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2015年四川省宜宾市高考数学二诊试卷4(文科)


四川省高考数学模拟试卷 4(文科)
一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分;在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1. (5 分) (2015?宜宾模拟)已知集合 A={0,a},B={﹣1,1},若 A∩B={﹣1},则 A∪B= ( ) A.{0,1} B.{﹣1,0} C.{﹣1,1} D.{﹣1,0,1} 2. (5 分) (2015?宜宾模拟)为调查学生身高的情况,随机抽测了高三两个班 120 名学生的 身高(单位:cm) ,所得数据均在区间[140,190]上,其频率分布直方图如图所示(左下) , 则在抽测的 120 名学生中,身高位于区间[160,180)上的人数为( )

A.70

B.71

C.72

D.73
2 2 2

3. (5 分) (2015?宜宾模拟) 抛物线 y =4x 的焦点到双曲线 x ﹣y =2 的渐近线的距离是 ( A. B. C. D.2



4. (5 分) (2015?宜宾模拟)某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的体积是(



A.

B.32

C.16

D.
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5. (5 分) (2015?宜宾模拟)设 x∈R,则“x<1”是“log A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6. (5 分) (2015?宜宾模拟)将函数 y=sin(2x﹣

(2x﹣1)>0”的(



)的图象向左平移

个单位,再将所得

图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,则所得函数图象对应的解析式为 ( ) A.y=sin(x﹣ ) B.y=sin(x﹣ ) C.y=sin4x D.y=sinx

7. (5 分) (2015?马鞍山三模)函数 f(x)= +ln|x|的图象大致为(



A.

B.

C.

D.

8. (5 分) (2015?宜宾模拟)如图是用计算机随机模拟的方法估计概率的程序框图,P 表示 估计结果,则输出 P 的近似值为( )

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A.

B.

C.

D.

9. (5 分) (2015?宜宾模拟)直线 y=kx 与椭圆 C: =0,若∠ABF∈(0,

+

=1(a>b>0)交于 A、B 两点,

F 为椭圆 C 的左焦点,且 ( ) ] B. (0,

?

],则椭圆 C 的离心率的取值范围是

A. (0,

] C.[



]

D .[
4

,1)

10. (5 分) (2015?宜宾模拟)已知集合 A={x∈R|x +mx﹣2=0},满足 a∈A 的所有点 M(a, )均在直线 y=x 的同侧,则实数 m 的取值范围是( A. (﹣∞,﹣ )∪( ,+∞) B. (﹣ ∪( ,6) D. (﹣∞,﹣6)∪(6,+∞) ) ) C. (﹣5,﹣ )

,﹣1)∪(1,

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,请把答案填在答题卡对应的题中横 线上. 11. (5 分) (2015?宜宾模拟)已知 i 为虚数单位,则复数 z=
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的实部为



12. (5 分) (2015?宜宾模拟)在正项等比数列{an}中,若 a1?a9=4,则 log2a1+log2a2+log2a3+…+log2a9= . 13. (5 分) (2015?济宁二模) 在△ ABC 中, 角 A、 B、 C 所对的边分别是 a, b, c, 若 bsinA=3csinB, a=3, ,则 b 的值为 .

14. (5 分) (2015?宜宾模拟)已知 M(0,﹣1) ,N(0,1) ,点 P 满足 | + |= .

?

