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1-7幂函数与函数的图象变换


1 1.(文)设 a∈{-1,1, ,3},则使函数 y=xa 的定义域为 R 且该 2 函数为奇函数的所有 a 值为( A.1,3 C.-1,3 [答案] A
1 2

) B.-1,1 D.-1,1,3

[解析] 在函数 y=x-1,y=x,y=x ,y=x3 中,只有函数 y= x 和 y=x3 的定义域是 R,且是奇函数,故 a=1 或 3.
? 1 1 1 ? (理)设 α∈?-2,-1,-2,3,2,1,2,3?, 则使 y=xα 为奇函 ? ?

数且在(0,+∞)上单调递减的 α 值的个数为( A.1 C.3 [答案] [解析] A B.2 D.4

)

由 f(x)在(0,+∞)上是减函数,∴α<0
1

- 2 1 1 y=x-2= 2是偶函数,y=x = ,在定义域(0,+∞)上是非 x x

奇非偶函数,y=x-1 是奇函数,∴α=-1,∴选 A. 2.(文)已知点( A.是奇函数 B.是偶函数 C.是非奇非偶函数 3 , 3)在幂函数 f(x)的图象上,则 f(x)( 3 )

D.既是奇函数又是偶函数 [答案] [解析] A
- 2 3 设 f(x)=xα,则( )α= 3,即 3 3 1 α

=3 ,故 α=-1,

1 2

因此 f(x)=x-1,所以 f(x)是奇函数.故选 A. (理)函数 y=x 在[-1,1]上是( A.增函数且是奇函数 C.减函数且是奇函数 [答案] [解析] A
5 5 3 ∵ 的分子分母都是奇数,∴f(-x)=(-x) =-x = 5 3 3 3 5

) B.增函数且是偶函数 D.减函数且是偶函数

-f(x),∴f(x)为奇函数, 3 又 >0,∴f(x)在第一象限内是增函数, 5 又 f(x)为奇函数,∴f(x)在[-1,1]上是增函数. 3.(文)(2011· 郑州一检)若 0<x<y<1,则( A.3y<3x C.log4x<log4y [答案] C )

B.logx3<logy3 1 1 D.( )x<( )y 4 4

[解析] ∵0<x<y<1,∴由对数函数的单调性得,log4x<log4y,故 选 C. 1 (理)(2011· 天津理,7)已知 a=5log23.4,b=5log43.6,c=( )log30.3,则 5 ( ) A.a>b>c C.a>c>b B.b>a>c D.c>a>b

[答案] [解析]

C

4.(2011· 山东济南调研)下面给出 4 个幂函数的图象,则图象与 函数的大致对应是( )

A.①y=x ,②y=x2,③y=x ,④y=x-1 B.①y=x ,②y=x ,③y=x ,④y=x-1 C.①y=x2,②y=x3,③y=x ,④y=x-1 D.①y=x ,②y=x ,③y=x2,④y=x-1
1 3 1 2 1 2 3 2 1 2

1 3

1 2

[答案] [解析]

B y=x2 为偶函数,对应②;y=x 定义域 x≥0,对应③;
1 3 1 2

y=x-1 为奇函数, 且图象与坐标轴不相交, 对应④; y=x3 与 y=x 均 为奇函数,但 y=x 比 y=x 增长率大,故①对应 y=x3. 5.给出以下几个幂函数 fi(x)(i=1,2,3,4),其中 f1(x)=x,f2(x)= 1 x2,f3(x)=x ,f4(x)=x.若 gi(x)=fi(x)+3x(i=1,2,3,4).则能使函数 gi(x)有两个零点的幂函数有( A.0 个 C.2 个 [答案] B ) B.1 个 D.3 个
1 2 3 1 3

[解析] 函数 gi(x)的零点就是方程 gi(x)=0 的根,亦即方程 fi(x) +3x=0 的根,也就是函数 fi(x)与 y=-3x 的图象的交点,作出函数 fi(x)(i=1,2,3,4)的图象,可知只有 f2(x)的图象与 y=-3x 的图象有两 个不同的交点,故能使 gi(x)有两个零点的幂函数只有 f2(x),选 B. 6.(2011· 青岛一中模拟)函数 f(x)=(m2-m-1)xm2-2m-3 是幂函 数,且在(0,+∞)上是减函数,则实数 m 的值为( A.2 C.4 [答案] A B.3 D.5 )

[解析] 由题意知 m2-m-1=1,得 m=-1 或 m=2,又由题 意知 m2-2m-3<0,得 m=2.故选 A.
? 1? 7. (文)(2011· 许昌期末)幂函数 y=f(x)的图象过点?4,2?, 那么 f(8) ? ?

