,难度中等. 8. 已知函数

B. 82 ? 14?

C. 92 ? 24?

D. 82 ? 24?

【命题意图】本题考查三视图的还原以及特殊几何体的面积度量.重点考查空间想象能力及对基本面积公式的



,若

,则





A1 B2 C3 D-1
2 9. 设曲线 f ( x) ? x ? 1 在点 ( x, f ( x)) 处的切线的斜率为 g ( x) ,则函数 y ? g ( x) cos x 的部分图象

可以为(



A.

B.

C.

D.

10.《九章算术》之后,人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题,《张丘建算经》卷上第 22 题为: “今有女善织,日益功疾(注:从第 2 天开始,每天比前一天多织相同量的布),第一天织 5 尺布,现在一月 (按 30 天计),共织 390 尺布”,则从第 2 天起每天比前一天多织( A. B. C. D. )尺布.

11.设 a , b 为正实数,

1 1 ? ? 2 2 , (a ? b)2 ? 4(ab)3 ,则 loga b =( a b



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A. 0 12.

B. ?1

C. 1

D. ?1或 0

【命题意图】本题考查基本不等式与对数的运算性质等基础知识,意在考查代数变形能与运算求解能力.

某个几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积为 92+14π,则该几何体的体积为( A.80+20π B.40+20π C.60+10π D.80+10π



二、填空题
13.已知 | a |? 2 , | b |? 1 , ?2a 与 b 的夹角为

1 3

? ,则 | a ? 2b |? 3



14.“黑白配”游戏,是小朋友最普及的一种游戏,很多时候被当成决定优先权的一种方式.它需要参与游戏的 人(三人或三人以上)同时出示手势,以手心(白)、手背(黑)来决定胜负,当其中一个人出示的手势与其 它人都不一样时,则这个人胜出,其他情况,则不分胜负.现在甲乙丙三人一起玩“黑白配”游戏.设甲乙丙三 人每次都随机出“手心(白)、手背(黑)”中的某一个手势,则一次游戏中甲胜出的概率是 .

15.已知定义域为(0,+∞)的函数 f(x)满足:(1)对任意 x∈(0,+∞),恒有 f(2x)=2f(x)成立; (2)当 x∈(1,2]时,f(x)=2﹣x.给出如下结论: ①对任意 m∈Z,有 f(2m)=0;②函数 f(x)的值域为[0,+∞);③存在 n∈Z,使得 f(2n+1)=9;④“函
k k+1 数 f(x)在区间(a,b)上单调递减”的充要条件是“存在 k∈Z,使得(a,b)?(2 ,2 )”;其中所有正确

结论的序号是

. . . .

16.命题“?x∈R,x2﹣2x﹣1>0”的否定形式是

17.在△ABC 中,若 a=9,b=10,c=12,则△ABC 的形状是 18.直角坐标 P(﹣1,1)的极坐标为(ρ>0,0<θ<π)

三、解答题

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19.在平面直角坐标系 xOy 中,点 P(x,y)满足 (1)求点 P 的轨迹方程;

=3,其中 =(2x+3,y), =(2x﹣﹣3,3y). ,求直线 l 的方程.

(2)过点 F(0,1)的直线 l 交点 P 的轨迹于 A,B 两点,若|AB|=

20.(本小题满分 12 分)已知 f ( x) ? 2 x ? (Ⅰ)当 a ? 3 时,求 f ( x ) 的单调区间;

1 ? a ln x(a ? R) . x

(Ⅱ)设 g ( x) ? f ( x) ? x ? 2a ln x ,且 g ( x) 有两个极值点,其中 x1 ? [0,1] ,求 g ( x1 ) ? g ( x2 ) 的最小值. 【命题意图】本题考查导数的应用等基础知识,意在考查转化与化归思想和综合分析问题、解决问题的能力.

21.现有 5 名男生和 3 名女生. (1)若 3 名女生必须相邻排在一起,则这 8 人站成一排,共有多少种不同的排法? (2)若从中选 5 人,且要求女生只有 2 名,站成一排,共有多少种不同的排法?

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22.(本小题满分 12 分)△ABC 的三内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,AD 是 BC 边上的中线. 1 (1)求证:AD= 2b2+2c2-a2; 2 19 sin B 3 (2)若 A=120°,AD= , = ,求△ABC 的面积. 2 sin C 5

23.已知函数 f(x)=xlnx,求函数 f(x)的最小值.