=3,则

15. (5 分) (2015?宜宾模拟)如果 y=f(x)的定义域为 R,对于定义域内的任意 x,存在 实数 a 使得 f(x+a)=f(﹣x)成立,则称此函数具有“P(a)性质”.给出下列命题: ①函数 y=sinx 具有“P(a)性质”; ②若奇函数 y=f(x)具有“P(2)性质”,且 f(1)=1,则 f(2015)=1; ③若函数 y=f(x)具有“P(4)性质”,图象关于点(1,0)成中心对称,且在(﹣1,0) 上单调递减,则 y=f(x)在(﹣2,﹣1)上单调递减,在(1,2)上单调递增; ④若不恒为零的函数 y=f(x)同时具有“P(0)性质”和“P(3)性质”,且函数 y=g(x)对 ?x1,x2∈R,都有|f(x1)﹣f(x2)|≥|g(x1)﹣g(x2)|成立,则函数 y=g(x)是周期函数. 其中正确的是 (写出所有正确命题的编号) .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.不 能答在试卷上,请答在答题卡相应的方框内. 16. (12 分) (2015?宜宾模拟)2015 年央视 3.15 晚会中关注了 4S 店的小型汽车维修保养, 公共 wifi 的安全性,网络购物等问题,某网站对上述三个问题进行了满意度的问卷调查, 结果如下: 4S 店的小型汽车维修保养 公共 wifi 的安全性 网络购物 满意 200 人 400 人 800 人 不满意 400 人 100 人 400 人 (Ⅰ)在所有参与该问卷调查的人员中,用分层抽样的方法抽取 n 人,其中有 8 人不满意 4S 店的小型汽车维修保养,求 n 的值; (Ⅱ)在对参与网络购物满意度调查的人员中,用分层抽样的方法抽取 6 人,再从这 6 人中 任意选取 2 人,求恰有 1 人对网络购物满意的概率.

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17. (12 分) (2015?宜宾模拟)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,角 α 以 x 轴非负半轴为始 边,其终边与单位圆交于点 P,过点 P 作 x 轴的垂线与射线 y= x(x≥0)交于点 Q,其中 α∈(﹣ , ) .

(Ⅰ)若 sinα= ,求 cos∠POQ; (Ⅱ)求 ? 的最大值.

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18. (12 分) (2015?宜宾模拟)如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,△ ABD 是 边长为 3 的正三角形,BC=CD= ,PD=4. (Ⅰ)求证:平面 PAD⊥平面 PCD; (Ⅱ)在线段 PA 上是否存在点 M,使得 DM∥平面 PBC.若存在,求三棱锥 P﹣BDM 的 体积;若不存在,请说明理由. (锥体体积公式:V= Sh,其中 S 为底面面积,h 为高)

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19. (12 分) (2015?宜宾模拟)已知公差为 d 的等差数列{an}满足:an+an+1=2n,n∈N . (Ⅰ)求首项 a1 和公差 d,并求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)令 ,n∈N ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.
*

*

20. (13 分) (2015?宜宾模拟)已知椭圆 C:

=1(a>b>0)经过 A(﹣1, ) 、B(0,

)两点. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过点 B 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆 C 于另一点 M,交 x 轴于点 P,点 M 关于 x 轴的对称点为 N,直线 BN 交 x 轴于点 Q.求|OP|+|OQ|的最小值.

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21. (14 分) (2015?宜宾模拟)已知函数 f(x)= 且 y=f(x)在 x=1 处切线方程为 y=x﹣1. (Ⅰ)求 a,b 的值; x (Ⅱ)设函数 g(x)=f(e ) , (i)求 g(x)的单调区间; (ii)设 h(x)=

(a、b∈R,a、b 为常数) ,

,k(x)=2h′(x)x ,求证:当 x>0 时,k(x)< +

2



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2015 年四川省宜宾市高考数学二诊试卷(文科)
参考答案与试题解析 1-5: DCABB 6-10:DBCDA

一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分;在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1. (5 分) (2015?宜宾模拟)已知集合 A={0,a},B={﹣1,1},若 A∩B={﹣1},则 A∪B= ( ) A.{0,1} B.{﹣1,0} C.{﹣1,1} D.{﹣1,0,1} 【考点】并集及其运算. 【专题】集合. 【分析】根据集合的基本运算进行求解即可. 【解答】解:∵A∩B={﹣1}, ∴a=﹣1, 即 A={0,﹣1}, 则 A∪B={﹣1,0,1}, 故选:D 【点评】本题主要考查集合的基本运算,比较基础.
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2. (5 分) (2015?宜宾模拟)为调查学生身高的情况,随机抽测了高三两个班 120 名学生的 身高(单位:cm) ,所得数据均在区间[140,190]上,其频率分布直方图如图所示(左下) , 则在抽测的 120 名学生中,身高位于区间[160,180)上的人数为( )

A.70 B.71 C.72 D.73 【考点】频率分布直方图. 【专题】概率与统计.
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【分析】根据频率分布直方图,利用频率= 【解答】解:根据频率分布直方图,得; 学生的身高位于区间[160,180)上的频率为 (0.040+0.020)×10=0.6, ∴对应的人数为

,求出对应的频数即可.