的值为________. [答案] [解析] 2 4 1 1 设 f(x)=xα,由条件知 =4α,∴α=- , 2 2
- 1 2

∴f(x)=x

,∴f(8)=

2 . 4

?1 1? (理)若幂函数 f(x)的图象经过点 A?4,2?,则它在 A 点处的切线 ? ?

方程为________. [答案] [解析] 4x-4y+1=0 设 f(x)=xα,∵f(x)图象过点 A,
1

2 ?1? 1 1 ∴?4?α= ,∴α= .∴f(x)=x , 2 2 ? ?

?1? 1 ∴f′(x)= ,∴f′?4?=1, ? ? 2 x ? 1? 1 故切线方程为 y- =1×?x-4?, 2 ? ?

即 4x-4y+1=0. 8.已知函数
1-a f(x)=x 3

的定义域是非零实数,且在 (-∞,0)

上是增函数,在(0,+∞)上是减函数,则最小的自然数 a=________. [答案] 3

[解析] ∵f(x)的定义域是{x|x∈R 且 x≠0}, ∴ 1-a <0,∴a>1. 3

又∵f(x)在(-∞,0)上是增函数,在(0,+∞)上是减函数,∴f(x) 为偶函数,∵a∈N,∴a 的最小值为 3.

1 1.(2011· 湖北理, 2)已知 U={y|y=log2x, x>1}, P={y|y=x, x>2}, 则?UP=( ) 1 B.(0, ) 2 1 D.(-∞,0]∪[ ,+∞) 2

1 A.[ ,+∞) 2 C.(0,+∞) [答案] A

1 [解析] ∵U={y|y=log2x,x>1}=(0,+∞),P={y|y=x,x>2} 1 =(0, ), 2 1 ∴?UP=[ ,+∞). 2


2.(文)y=|x

1 3

|的图象为(

)

[答案] [解析]

A


y=|x

1 3

|为偶函数,故选 A.

ax+b (理)(2010· 山东省实验中学)设函数 f(x)= 2 的图象如图, 则 a, x +c b,c 满足( )

A.a>b>c C.b>a>c [答案] [解析] D

B.a>c>b D.b>c>a

f(x)的图象关于 y 轴对称,∴a=0,∵y=x2+c 在(0,+ b 在(0,+∞)上单减,且 f(x)定义域为 R, x +c
2

∞)上单增,又 f(x)=

b ∴b>0,c>0,又 f(0)= c>1,∴b>c,故选 D. 3.(文)幂函数 y=x-1 及直线 y=x,y=1,x=1 将平面直角坐标 系的第一象限分在八个“区域”:①,②,③,④,⑤,⑥,⑦,⑧ (如图所示),那么幂函数 y=x 的图象经过的“区域”是(
1 2

)

A.⑧,③ C.⑥,① [答案] [解析] D

B.⑦,③ D.⑤,①

1 y=x 是增函数,∵ <1,∴其图象向上凸,过点(0,0), 2

1 2

(1,1),故经过区域①,⑤. (理)幂函数 y=xα (α≠0),当 α 取不同的正数时,在区间[0,1] 上它们的图象是一族美丽的曲线(如图).设点 A(1,0),B(0,1),连结 AB,线段 AB 恰好被其中的两个幂函数 y=xα,y=xβ 的图象三等分, 即有 BM=MN=NA.那么,αβ=( )

A.1 C.3 [答案] A
? ? ?

B.2 D.无法确定

?1 2? ?2 1? [解析] 由条件知,M?3,3?、N?3,3?, ? ?1? ??1? ? ?2? 1 ?2? 2 ?1? 1 ∴ =?3?α, =?3?β,∴?3?αβ=??3?β?α=?3?α= ,∴αβ=1.故选 A. 3 ? ? 3 ? ? 3 ? ? ?? ? ? ? ?