24.设函数 f(x)=emx+x2﹣mx. (1)证明:f(x)在(﹣∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增; (2)若对于任意 x1,x2∈,都有|f(x1)﹣f(x2)|≤e﹣1,求 m 的取值范围.

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汉中市一中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】B 【解析】解:∵在等差数列{an}中 a1=2,a3+a5=8, ∴2a4=a3+a5=8,解得 a4=4, ∴公差 d= ∴a7=a1+6d=2+4=6 故选:B. 2. 【答案】A 【解析】解:设 AB 的中点为 C,则 因为 所以|OC|≥|AC|, 因为|OC|= 所以 2(
2 2 ,|AC| =1﹣|OC| , 2 ) ≥ 1,

= ,



所以 a≤﹣1 或 a≥1, 因为 <1,所以﹣ <a< , ,

所以实数 a 的取值范围是 故选:A.

【点评】本题考查直线与圆的位置关系,考查点到直线的距离公式,考查学生的计算能力,属于中档题. 3. 【答案】A 【解析】【知识点】全称量词与存在性量词 【试题解析】因为特称命题的否定是全称命题, 故答案为:A 4. 【答案】 A 【解析】解:∵椭圆方程为 + =1, p 为: 。

∴其顶点坐标为(3,0)、(﹣3,0),焦点坐标为(2,0)、(﹣2,0), ∴双曲线方程为 ,

设点 P(x,y),记 F1(﹣3,0),F2(3,0),

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∵ ∴

=



= , 整理得: 化简得:5x=12y﹣15, 又∵ ∴5 解得:y= 或 y= ∴P(3, ), ∴直线 PF1 方程为:5x﹣12y+15=0, ∴点 M 到直线 PF1 的距离 d= 易知点 M 到 x 轴、直线 PF2 的距离都为 1, 结合平面几何知识可知点 M(2,1)就是△F1PF2 的内心. 故 故选:A. ﹣ = = =2, =1, ,
2 ﹣4y =20,

=5,

(舍),

【点评】本题考查椭圆方程,双曲线方程,三角形面积计算公式,注意解题方法的积累,属于中档题. 5. 【答案】C

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【解析】解:∵ ∴ ∴数列 ∴ ∴an=1﹣ ∴a10= . ﹣

= =﹣1,

﹣1(n∈N ),

*

是等差数列,首项为 =﹣2﹣(n﹣1)=﹣n﹣1, = .

=﹣2,公差为﹣1.

故选:C. 【点评】本题考查了等差数列的通项公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题. 6. 【答案】C 【解析】解:设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为 a,b,c, ∵ =0, ∴M 点的轨迹是以原点 O 为圆心,半焦距 c 为半径的圆. 又 M 点总在椭圆内部,
2 2 2 2 ∴该圆内含于椭圆,即 c<b,c <b =a ﹣c . 2 ∴e =

< ,∴0<e<



故选:C. 【点评】本题考查椭圆的基本知识和基础内容,解题时要注意公式的选取,认真解答. 7. 【答案】 A

8. 【答案】A 【解析】g(1)=a﹣1, 若 f[g(1)]=1, 则 f(a﹣1)=1,

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即 5|a﹣1|=1,则|a﹣1|=0, 解得 a=1 9. 【答案】A 【解析】 试题分析: g ? x ? ? 2x, g ? x ? cos x ? 2x cos x, g ? ?x ? ? ?g ? x ? ,cos ? ?x ? ? cos x ,? y ? g ? x ? cos x 为奇函 数,排除 B,D,令 x ? 0.1 时 y ? 0 ,故选 A. 1 考点:1、函数的图象及性质;2、选择题“特殊值”法. 10.【答案】D 【解析】解:设从第 2 天起每天比前一天多织 d 尺布 m 则由题意知 解得 d= . ,

故选:D. 【点评】本题考查等差数列的公差的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等差数列的通项公式的求解. 11.【答案】B. 【解析】 (a ? b)2 ? 4(ab)3 ? (a ? b)2 ? 4ab ? 4(ab)3 ,故

1 1 a?b ? ?2 2? ?2 2 a b ab

1 1 (a ? b)2 4ab ? 4(ab)3 1 1 ? 2 ab ? ?2, ? 8 ? ? 4(ab ? ) ? 8 ? ab ? ? 2 ,而事实上 ab ? 2 2 ab ab (ab) (ab) ab ab ∴ ab ? 1 ,∴ log a b ? ?1,故选 B.

?