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120×0.6=72. 故选:C. 【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题,也考查了频率、频数与样本容量的应用问 题,是基础题目. 3. (5 分) (2015?宜宾模拟) 抛物线 y =4x 的焦点到双曲线 x ﹣y =2 的渐近线的距离是 ( A. B. C. D.2
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2

2

2



【考点】双曲线的简单性质. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】容易求出抛物线焦点及双曲线的渐近线方程分别为(1,0) ,y=±x,所以根据点到 直线的距离公式即可求得该焦点到渐近线的距离. 【解答】解:抛物线的焦点为(1,0) ,双曲线的渐近线方程为 y=±x; ∴由点到直线的距离公式得抛物线焦点到双曲线渐近线的距离为: . 故选 A. 【点评】考查抛物线的焦点概念及求法,双曲线渐近线方程的求法,以及点到直线的距离公 式. 4. (5 分) (2015?宜宾模拟)某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的体积是( )

A.

B.32

C.16

D.
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【考点】由三视图求面积、体积. 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】根据三视图画出几何体的直观图,代入数据求解即可. 【解答】解:几何体的直观图是:

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几何体的高为 4;底面三角形的高为 6.底边长为 8. ∴V 棱锥= × ×8×6×4=32. 故选:B 【点评】 本题考查由三视图求三棱锥的体积. 分析出几何体的形状及底面面积和高是解答的 关键. 5. (5 分) (2015?宜宾模拟)设 x∈R,则“x<1”是“log (2x﹣1)>0”的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】简易逻辑. 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的关系进行判断即可.
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【解答】解:由 log 则“x<1”是“log

(2x﹣1)>0 得 0<2x﹣1<1,解得 <x<1,

(2x﹣1)>0”的必要不充分条件,

故选:B 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据不等式的关系是解决本题的关键.

6. (5 分) (2015?宜宾模拟)将函数 y=sin(2x﹣

)的图象向左平移

个单位,再将所得

图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,则所得函数图象对应的解析式为 ( ) A.y=sin(x﹣ ) B.y=sin(x﹣ )
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C.y=sin4x

D.y=sinx

【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【专题】三角函数的图像与性质. 【分析】由条件根据函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,可得结论. 【解答】解:将函数 y=sin(2x﹣ ﹣ ]=sin2x 的图象; )的图象向左平移 个单位,可得函数 y=sin[2(x+ )

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再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,则所得函数图象对应的 解析式为 y=sinx, 故选:D. 【点评】本题主要考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,属于基础题. 7. (5 分) (2015?马鞍山三模)函数 f(x)= +ln|x|的图象大致为( )

A.

B.

C.

D. 【考点】函数的图象. 【专题】函数的性质及应用.
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【分析】当 x<0 时,函数 f(x)= 当 x>0 时,函数 f(x)=

,由函数的单调性,排除 CD; ,此时,代入特殊值验证,排除 A,只有 B 正确, ,由函数 y= 、y=ln(﹣x)递减知

【解答】解:当 x<0 时,函数 f(x)= 函数 f(x)= 当 x>0 时,函数 f(x)= 递减,排除 CD;

,此时,f(1)=

=1,而选项 A 的最小值为 2,

故可排除 A,只有 B 正确, 故选:B. 【点评】 题考查函数的图象, 考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合与分类讨 论的思维能力.

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8. (5 分) (2015?宜宾模拟)如图是用计算机随机模拟的方法估计概率的程序框图,P 表示 估计结果,则输出 P 的近似值为( )

A.

B.

C.
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D.

【考点】程序框图. 【专题】算法和程序框图. 【分析】由题意以及框图的作用,直接计算出结果. 【解答】解:由题意以及程序框图可知,用模拟方法估计几何概型概率的程序框图, 如图,M 是点落在六边形 OCDEFG 内的次数, 由当 i>2015 时,退出循环, ∴六边形 OCDEFG 内的点的次数为 M,总试验次数为 2015, 所以要求的概率满足 故 M= , = . =1﹣ =1﹣ = ,

所以空白框内应填入的表达式是 P= 故选:C.

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【点评】本题考查程序框图的作用,考查计算、分析能力,属基础题.