4.如下图所示曲线是函数 f(x)=x3+bx2+cx+d 的大致图象,
2 则 x2 1+x2等于(

)

8 A. 9 16 C. 9

10 B. 9 5 D. 4

[答案]

C

[解析] 由图可知 0、-1、2 是方程 f(x)=0 的根,∴b=-1,c =-2,d=0, ∴f(x)=x3-x2-2x,f′(x)=3x2-2x-2. 2 ? x + x = , 1 2 ? 3 又 x1、x2 是方程 f′(x)=0 的根,∴? 2 ? x x =- . 1 2 ? 3 4 4 16 2 2 ∴x2 . 1+x2=(x1+x2) -2x1x2= + = 9 3 9

?2 5.(文)函数 f(x)=? 1 2 ?x
范围是________. [答案] [解析]

-x

-1 ?x≤0? ,若 f(x0)>1,则 x0 的取值 ?x>0?

x0<-1 或 x0>1

3 1 (理)在 y=( )x, y=log2x, y=x2, y=x 四个函数中, 当 0<x1<x2<1 2

2

x1+x2 f?x1?+f?x2? 时,使 f( )> 恒成立的函数个数是________. 2 2 [答案] [解析] 2个 x1+x2 f?x1?+f?x2? 当 0<x1<x2<1 时,使 f( )> 恒成立,说明 2 2

函数图形是向上凸的,而所考查函数图象只有 y=log2x,y=x 两个 符合要求. 6.(文)已知 f(x)=xα(其中 α= 1 ,n 是偶数)的图象在 -n +2n+3
2

2 3

[0,+∞)上单调递增,解不等式 f(x2-x)>f(x+3). [解析] 由条件知 1 >0,即-n2+2n+3>0, -n +2n+3
2

解得-1<n<3.又 n 是偶数,∴n=0,2. 当 n=0,2 时,f(x)=x .∴f(x)在 R 上单调递增. ∴f(x2-x)>f(x+3)转化为 x2-x>x+3, 解得 x<-1 或 x>3, ∴原不等式的解集为(-∞,-1)∪(3,+∞). x -x 5
1 3 1 -3 1 3

(理)已知函数 f(x)=

,g(x)=

x +x 5

1 3

-1 3
.

(1)证明 f(x)是奇函数,并求其单调区间; (2)分别计算 f(4)-5f(2)g(2)和 f(9)-5f(3)g(3)的值, 并由此概括一 个涉及函数 f(x),g(x)的对所有非零实数 x 都成立的等式,并证明. [解析] 点对称, (1)证明:因为 f(x)的定义域(-∞,0)∪(0,+∞)关于原

故 f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数.又因为 f(x)是奇函数,所 以 f(x)在(-∞, 0)上也是单调递增函数, 即 f(x)的单调递增区间是(- ∞,0)和(0,+∞). (2)经过计算可得 f(4)-5f(2)g(2)=0,f(9)-5f(3)g(3)=0,由此可 得对所有非零实数 x 都成立的一个等式是 f(x2)-5f(x)g(x)=0.证明如 下:

7.(文)如图所示,函数图象由两条射线及抛物线的一部分组成, 求函数的解析式.

[解析]

如图,设左侧射线对应的解析式为: y=kx+b(x≤1),

? ? ?k+b=1 ?k=-1 将点(1,1),(0,2)代入得? ,解得? ,所以左侧射线对 ?b=2 ? ? ?b=2

应的函数解析式是 y=-x+2(x≤1);同理,x≥3 时,函数解析式为: y=x-2(x≥3);再设抛物线段的解析式为 y=a(x-2)2+2(1≤x≤3, a<0),将(1,1)代入得,a+2=1,∴a=-1, ∴抛物线的解析式为 y=-x2+4x-2(1≤x≤3). 综上知,函数解析式为 -x+2 ? ? 2 y=?-x +4x-2 ? ?x-2 ?x≥3? ?x<1? ?1≤x<3? .

