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3.3.1函数的单调性与导数(二).ppt1_图文

复习回顾:

函数的单调性与导数(二)

如果 f ?( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x ) 在这个区间内单调递增; 如果 f ?( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x ) 在这个区间内单调递减;

在某个区间 (a , b) 内,

注:如果恒有 f ?( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内是 常数函数.

基础训练: 增 1.函数y= x-3在[-3,5]上为______ 函数(填“增”或“减”). 2.函数 y =x2-3x 在[2,+∞)上为 减 函数, 增 函数,在(-∞,1]上为___ ___ (填“增”或“减”).

3.当x∈(-2,1)时,f(x)=2x3+3x212x+1是( B ) (A)增函数 (B)减函数 (C)部份单调增,部分单调减 (D)单调性不能确定

含有参数的函数的单调性
求参数的范围

1 已知函数( f x) ? 2ax ? 2 , x x ?(0 ,1],若( f x)在x ?(0 ,1] 上是增函数,求a的取值范围.

例1:

因为函数在(0,1]上单调递增
而g(x ) ? ?

2 解:由已知得 f '(x) ? 2a ? 3 x

1 ? f '(x)>0,即a ? - 3 在x ? (0, 1]上恒成立 x 1
x ? g(1)=-1 ? a ? -1
3

在(0, 1]上单调递增,

? g(x )max

对x ? (0, 1)也有f '(x)〉 0

2 当a ? ?1时,f '(x) ? ?2 ? 3 x

? a ? -1时,( f x)在(0, 1)上是增函数

所以a的范围是[-1,+?)

在某个区间上, f '(x)>0(或<0) , f(x)在这个区间上单调递增(递减 );但由f(x)在这个区间上单调递 增(递减)而仅仅得到 f '(x)>0(或<0) 是不够的。还有可能导数等于0也能 使f(x)在这个区间上单调,所以对 于能否取到等号的问题需要单独验证

例2:若函数f(x) ? ax - x ? x - 5在(-?,+?)
3 2

上单调递增,求a的取值范围

1 a ? 3

练习1
3

已知函数f (x )= 2ax - x ,x ?(0, 1],a ? 0, 若f (x )在(0, 1]上是增函数,求a的取 值范围。
3 [ , ?? ) 2

练习2:
已知函数f(x)=ax? +3x? -x+1在R上 是减函数,求a的取值范围。
解:f(x)=ax? +3x? -x+1在R上是减函数, ∴f’(x)=3ax2+6x-1≤0在R上恒成立, ∴a<0且△=36+12a≤0, ∴a ≤-3

3.当 k ? _____ 时, f ( x ) ? x ? kx 在 [0 , 2] 上是减函数.
3 2

2k 解答:f ?( x ) ? 3 x ? kx ? x(3 x ? 2k ) , 由题意知 (0, ? ) 3 2k 是函数的单调减区间,因此 ? ≥ 2, 即k ≤ ?3 . 3
2

3 2.函数y=a(x -x)的减区间为

3 3 则 a 的取值范围为 (? , ) 3 3 ( A )
(? 3 3 , ) 3 3

(A)a>0 (B)–1<a<1 (C)a>1 (D) 0<a<1

补例:不等式证明问题

1、已知:x>0,求证:x>sinx.
? [解析] 设f(x)=x-sinx (x>0) ? f′(x)=1-cosx≥0对x∈(0,+∞)恒成立 ? ∴函数f(x)=x-sinx在(0,+∞)上是单调增函 数 ? 又f(0)=0∴f(x)>0对x∈(0,+∞)恒成立 ? 即:x>sinx (x>0).

2、方程根的问题 1 求证:方程 x ? sin x ? 0 只有一 2 个根。 1
2 1 f '( x ) ? 1 ? cos x ? 0 2 ? f(x )在( ? ?, ? ?)上是单调函数, 而当x ? 0时,( f x) =0 1 ? 方程x ? sin x ? 0有唯一的根x ? 0. 2 f(x)? xsin x, x ? ( ?? , ?? )


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