9. (5 分) (2015?宜宾模拟)直线 y=kx 与椭圆 C: =0,若∠ABF∈(0,

+

=1(a>b>0)交于 A、B 两点,

F 为椭圆 C 的左焦点,且 ( ) ] B. (0,

?

],则椭圆 C 的离心率的取值范围是

A. (0,

] C.[



]

D .[
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,1)

【考点】椭圆的简单性质;平面向量数量积的运算. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】设 F2 是椭圆的右焦点.由 ?

=0,可得 BF⊥AF,再由 O 点为 AB 的中点,

OF=OF2.可得四边形 AFBF2 是矩形.设∠ABF=θ,可得 BF=2ccosθ,BF2=AF=2csinθ,利 用椭圆的定义可得 BF+BF2=2a,可得 e= 【解答】解:设 F2 是椭圆的右焦点. ∵ ? =0, ,即可得出.

∴BF⊥AF, ∵O 点为 AB 的中点,OF=OF2. ∴四边形 AFBF2 是平行四边形, ∴四边形 AFBF2 是矩形. 如图所示, 设∠ABF=θ, ∵BF=2ccosθ,BF2=AF=2csinθ, BF+BF2=2a, ∴2ccosθ+2csinθ=2a, ∴e= sinθ+cosθ= ∵θ∈(0, ],
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, ,

∴ ∴ ∴ ∴e∈ 故选:D.

∈ ∈ ∈ .

, . ,

【点评】本题考查了椭圆的定义及其标准方程性质、矩形的定义、三角函数的单调性、两角 和差的正弦,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 10. (5 分) (2015?宜宾模拟)已知集合 A={x∈R|x +mx﹣2=0},满足 a∈A 的所有点 M(a, )均在直线 y=x 的同侧,则实数 m 的取值范围是( ) ) C. (﹣5,﹣ )
4

A. (﹣∞,﹣ )∪( ,+∞) B. (﹣ ,﹣1)∪(1, ∪( ,6) D. (﹣∞,﹣6)∪(6,+∞) 【考点】二元一次不等式(组)与平面区域;直线的斜率. 【专题】函数的性质及应用;不等式的解法及应用.
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【分析】 原方程等价于 x +m= , 原方程的实根是曲线 y=x +m 与曲线 y= 的交点的横坐标, 分别作出左右两边函数的图象:分 m>0 与 m<0 讨论,可得答案 4 【解答】解:∵集合 A={x∈R|x +mx﹣2=0}, ∴方程的根显然 x≠0,原方程等价于 x +m= , 原方程的实根是曲线 y=x +m 与曲线 y= 的交点的横坐标, 而曲线 y=x +m 是由曲线 y=x 向上或向下平移|m|个单位而得到的, 若交点(x1, ) (i=1,2,…,k)均在直线 y=x 的同侧, ,﹣ ) , ( , ) ;
3 3 3 3

3

3

因直线 y=x 与 y= 交点为: (﹣

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所以结合图象可得





解得 m> 或 m<﹣ . 答案为:m> 或 m<﹣ . 故选:A.

【点评】本题综合考查了反比例函数,反比例函数与一次函数图象的交点问题,数形结合是 数学解题中常用的思想方法,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,请把答案填在答题卡对应的题中横 线上. 11. (5 分) (2015?宜宾模拟)已知 i 为虚数单位,则复数 z= 【考点】复数代数形式的乘除运算. 【专题】数系的扩充和复数. 【分析】利用复数的运算法则、实部的定义即可得出.
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的实部为



【解答】解:复数 z= 故答案为: .

=

=

的实部为 .

【点评】本题考查了复数的运算法则、实部的定义,属于基础题.
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12. (5 分) (2015?宜宾模拟)在正项等比数列{an}中,若 a1?a9=4,则 log2a1+log2a2+log2a3+…+log2a9= 9 . 【考点】等比数列的性质;对数的运算性质;数列的求和. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】直接利用等比数列的性质以及对数的运算法则化简所求表达式,求解即可.
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【解答】解:∵a1?a9=4,∴a1?a9=a2?a8=a3?a7=a4?a6=4 ∴log2a1+log2a2+log2a3+…+log2a9=log2(a1?a2?a3…a9)=log2(a1? =log22 =9
9