(理)已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)且满足 f(-1)=0,对
?x+1?2 ?. 任意实数 x,恒有 f(x)-x≥0,并且当 x∈(0,2)时,有 f(x)≤? ? 2 ?

(1)求 f(1)的值; (2)证明 a>0,c>0; (3)当 x∈[-1,1]时,函数 g(x)=f(x)-mx(x∈R)是单调函数,求 证:m≤0 或 m≥1. [解析] (1)对 x∈R,f(x)-x≥0 恒成立,

当 x=1 时,f(1)≥1,
?1+1?2 ? =1, 又∵1∈(0,2),由已知得 f(1)≤? ? 2 ?

∴1≤f(1)≤1,∴f(1)=1. (2)证明:∵f(1)=1,f(-1)=0,∴a+b+c=1, 1 1 a-b+c=0,∴b= .∴a+c= . 2 2 ∵f(x)-x≥0 对 x∈R 恒成立, 1 ∴ax2- x+c≥0 对 x∈R 恒成立, 2

? ?a>0 ∴? ,∴? 1 ac≥ ?Δ≤0 ?

a>0

,∴c>0,故 a>0,c>0.

16

1 1 (3)证明:∵a+c= ,ac≥ ,由 a>0,c>0 及 a+c≥2 ac,得 2 16 1 1 1 ac≤ ,∴ac= ,当且仅当 a=c= 时,取“=”. 16 16 4 1 1 1 ∴f(x)= x2+ x+ . 4 2 4
?1 ? 1 1 1 ∴g(x)=f(x)-mx= x2+?2-m?x+ = [x2+(2-4m)x+1]. 4 4 4 ? ?

∵g(x)在[-1,1]上是单调函数, ∴2m-1≤-1 或 2m-1≥1,∴m≤0 或 m≥1.

1. (2010· 东营质检)函数 y=|x|与 y= x2+1在同一坐标系的图象 为( )

[答案]

A

[解析] 由 y= x2+1得,y2-x2=1(y≥1),它表示焦点在 y 轴 上的等轴双曲线的上支,它以 y=± x 的其渐近线,故选 A. 2.(2010· 湖南理,8)有 min{a,b}表示 a,b 两数中的最小值, 1 若函数 f(x)=min{|x|,|x+t|}的图象关于直线 x=- 对称,则 t 的值 2 为( ) A.-2 C.-1 [答案] D B.2 D.1

[解析] 如图,要使 f(x)=min{|x|,|x+t|}的图象关于直线 x=- 1 对称,则 t=1. 2

?2-x-1 ?x≤0? ? 3.已知函数 f(x)=? ,若方程 f(x)=x+a 有且只 ? ?f?x-1??x>0?

有两个不相等的实数根,则实数 a 的取值范围是________. [答案] (-∞,1)

[解析] 在同一直角坐标系内画出函数 y=f(x)和 y=x+a 的图象 如图可知 a<1.

4.(2011· 福建质量检查)设 a>1,若仅有一个常数 c 使得对于任 意的 x∈[a,2a],都有 y∈[a,a2],满足方程 logax+logay=c,这时 a 的取值的集合为________. [答案] [解析] {2} ac ac 1 c - 1 依题意得 y= x ,当 x∈[a,2a]时,y= x ∈[ a ,ac-1] 2

1 c 1 ? a ≥a ?[a,a2],因此有?2 ?ac 1≤a2
- -



即 2a≤ac-1≤a2,又常数 c 是唯一的,因此 a2=2a, 又 a>1,所以 a=2. 5.函数 f(x)=2x 和 g(x)=x3 的图象的示意图如图所示.设两函 数的图象交于点 A(x1,y1)、B(x2,y2),且 x1<x2.

(1)请指出示意图中曲线 C1、C2 分别对应哪一个函数? (2) 若 x1 ∈ [a , a + 1] , x2 ∈ [b , b + 1] , 且 a , b ∈ {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12},指出 a、b 的值,并说明理由; (3)结合函数图象示意图,请把 f(8)、g(8)、f(2012)、g(2012)四个 数按从小到大的顺序排列. [解析] (1)C1 对应函数 g(x)=x3,C2 对应函数 f(x)=2x.