12.【答案】 【解析】解析:选 D.该几何体是在一个长方体的上面放置了半个圆柱. 1 依题意得(2r×2r+ πr2)×2+5×2r×2+5×2r+πr×5=92+14π, 2 即(8+π)r2+(30+5π)r-(92+14π)=0, 即(r-2)[(8+π)r+46+7π]=0, ∴r=2, 1 ∴该几何体的体积为(4×4+ π×22)×5=80+10π. 2

二、填空题
13.【答案】 2 【解析】解析:本题考查向量夹角与向量数量积的应用. a 与 b 的夹角为 ∴ | a ? 2b |?

2? , a ? b ? ?1 , 3

(a ? 2b) 2 ? | a |2 ?4a ? b ? 4 | b |2 ? 2 .

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14.【答案】



3 【解析】解:一次游戏中,甲、乙、丙出的方法种数都有 2 种,所以总共有 2 =8 种方案,

而甲胜出的情况有:“甲黑乙白丙白”,“甲白乙黑丙黑”,共 2 种, 所以甲胜出的概率为 故答案为 . 【点评】本题考查等可能事件的概率,关键是分清甲在游戏中胜出的情况数目. 15.【答案】 ①②④ . 【解析】解:∵x∈(1,2]时,f(x)=2﹣x. ∴f(2)=0.f(1)= f(2)=0. ∵f(2x)=2f(x),
k k ∴f(2 x)=2 f(x).

①f(2m)=f(2?2m﹣1)=2f(2m﹣1)=…=2m﹣1f(2)=0,故正确; ②设 x∈(2,4]时,则 x∈(1,2],∴f(x)=2f( )=4﹣x≥0. 若 x∈(4,8]时,则 x∈(2,4],∴f(x)=2f( )=8﹣x≥0. …
m m+1 一般地当 x∈(2 ,2 ), m+1



∈(1,2],f(x)=2

﹣x≥0,

从而 f(x)∈[0,+∞),故正确; ③由②知当 x∈(2m,2m+1),f(x)=2m+1﹣x≥0,
n n+1 n n n ∴f(2 +1)=2 ﹣2 ﹣1=2 ﹣1,假设存在 n 使 f(2 +1)=9, n n 即 2 ﹣1=9,∴2 =10,

∵n∈Z,
n ∴2 =10 不成立,故错误;

④由②知当 x∈(2k,2k+1)时,f(x)=2k+1﹣x 单调递减,为减函数, ∴若(a,b)?(2 ,2 故答案为:①②④. 16.【答案】 .
k k+1

)”,则“函数 f(x)在区间(a,b)上单调递减”,故正确.

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2 【解析】解:因为全称命题的否定是特称命题所以,命题“?x∈R,x ﹣2x﹣1>0”的否定形式是:

. 故答案为: 17.【答案】锐角三角形 【解析】解:∵c=12 是最大边,∴角 C 是最大角 根据余弦定理,得 cosC= ∵C∈(0,π ),∴角 C 是锐角, 由此可得 A、B 也是锐角,所以△ABC 是锐角三角形 故答案为:锐角三角形 【点评】本题给出三角形的三条边长,判断三角形的形状,着重考查了用余弦定理解三角形和知识,属于基础 题. 18.【答案】 【解析】解:ρ= ∴点 P 的极坐标为 故答案为: . . ,tanθ= =﹣1,且 0<θ<π,∴θ= . = >0 .

= .

三、解答题
19.【答案】 【解析】解:(1)由题意,
2 2 可化为 4x +3y =12,即:

=(2x+3)(2x﹣3)+3y2=3, ; ;

∴点 P 的轨迹方程为

(2)①当直线 l 的斜率不存在时,|AB|=4,不合要求,舍去; ②当直线 l 的斜率存在时,设方程为 y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),
2 2 代入椭圆方程可得:(4+3k )x +6kx﹣9=0,

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∴x1+x2= ∴|AB|= ∴k=± ,

,x1x2= ?|x1﹣x2|=

, = ,

∴直线 l 的方程 y=±

x+1.