故答案为:9. 【点评】本题考查数列求和对数 的运算法则等比数列的性质,考查计算能力. 13. (5 分) (2015?济宁二模) 在△ ABC 中, 角 A、 B、 C 所对的边分别是 a, b, c, 若 bsinA=3csinB, a=3, ,则 b 的值为
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【考点】余弦定理;正弦定理. 【专题】解三角形. 【分析】利用正弦定理化简已知等式,根据 b 不为 0 得到 a=3c,把 a 的值代入求出 c 的值, 利用余弦定理表示出 cosB,将各自的值代入即可求出 b 的值. 【解答】解:利用正弦定理化简 bsinA=3csinB,得:ab=3bc, ∵b≠0,∴a=3c, 把 a=3 代入得:c=1, 由余弦定理得:cosB= = = ,

解得:b= . 故答案为: 【点评】此题考查了正弦、余弦定理,熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键.

14. (5 分) (2015?宜宾模拟)已知 M(0,﹣1) ,N(0,1) ,点 P 满足 4 . 【考点】平面向量数量积的运算. 【专题】空间向量及应用. 【分析】 设P (x, y) , 则由 ?

?

=3,则|

+

|=

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=3 得 x +y =4, 所以|

2

2

+

|=

=4.

【解答】解:设 P(x,y) ,根据题意有 , ∴ ∵ ? =(﹣2x,﹣2y) , =3,
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2

?
2

=x +y ﹣1=3,

2

2

∴x +y =4, 故| + |= = = =4,

故答案为:4. 【点评】 本题考查向量数量积的计算, 设出点 P 的坐标建立起 是解决本题的关键,属中档题. 15. (5 分) (2015?宜宾模拟)如果 y=f(x)的定义域为 R,对于定义域内的任意 x,存在 实数 a 使得 f(x+a)=f(﹣x)成立,则称此函数具有“P(a)性质”.给出下列命题: ①函数 y=sinx 具有“P(a)性质”; ②若奇函数 y=f(x)具有“P(2)性质”,且 f(1)=1,则 f(2015)=1; ③若函数 y=f(x)具有“P(4)性质”,图象关于点(1,0)成中心对称,且在(﹣1,0) 上单调递减,则 y=f(x)在(﹣2,﹣1)上单调递减,在(1,2)上单调递增; ④若不恒为零的函数 y=f(x)同时具有“P(0)性质”和“P(3)性质”,且函数 y=g(x)对 ?x1,x2∈R,都有|f(x1)﹣f(x2)|≥|g(x1)﹣g(x2)|成立,则函数 y=g(x)是周期函数. 其中正确的是 ①③④ (写出所有正确命题的编号) . 【考点】函数的周期性;抽象函数及其应用. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】①运用诱导公式证明 sin(x+π)=﹣sin(x)=sin(﹣x) ; ②根据奇函数,周期性定义得出 f(x+2)=f(﹣x)=﹣f(x) ,f(x+4)=f(x) ; ③根据解析式得出 f(x+4)=f(﹣x) ,f(x)关于 x=2 对称,即 f(2﹣x)=f(2+x) ,f(x) 为偶函数,根题意得出图象也关于点(﹣1,0)成中心对称, 且在(﹣2,﹣1)上单调递减,利用偶函数的对称得出:在(1,2)上单调递增; ④利用定义式对称 f(x)=f(﹣x) ,f(x+3)=f(﹣x)=f(x) ,推论得出 f(x)为偶函数, 且周期为 3; 【解答】解:①∵sin(x+π)=﹣sin(x)=sin(﹣x) , ∴函数 y=sinx 具有“P(a)性质”; ∴①正确 ②∵若奇函数 y=f(x)具有“P(2)性质”, ∴f(x+2)=f(﹣x)=﹣f(x) , ∴f(x+4)=f(x) , 周期为 4, ∵f(1)=1,f(2015)=f(3)=﹣f(1)=﹣1, ∴②不正确, ③∵若函数 y=f(x)具有“P(4)性质”, ∴f(x+4)=f(﹣x) , ∴f(x)关于 x=2 对称, 即 f(2﹣x)=f(2+x) , ∵图象关于点(1,0)成中心对称, ∴f(2﹣x)=﹣f(x) , 即 f(2+x)=﹣f(﹣x) ,
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=3 与|