(2)由于交点 A(x1,y1),B(x2,y2),令 h(x)=f(x)-g(x),显然有 h(1)=f(1)-g(1)=1>0,h(2)=f(2)-g(2)=-4<0,h(9)=29-93=- 217<0,h(10)=24>0,∴x1∈[1,2],x2∈[9,10],∴a=1,b=9. (3)由幂函数及指数函数增长率可知,f(8)<g(8)<g(2012)<f(2012).

1.(2011· 汕头一检)若方程 x2-2mx+4=0 的两根满足一根大于 1,一根小于 1,则 m 的取值范围是( 5 A.(-∞,- ) 2 C.(-∞,-2)∪(2,+∞) [答案] B ) 5 B.( ,+∞) 2 5 D.(- ,+∞) 2

[解析] 设 f(x)=x2-2mx+4,则题设条件等价于 f(1)<0,即 1 5 -2m+4<0?m> ,故选 B. 2 2.(文)若二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的对称轴在 y 轴右边,则函 数 f′(x)的图象可能是( )

[答案]

B b >0,则 ab<0, 2a

[解析] 由题意知对称轴 x=-

∴a>0,b<0 或 a<0,b>0,又 f′(x)=2ax+b,故选 B. (理)函数 f(x)=ax2+bx+c 与其导函数 f′(x)在同一坐标系内的 图象可能是( )

[答案]

C

[解析] 若二次函数 f(x)的图象开口向上,则导函数 f′(x)为增 函数,排除 A;同理由 f(x)图象开口向下,导函数 f′(x)为减函数, 排除 D;又 f(x)单调增时,f′(x)在相应区间内恒有 f′(x)≥0,排除 B,故选 C. 3.(文)(2010· 安徽)设 abc>0,二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的图象 可能是( )

[答案]

D

b [解析] 若 a<0,则只能是 A 或 B 选项,A 中- <0,∴b<0, 2a 从而 c>0, 与 A 图不符; B 中- b >0, ∴b>0, ∴c<0, 与 B 图不符. 若 2a

a>0,则抛物线开口向上,只能是 C 或 D 选项,当 b>0 时,有 c>0 b 与 C、D 图不符,当 b<0 时,有 c<0,此时- >0,f(0)=c<0,故选 2a D. (理)若方程 2ax2-x-1=0 在(0,1)内恰有一解,则 a 的取值范围 为( ) A.a<-1 C.-1<a<1 [答案] [解析] B 令 f(x)=2ax2-x-1,当 a=0 时显然不适合题意. f(1)=2a-2 B.a>1 D.0≤a<1

∵f(0)=-1<0

∴由 f(1)>0 得 a>1,又当 f(1)=0,即 a=1 时,2x2-x-1=0 两 1 根 x1=1,x2=- 不合题意,故选 B. 2

4.函数 f(x)对任意 x∈R,满足 f(x)=f(4-x).如果方程 f(x)=0 恰有 2011 个实根,则所有这些实根之和为( A.0 C.4022 [答案] C B.2011 D.8044 )

[解析] ∵x∈R 时,f(x)=f(4-x),∴f(x)图象关于直线 x=2 对 称,实根之和为 2×2011=4022. 5.已知方程|x|-ax-1=0 仅有一个负根,则 a 的取值范围是 ( ) A.a<1 C.a>1 [答案] D B.a≤1 D.a≥1

[解析] 数形结合判断.

? ?x+2,x≤0 6.已知函数 f(x)=? ,则不等式 f(x)≥x2 的解集是 ?-x+2,x>0 ?

(

) A.[-1,1] C.[-2,1] [答案] A B.[-2,2] D.[-1,2]

[解析] 依题意得

? ?x>0 ?x≤0 ? ? 2 ?-1≤x≤0 或 0<x≤1? 2 或 ?x+2≥x ?-x+2≥x ?