【点评】本题考查了与直线有关的动点的轨迹方程,考查了直线与圆锥曲线的关系,考查了向量的坐标运算, 训练了利用数量积,属于中档题. 20.【答案】 【解析】(Ⅰ) f ( x) 的定义域 (0,??) ,

1 3 2 x 2 ? 3x ? 1 1 ? 3ln x , f ' ( x) ? 2 ? 2 ? ? x x x x2 1 1 ' ' 令 f ( x) ? 0 得, 0 ? x ? 或 x ? 1 ;令 f ( x) ? 0 得, ? x ? 1 , 2 2 1 故 f ( x ) 的递增区间是 (0, ) 和 (1, ??) ; 2 1 f ( x) 的递减区间是 ( ,1) . 2 1 (Ⅱ)由已知得 g ( x) ? x ? ? a ln x ,定义域为 (0,??) , x 2 1 a x ? ax ? 1 ,令 g ?( x) ? 0 得 x 2 ? ax ? 1 ? 0 ,其两根为 x1 , x2 , g ?( x) ? 1 ? 2 ? ? 2 x x x 2 ?a ? 4 ? 0 ? 且 ? x1 ? x2 ? ? a ? 0 , ?x ? x ? 1 ? 0 ? 1 2
当 a ? 3 时, f ( x) ? 2 x ?

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21.【答案】
3 6 【解析】解:(1)先排 3 个女生作为一个整体,与其余的 5 个元素做全排列有 A3 A6 =4320 种. 2 3 5 (2)从中选 5 人,且要求女生只有 2 名,则男生有 3 人,先选再排,故有 C3 C5 A5 =3600 种

【点评】本题主要考查排列与组合及两个基本原理,排列数公式、组合数公式的应用,注意特殊元素和特殊位 置要优先排. 22.【答案】 【解析】解:

(1)证明:∵D 是 BC 的中点, a ∴BD=DC= . 2

a2 法一:在△ABD 与△ACD 中分别由余弦定理得 c2=AD2+ -2AD· 4 a cos∠ADB,① 2

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a2 a b2=AD2+ -2AD· ·cos∠ADC,② 4 2 a2 ①+②得 c2+b2=2AD2+ , 2 即 4AD2=2b2+2c2-a2, 1 ∴AD= 2b2+2c2-a2. 2 法二:在△ABD 中,由余弦定理得 a2 a AD2=c2+ -2c· cos B 4 2 a2+c2-b2 a2 =c2+ -ac· 4 2ac 2b2+2c2-a2 = , 4 1 ∴AD= 2b2+2c2-a2. 2 1 sin B 3 (2)∵A=120°,AD= 19, = , 2 sin C 5 由余弦定理和正弦定理与(1)可得 a2=b2+c2+bc,① 2b2+2c2-a2=19,② b 3 = ,③ c 5 联立①②③解得 b=3,c=5,a=7, 1 1 15 3 ∴△ABC 的面积为 S= bc sin A= ×3×5×sin 120°= . 2 2 4 15 即△ABC 的面积为 3. 4 23.【答案】 【解析】解:函数的定义域为(0,+∞) 求导函数,可得 f′(x)=1+lnx 令 f′(x)=1+lnx=0,可得 ∴0<x< 时,f′(x)<0,x> 时,f′(x)>0 ∴ 时,函数取得极小值,也是函数的最小值 = =﹣ .

∴f(x)min=

【点评】本题考查导数知识的运用,考查函数的最值,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

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24.【答案】
mx 【解析】解:(1)证明:f′(x)=m(e ﹣1)+2x. mx mx 若 m≥0,则当 x∈(﹣∞,0)时,e ﹣1≤0,f′(x)<0;当 x∈(0,+∞)时,e ﹣1≥0,f′(x)>0. mx mx 若 m<0,则当 x∈(﹣∞,0)时,e ﹣1>0,f′(x)<0;当 x∈(0,+∞)时,e ﹣1<0,f′(x)>0.

所以,f(x)在(﹣∞,0)时单调递减,在(0,+∞)单调递增. (2)由(1)知,对任意的 m,f(x)在单调递减,在单调递增,故 f(x)在 x=0 处取得最小值. 所以对于任意 x1,x2∈,|f(x1)﹣f(x2)|≤e﹣1 的充要条件是

即 设函数 g(t)=e ﹣t﹣e+1,则 g′(t)=e ﹣1. 当 t<0 时,g′(t)<0;当 t>0 时,g′(t)>0.故 g(t)在(﹣∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递 增.
1 又 g(1)=0,g(﹣1)=e﹣ +2﹣e<0,故当 t∈时,g(t)≤0. t t

当 m∈时,g(m)≤0,g(﹣m)≤0,即合式成立;
m 当 m>1 时,由 g(t)的单调性,g(m)>0,即 e ﹣m>e﹣1. m 当 m<﹣1 时,g(﹣m)>0,即 e﹣ +m>e﹣1.

综上,m 的取值范围是

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