+

|间的联系

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∴得出:f(x)=f(﹣x) , f(x)为偶函数, ∵图象关于点(1,0)成中心对称,且在(﹣1,0)上单调递减, ∴图象也关于点(﹣1,0)成中心对称,且在(﹣2,﹣1)上单调递减, 根据偶函数的对称得出:在(1,2)上单调递增; 故③正确. ④∵“P(0)性质”和“P(3)性质”, ∴f(x)=f(﹣x) ,f(x+3)=f(﹣x)=f(x) , ∴f(x)为偶函数,且周期为 3, ∵函数 y=g(x)对?x1,x2∈R,都有|f(x1)﹣f(x2)|≥|g(x1)﹣g(x2)|成立, ∴g(x)必定为周期函数 故④正确. 故答案为:①③④. 【点评】本题考查了新概念的题目,函数的对称周期性,主要运用抽象函数性质判断,难度 较大,特别是第 3 个选项,仔细推证. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.不 能答在试卷上,请答在答题卡相应的方框内. 16. (12 分) (2015?宜宾模拟)2015 年央视 3.15 晚会中关注了 4S 店的小型汽车维修保养, 公共 wifi 的安全性,网络购物等问题,某网站对上述三个问题进行了满意度的问卷调查, 结果如下: 4S 店的小型汽车维修保养 公共 wifi 的安全性 网络购物 满意 200 人 400 人 800 人 不满意 400 人 100 人 400 人 (Ⅰ)在所有参与该问卷调查的人员中,用分层抽样的方法抽取 n 人,其中有 8 人不满意 4S 店的小型汽车维修保养,求 n 的值; (Ⅱ)在对参与网络购物满意度调查的人员中,用分层抽样的方法抽取 6 人,再从这 6 人中 任意选取 2 人,求恰有 1 人对网络购物满意的概率. 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率;频率分布直方图. 【专题】概率与统计. 【分析】 (Ⅰ)先求出调查总人数,再根据分层抽样方法原理求出 n 的值; (Ⅱ)先求出用分层抽样方法抽取的 6 人中,满意的有 4 人,不满意的有 2 人,
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编号,用列举法求出基本事件数,再计算对应的概率 P= 【解答】解: (Ⅰ)由题意知,调查总人数为: 200+400+400+100+800+400=2300, 用分层抽样的方法抽取 n 人时, 从“不满意 4S 店的小型汽车维修保养”的人中抽取了 8 人, ∴ = ,解得 n=46;



(Ⅱ)从“网络购物”的人中,用分层抽样的方法抽取 6 人中, 其中满意的有 4 人,分别记为 1、2、3、4, 不满意的有 2 人,记为 a、b; 再从这 6 人中任意选取 2 人,有
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(1、2) , (1、3) , (1、4) , (1、a) , (1、b) , (2、3) , (2、4) , (2、a) , (2、b) , (3、4) , (3、a) , (3、b) , (4、a) , (4、b) , (a、b)共 15 种不同的情况; 其中恰有 1 人不满意的有 (1、a) , (1、b) , (2、a) , (2、b) , (3、a) , (3、b) , (4、a) , (4、b)共 8 种不同的情况; ∴恰有 1 人对网络购物满意的概率 P= .

【点评】 不同考查了分层抽样方法的应用问题, 也考查了用列举法求古典概型的基本事件与 概率问题,是基础题目. 17. (12 分) (2015?宜宾模拟)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,角 α 以 x 轴非负半轴为始 边,其终边与单位圆交于点 P,过点 P 作 x 轴的垂线与射线 y= x(x≥0)交于点 Q,其中 α∈(﹣ , ) .

(Ⅰ)若 sinα= ,求 cos∠POQ; (Ⅱ)求 ? 的最大值.