-1≤x≤1,故选 A. [点评] 可取特值检验,如 x=-2,2 可排除 B、C、D.
? ?2,x∈[-1,1] 7.已知函数 f(x)=? ,若 f[f(x)]=2,则 x 的取 ? ?x,x?[-1,1]

值范围是________. [答案] [解析] {x|-1≤x≤1 或 x=2} 若 x∈[-1,1],则有 f(x)=2?[-1,1],

∴f(2)=2,∴-1≤x≤1 时,x 是方程 f[f(x)]=2 的解.若 x?[- 1,1],则 f(x)=x?[-1,1], ∴f[f(x)]=x,此时若 f[f(x)]=2,则有 x=2, ∴x=2 是方程 f[f(x)]=2 的解. 8.(2011· 佛山二检)若函数 f(x)=ax+b(a≠0)的一个零点是 1, 则函数 g(x)=bx2-ax 的零点是________. [答案] 0 或-1

[解析] 由题意知 ax+b=0(a≠0)的解为 x=1, ∴b=-a, ∴g(x) =-ax2-ax=-ax(x+1),令 g(x)=0,则 x=0 或 x=-1.

?2x,x>0, ? 1.(2011· 福建文,8)已知函数 f(x)=? 若 f(a)+f(1) ?x+1,x≤0, ?

=0,则实数 a 的值等于( A.-3 C.1

) B.-1 D.3

[答案]

A f(a)=-2.

[解析] ∵f(1)=21=2,∴由 f(a)+f(1)=0 知 当 a>0 时 2a=-2 不成立.

当 a<0 时 a+1=-2,a=-3. 2.已知函数 f(x)=2x2+(4-m)x+4-m,g(x)=mx,若对于任 一实数 x,f(x)与 g(x)的值至少有一个为正数,则实数 m 的取值范围 是( ) A.[-4,4] C.(-∞,4) [答案] C B.(-4,4) D.(-∞,-4)

[解析] 首先当 m=0 时, f(x)=2x2+4x+4=2(x+1)2+2>0 恒成 立,故 m=0 满足条件,排除 D;当 m=4 时,f(x)=2x2,g(x)=4x. 当 x=0 时,f(x)=g(x)=0,故 m≠4,排除 A;当 m=-4 时,f(x) =2x2+8x+8=2(x+2)2,g(x)=-4x,当 x≠-2 时,f(x)>0,当 x= -2 时,g(x)>0,故排除 B. 3.若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则 称这些函数为“孪生函数”.那么函数的解析式为 y=2x2+1,值域 为{5,19,1}的“孪生函数”共有( A.4 个 C.8 个 [答案] [解析] D 由 2x2+1=1 得 x=0; ) B.6 个 D.9 个

由 2x2+1=5 得 x=± 2, 由 2x2+1=19 得 x=± 3, 要使函数的值域为{5,19,1}, 则上述三类 x 的值都要至少有一个,

因此 x=0 必须有,x=± 2可以有一个,也可以有 2 个,共有三种情 形,对于它的每一种情形,都对应 x=± 3 的三种情形,即定义域可以 是{0, 2,3},{0, 2,-3},{0, 2,3,-3},{0,- 2,3}, {0,- 2,-3},{0,- 2,3,-3},{0, 2,- 2,3},{0, 2, - 2,-3},{0, 2,- 2,3,-3}共 9 种,故选 D.
2 ? ?x +bx+c?x≤0?, 4.(文)设函数 f(x)=? 若 f(-4)=f(0),f(-2) ?π?x>0?, ?

=-2,则方程 f(x)=x 的解的个数为( A.4 个 C.2 个 [答案] C

) B.3 个 D.1 个

[解析] 依题意得 16-4b+c=c,∴b=4. 又∵4-2b+c=-2,∴c=2,
2 ? ?x +4x+2,x≤0, ∴函数解析式为 f(x)=? ? ?π,x>0. 2 ? ?x +4x+2,x≤0, 则方程 f(x)=x 转化为 x=? ?π,x>0. ?

解得 x1=-2,x2=-1,x3=π. (理)已知 f(x)=(x-a)(x-b)-2(a<b),并且 α、β 是方程 f(x)=0 的两个根(α<β),则实数 a、b、α、β 的大小关系可能是( A.α<a<b<β C.a<α<b<β [答案] [解析] A 设 g(x)=(x-a)(x-b),则 f(x)=g(x)-2,分别作出这两 B.a<α<β<b D.α<a<β<b )

个函数的图象,如图所示,可得 α<a<b<β,故选 A.

