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北师大版高中数学必修1第三章《指数函数与对数函数》全部教案

指数运算复习
a ?a ? ?a

a ?
n

na



a0 ?
a ?n ?
(1). a a ?
m n

(a≠0) (a≠0,n∈N+) ; (2). (a m )n ? (4).当 a ? 0 时,有 ;

(3). (ab) ?
n



am ? an

? ?a m ? n , 当 m ? n 时 ? ? 1, 当m ? n 时 ? 1 ? n ? m 当m ? n 时 ?a

(5). ( ) ?
n

a b

(b ? 0)

(Ⅰ)分数指数幂 1.a 的

1 n 次幂:一般地,给定正实数 a ,对于给定的正整数 n ,存在唯一的正实数 b ,使得 b ? a ,我 n

1 1 1 1 3 5 3 n 们把 b 叫做 a 的 次幂,记作 b ? a .例如: a ? 29 ,则 a ? 29 ; b ? 36 ,则 b ? 36 5 . n 2 3

由于 4 ? 8 ,我们也可以记作 8 ? 4
3 2

2. 正分数指数幂:一般地,给定正实数 a ,对于任意给定的正整数 m,n ,存在唯一的正实数 b ,使得

bn ? a m , 我们把 b 叫做 a 的
2

m m 3 2 次幂 , 记作 b ? a n , 它就是正分数指数幂.例如: b ? 7 , 则 n

b ? 7 3 ; x 5 ? 33 ,则 x ? 35 等.
m 说明: 有时我们把正分数指数幂写成根式的形式 ,即 a n ? n a (a ? 0) ,例如: 25 2 ? m
1

3

25 ? 5 ;

27 3 ? 3 27 2 ? 9
(2)实数指数幂同样适用以下运算性质:

2

a ? a ? ? a ???

? ? ; (a ) ? a

??

;

(ab)? ? a ? b? (其中 a ? 0, b ? 0, ?, ? 为实数).
?

(3)实数指数幂满足性质:若 a ? 0, ? 是实数,则 a >0. (4)在这里我们只讨论底数大于 0 的实数指数幂. (5)对于每一个实数 ? ,我们都定义了一个实数指数幂 a (a ? 0) 与它对应,这样可以把有理指数 函数扩展到实数指数函数,称为指数函数.
?

1

指数函数 y ? a x ( a >0 且 a ≠1) ,当底数越大时,函数图象间有什么样的关系. 图象特征 函数性质 0< a <1

a >1

a >1

0< a <1

向 x 轴正负方向无限延伸 图象关于原点和 y 轴不对称 函数图象都在 x 轴上方 函数图象都过定点(0,1) 自左向右, 图象逐渐上升 在第一象限内的图 象纵坐标都大于 1 在第二象限内的图 象纵坐标都小于 1 自左向右,

函数的定义域为 R 非奇非偶函数 函数的值域为 R
+

a 0 =1
增函数 减函数

图象逐渐下降 在第一象限内的图 象纵坐标都小于 1 在第二象限内的图 象纵坐标都大于 1

x >0, a x >1

x >0, a x <1

x <0, a x <1

x <0, a x >1

5.利用函数的单调性,结合图象还可以看出: (1)在 [a, b] 上, f (x )=a x ( a >0 且 a ≠1)值域是

[ f (a), f (b)]或[ f (b), f (a)];(2)若 x ? 0, 则f (x)? 1; f (x)取遍所有正数当且仅当x ? R;(3)
x 对于指数函数 f ( x) ? a ( a >0 且 a ≠1) ,总有 f (1) ? a; (4)当 a >1 时,若 x1 < x2 ,则 f ( x1 )

< f ( x2 ) 。

2

对数函数
1、对数的概念 一般地,若 a x ? N (a ? 0, 且a ? 1) ,那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作 x ? loga N

a 叫做对数的底数,N 叫做真数.
举例:如: 42 ? 16, 则2 ? log4 16 ,读作 2 是以 4 为底,16 的对数.

4 ? 2 ,则
4、两类对数

1 2

1 1 ? log 4 2 ,读作 是以 4 为底 2 的对数. 2 2

① 以 10 为底的对数称为常用对数, log10 N 常记为 lg N . ② 以无理数 e=2.71828…为底的对数称为自然对数, loge N 常记为 ln N .

ab ? N ? b ? loga N (a >0 且 a ≠1)
1 的对数是零,负数和零没有对数 对数的性质

l o ag a?
a loga N ? N

1 a >0 且 a ≠1

指数的运算性质.

a m ? a n ? a m? n ;

a m ? a n ? a m? n

(a m )n ? a m n;

m

n m a? a

n

如果 a >0 且 a ≠1,M>0,N>0,那么: (1) loga MN ? loga M ? loga N ; (2) log a (3) loga M n ? n loga M

M ? log a M ? log a N N

(n ? R)

一般地,我们把函数 y ? loga x ( a >0 且 a ≠1)叫做对数函数,其中 x 是自变量,函数的定义 域是(0,+∞) . 分析对数函数的定义探究对数函数的图象、性质. 函 数 y = loga x (a>1) y = loga x (0<a<1)





3

定义域 值 单调性 过定点 取值范围 域

R+ R 增函数 (1,0) 0<x<1 时,y<0;x>1 时,y>0

R+ R 减函数 (1,0) 0<x<1 时,y>0;x>1 时,y<0

(一) 、复习对数函数的概念、图象与性质 图象的特征 (1)图象都在 y 轴的右边 (2)函数图象都经过(1,0)点 (3)从左往右看,当 a >1 时,图象逐渐 上升,当 0< a <1 时,图象逐渐下降 . 函数的性质 (1)定义域是(0,+∞) (2)1 的对数是 0
x (3)当 a >1 时, y ? loga 是增函数,当

0< a <1 时, y ? loga x 是减函数. (4)当 a >1 时

(4)当 a >1 时,函数图象在(1,0)点 右边的纵坐标都大于 0,在(1,0)点左 边的纵坐标都小于 0. 当 0< a <1 时,图 象正好相反,在(1,0)点右边的纵坐标 都小于 0,在(1,0)点左边的纵坐标都 大于 0 .

x >1,则 loga x >0
0< x <1, loga x <0 当 0< a <1 时

x >1,则 loga x <0
0< x <1, loga x <0

a >1

0< a <1

图 象

4

(1)定义域(0,+∞) ; 性 质 (2)值域 R; (3)过点(1,0) ,即当 x =1, y =0; (4)在(0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)是上减函数

在指数函数 y ? 2x 中, x 是自变量, y 是 x 的函数( x ? R, y ? R? ) ,而且其在 R 上是单调 递增函数. 过 y 轴正半轴上任意一点作 x 轴的平行线, 与 y ? 2x 的图象有且只有一个交点.由指数 式与对数式关系, y ? 2x 得x ? log2 y ,即对于每一个 y ,在关系式 x ? log 2 y 的作用之下,都有 唯一的确定的值 x 和它对应,所以,可以把 y 作为自变量, x 作为 y 的函数,我们说

x ? log2 y是y ? 2x ( x ? R)的反函数 .

5


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