【考点】平面向量数量积的运算;两角和与差的余弦函数. 【专题】平面向量及应用. 【分析】 (Ⅰ)易得

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,由三角函数的和差公式即可计算;

(Ⅱ)用坐标表示出点 P、Q,利用辅助角公式将式子进行化简,结合三角函数的图象和性 质即可求出数量积的最大值. 【解答】解: (Ⅰ)∵sinα= , ∴ ∵∠MOQ= ∴ ∴cos∠POQ= , ,且 , =
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. ,

=



(Ⅱ)∵P(cosα,sinα) , ∴Q(cosα, ) ∴ ∵ ∴ 所以,当 ,即 ? = , , 时, 取最大值 . = = ,

【点评】本题主要考查三角函数的定义以及两角和差公式的应用,以及向量数量积的计算, 根据三角函数的定义求出点 P、Q 的坐标是解决本题的关键. 18. (12 分) (2015?宜宾模拟)如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,△ ABD 是 边长为 3 的正三角形,BC=CD= ,PD=4. (Ⅰ)求证:平面 PAD⊥平面 PCD; (Ⅱ)在线段 PA 上是否存在点 M,使得 DM∥平面 PBC.若存在,求三棱锥 P﹣BDM 的 体积;若不存在,请说明理由. (锥体体积公式:V= Sh,其中 S 为底面面积,h 为高)

【考点】平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】 (Ⅰ)欲证明平面 PAD⊥平面 PCD,只需推知 CD⊥平面 PAD 即可; (Ⅱ)存在 AP 的中点 M,使得 DM∥平面 PBC.通过证明“MN∩DN=N,MN∥平面 PBC, ND∥平面 PBC”推知 DM∥平面 PBC.然后将三棱锥 P﹣BDM 的体积转化为求三棱锥 B﹣ DMP 的体积来计算. 【解答】 (1)证明:∵PD⊥平面 ABCD, ∴PD⊥DC. ∵△ABD 是边长为 3 的正三角形,BC=CD= ,
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∴在△ BCD 中,由余弦定理得到:cos∠BDC= ∴∠BDC=30°,∠ADC=∠ADB+∠BDC=60°+30°=90°, ∴DC⊥AD, 又∵AD∩PD=D,
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=



∴CD⊥平面 PAD. 又∵CD?平面 CDP, ∴平面 PAD⊥平面 PCD; (Ⅱ)存在 AP 的中点 M,使得 DM∥平面 PBC.理由如下: 取 AB 的中点 N,连接 MN,DN. ∵M 是 AP 的中点, ∴MN∥PB. ∵△ABC 是等边三角形, ∴DN⊥AB, 由(1)知,∠CBD=∠BDC=30°, ∴∠ABC=60°+30°=90°,即 BC⊥AB. ∴ND∥BC. 又 MN∩DN=N, ∴平面 MND∥平面 PBC. ∴DM∥平面 PBC. 过点 B 作 BQ⊥AD 于 Q, ∵由已知知,PD⊥BQ, ∴BQ⊥平面 PAD, ∴BQ 是三棱锥 B﹣DMP 的高, ∵BQ= ,S△ DMP= AD?PD=3, .

∴VP﹣BDM=VB﹣DMP= BQ?S△ DMP=

【点评】本题考查了直线与平面垂直、平行的判, .解答(Ⅱ)中三棱锥 P﹣BDM 的体积时, 也可以这样解答:VP﹣BDM= VP﹣ABD= PD?S△ ABD= .

19. (12 分) (2015?宜宾模拟)已知公差为 d 的等差数列{an}满足:an+an+1=2n,n∈N . (Ⅰ)求首项 a1 和公差 d,并求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)令 ,n∈N ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.
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*

*

【考点】数列的求和;数列递推式. 【专题】等差数列与等比数列. * 【分析】 (I)公差为 d 的等差数列{an}满足:an+an+1=2n,n∈N .令 n=1,2,可得 a1+a2=2, a2+a3=4,解得 d,即可得出 a1,利用通项公式即可得出. .
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(II)由 an+an+1=2n,n∈N .变形 = = ,

*

利用“裂项求和”即可得出. * 【解答】解: (I)∵公差为 d 的等差数列{an}满足:an+an+1=2n,n∈N . 令 n=1,2,可得 a1+a2=2,a2+a3=4, ∴2d=2,解得 d=1, ∴2a1+d=2,解得 a1= , ∴ =n﹣ .
*

(II)∵an+an+1=2n,n∈N . ∴ = =



∴数列{bn}的前 n 项和 Sn=b1+b2+…+bn=

=1=



【点评】本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式、“裂项求和”方法,考查了推理能 力与计算能力,属于中档题.