5.(文)已知函数 f(x)=x2-2x+2 的定义域和值域均为[1,b], 则 b 等于________. [答案] [解析] 2 ∵f(x)=(x-1)2+1,∴f(x)在[1,b]上是增函数,f(x)max

=f(b),∴f(b)=b, ∴b2-2b+2=b,∴b2-3b+2=0,∴b=2 或 1(舍). (理)(2011· 江南十校联考)已知函数 f(x)的自变量的取值区间为 A, 若其值域也为 A,则称区间 A 为 f(x)的保值区间.函数 f(x)=x2 的形 如[n,+∞)(n∈(0,+∞))的保值区间是________. [答案] [1,+∞)

[解析] 因为 f(x)=x2 在[n,+∞)(n∈(0,+∞))上单调递增,所 以 f(x)在[n,+∞)上的值域为[f(n),+∞),若[n,+∞)是 f(x)的保 值区间,则 f(n)=n2=n,解得 n=1. 6.函数 f(x)=(a+1)x+2a 在[-1,1]上的值有正有负,则实数 a 的取值范围是________. [答案] 1 (- ,1) 3

[解析] 由条件知,f(-1)· f(1)<0,

1 ∴(a-1)(3a+1)<0,∴- <a<1. 3 7.(2011· 辽宁沈阳模拟)二次函数 f(x)=ax2+bx+1(a>0),设 f(x) =x 的两个实根为 x1,x2. (1)如果 b=2 且|x2-x1|=2,求 a 的值; (2)如果 x1<2<x2<4,设函数 f(x)图象的对称轴为 x=x0,求证: x0>-1. [解析] (1)当 b=2 时,f(x)=ax2+2x+1(a>0),方程 f(x)=x 为

ax2+x+1=0. |x2-x1|=2?(x2-x1)2=4?(x1+x2)2-4x1x2=4. 1 1 由韦达定理可知,x1+x2=-a,x1x2=a. 代入上式可得 4a2+4a-1=0, 解得 a= -1+ 2 -1- 2 ,a= (舍去). 2 2

(2)∵ax2+(b-1)x+1=0(a>0)的两根满足 x1<2<x2<4, 设 g(x)=ax2+(b-1)x+1,
?g?2?<0, ?4a+2?b-1?+1<0 ? ? ∴? 即? ?g?4?>0, ? ? ?16a+4?b-1?+1>0

1 ? 2 a > ? 4, ?? 1 ? b < ? 4.

∴2a-b>0. b 又∵函数 f(x)的对称轴为 x=x0,∴x0=- >-1. 2a

1.已知函数 f(x)=x2+2x+3 在[m,0]上有最大值 3,最小值 2, 则 m 的取值范围是________.

[答案] [解析]

[-2,-1] f(x)=x2+2x+3=(x+1)2+2,对称轴 x=-1,开口向

上,f(-1)=2,∴m≤-1. 又 f(0)=f(-2)=3,∴m≥-2,故 m∈[-2,-1]. 2.设函数 f(x)=x2+(2a-1)x+4,若 x1<x2,x1+x2=0 时,有 f(x1)>f(x2),则实数 a 的取值范围是________. [答案] 1 a< 2 1-2a 1 >0,得 a< . 2 2

[解析] 由题意得

3.若函数 f(x)=x2+2(a-1)x+2 在区间[1,2]上是单调函数,则 a 的取值范围是______________. [答案] a≤-1 或 a≥0

[解析] 由于 f(x)在[1,2]上是单调函数且开口向上,所以只需对 称轴 x=1-a≤1 或 x=1-a≥2,所以 a≤-1 或 a≥0. 4.已知关于 x 的函数 f(x)=x2-2x-3,若 f(x1)=f(x2)(x1≠x2), 则 f(x1+x2)等于________. [答案] -3

[解析] ∵二次函数 f(x)=x2-2x-3 中, a=1, b=-2, c=-3, ∴由 f(x1)=f(x2)得, x1+x2 b =- =1, 2 2a

所以 x1+x2=2,则 f(x1+x2)=f(2)=-3.


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