20. (13 分) (2015?宜宾模拟)已知椭圆 C:

=1(a>b>0)经过 A(﹣1, ) 、B(0,

)两点. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过点 B 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆 C 于另一点 M,交 x 轴于点 P,点 M 关于 x 轴的对称点为 N,直线 BN 交 x 轴于点 Q.求|OP|+|OQ|的最小值.

【考点】椭圆的简单性质. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 (Ⅰ)将 A、B 两点代入椭圆方程,求出 a、b,从而可得椭圆 C 的方程;
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(Ⅱ)设直线 l 的方程为

(k≠0) ,M(x0,y0) ,N(x0,﹣y0) ,联立直线 l 与椭 , ) ,N( ,﹣

圆方程,由韦达定理可得,从而 M(

) ,从而直线 BN 的方程为:

,则 Q(

, 0) ,又因为 P



,0) ,结合不等式可得|OP|+|OQ|=

+

≥4.

【解答】解: (Ⅰ)将 A(﹣1, ) 、B(0,

)两点代入椭圆方程,



,解得



所以椭圆 C 的方程为

; (k≠0) ,M(x0,y0) ,N

(Ⅱ)由于直线 l 的斜率存在,故可设直线 l 的方程为 (x0,﹣y0) , 解方程组 ,化简得 ,

所以



=



从而 M(



) ,N(

,﹣

) ,

所以 kBN=

=



从而直线 BN 的方程为: 又因为 P( 当且仅当

,则 Q( +

,0) , ≥4,

,0) ,所以|OP|+|OQ|= = ,即|k|= 时取等号,

所以|OP|+|OQ|的最小值为 4.

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【点评】本题考查圆锥曲线的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意积累解题方 法,联立方程组后利用韦达定理是解题的关键. (a、b∈R,a、b 为常数) ,

21. (14 分) (2015?宜宾模拟)已知函数 f(x)= 且 y=f(x)在 x=1 处切线方程为 y=x﹣1. (Ⅰ)求 a,b 的值; (Ⅱ)设函数 g(x)=f(e ) , (i)求 g(x)的单调区间; (ii)设 h(x)=
x

,k(x)=2h′(x)x ,求证:当 x>0 时,k(x)< +

2



【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程. 【专题】计算题;证明题;导数的综合应用. 【分析】 (Ⅰ)先求导 f′(x)= (1)= ﹣[ln(1+a)+b]=1 组成方程组求解即可;
x

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;从而由 f(1)=ln(1+a)+b=0,f′

(Ⅱ) (i)化简 g(x)=f(e )= 区间; (ii)化简 h(x)= =

,再求导 g′(x)=

,从而由导数确定函数的单调

,求导 h′(x)=

,从而化简 k(x)

=2h′(x)x =

2

;分别判断

与 1﹣2xlnx﹣2x 的最大值即可证明.

【解答】解: (Ⅰ)由题意知,f′(x)= 故 f(1)=ln(1+a)+b=0, f′(1)= ﹣[ln(1+a)+b]=1,



解得,a=b=0. (Ⅱ) (i)g(x)=f(e )=
x



g′(x)=



则当 x>1 时,g′(x)<0,当 x<1 时,g′(x)>0; 故 g(x)的单调增区间是(﹣∞,1],单调减区间是(1,+∞) .

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(ii)证明:h(x)=

=



h′(x)=



k(x)=2h′(x)x = 由(i)知,当 x>0 时, ∈(0, ],

2



设 m(x)=1﹣2xlnx﹣2x, m′(x)=﹣2lnx﹣4=﹣2(lnx+2) , 故 m(x)在(0, 故 mmax(x)=m( 故 k(x)< (1+ )上单调递增,在( )=1+ )= + ,+∞)上单调递减,

且 g(x)与 m(x)不于同一点取等号, .

【点评】本题考查了导数的综合应用及函数的最大值的求法,属于中档题.

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参与本试卷答题和审题的老师有:maths;742048;wkl197822;翔宇老师;caoqz;智者乐 水;cst;孙佑中;sdpyqzh;qiss;sllwyn;海燕;lgh(排名不分先后) 菁优网 2016 年 3 月 27 日

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