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双曲线的几何性质

双曲线的简单几何性质
一、要点精讲 1.双曲线的标准方程和几何性质
标准方程

x2 y 2 ? =1(a>0,b>0) a2 b2

y2 x2 ? =1(a>0,b>0) a2 b2





范围 对称性

x ? a 或 x ? ?a , y ? R
对称轴: 坐标轴 ; 对称中心: 原点

x ? R , y ? a 或 y ? ?a

渐近线

y??

b x a

y??

a x b

顶点 坐标

A1 ?? a,0? , A2 ?a,0 ? B1 ?0,?b ? , B2 ?0, b ?
实轴 A1 A2 的长为 2a 虚轴 B1 B2 的长为 2b

A1 ?0,?a ? , A2 ?0, a ? B1 ?? b,0? , B2 ?b,0 ?

轴 离心率

e?

c ? 1 ,其中 c ? a 2 ? b 2 a

e?

c ? 1 ,其中 c ? a 2 ? b 2 a

准线

a2 准线方程是 x ? ? c

a2 准线方程是 y ? ? c

2、双曲线的第二定义:在平面内,到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数

e ?e ?

? ?

c ? ? 1? 的点的轨迹是双曲线,定点是双曲线的焦点,定直线叫做双曲线的准线,常 a ?

数 e 是双曲线的离心率. 3.等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,其标准方程为 x ? y ? ? ?? ? 0? ,离心率
2 2

e ? 2 ,渐近线方程 y ? ? x 。

1 / 10

4、 共 渐 近 线 的双 曲 线 系方 程 : 与

x2 y2 ? 2 =1 有相同 渐近线 的双 曲线系 方程 可设为 a2 b
轴上;若 ? ? 0 ,则双曲线的

x2 y 2 ? ? ? ?? ? 0? ,若 ? ? 0 ,则双曲线的焦点在 a2 b2
焦点在 轴上。

x2 y2 5 、 共 焦 点 的 双 曲 线 系 方 程 : 与 2 ? 2 =1 焦 点 相 同 的 双 曲 线 系 方 程 可 设 为 b a

x2 y 2 ? 2 ? 1? b 2 ? ? ? a 2 ? 2 a b
二、基础自测 1、 (2010 安徽理)双曲线方程为 x ? 2 y ? 1 ,则它的右焦点坐标为
2 2

A、 ?

? 2 ? ? 2 ,0? ? ? ?

B、 ?

? 5 ? ? 2 ,0? ? ? ?

C、 ?

? 6 ? ? 2 ,0? ? ? ?

D、

?

3, 0

?

2. 2013 年湖北) ( 已知 0 ? ? ?

x2 y2 y2 x2 π ? ? 1 与 C2 : ? 2 ?1 ,则双曲线 C1 : sin 2 ? cos 2 ? cos 2 ? sin ? 4
( )

的 A.实轴长相等 B.虚轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等

3. (2013 课标)已知双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的离心率为错误!未指定书签。, a 2 b2
( )

则 C 的渐近线方程为 A. y ? ?

1 x 4

B. y ? ?

1 x 3

C. y ? ?

1 x 2

D. y ? ? x

4. (2013 湖南)设 F1、F2 是双曲线 C,

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的两个焦点。若在 C 上存在一 a 2 b2

点 P,使 PF1⊥PF2, 且∠PF1F2=30°,则 C 的离心率为____ 3 ? 1 _______.

x2 y2 x2 y 2 ? ? 1 的焦点相同, 5. (2010 北京) 已知双曲线 2 ? 2 ? 1 的离心率为 2, 焦点与椭圆 25 9 a b
那么双曲线的焦点坐标为 ;渐近线方程为 。

?4, 0 3x ? y ? 0

2 / 10

x2 y2 6.(2012 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线 - 2 =1 的离心率为 5,则 m 的 m m +4 值为______. 解:由题意,双曲线的焦点在 x 轴上且 m>0,所以 e= 三、典例精析 题型一:求双曲线中的基本量 1、已知双曲线的方程 b x ? a y ? a b ?a ? 0, b ? 0? ,求双曲线的实半轴长和虚半轴长、
2 2 2 2 2 2

m2+m+4 = 5,所以 m=2. m

焦点坐标、渐近线方程.

2. 已知双曲线

x2 y2 ? ? 1(b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1 、 F2 ,其一条渐近线方程为 2 b2

y ? x ,点 P( 3, y 0 ) 在双曲线上.则 PF1 · PF2 =
A. -12 B. -2 C. 0 D. 4
2 2

解:由渐近线方程为 y ? x 知双曲线是等轴双曲线,∴双曲线方程是 x ? y ? 2 ,于是两 焦点坐标分别是(-2,0)和(2,0) ,且 P ( 3 ,1) 或 P( 3 ,?1) .不妨去 P ( 3 ,1) ,则

PF1 ? (?2 ? 3 ,?1) , PF2 ? (2 ? 3 ,?1)
. ∴

PF1

·

PF2



(?2 ? 3,?1)( 2 ? 3,?1) ? ?(2 ? 3 )( 2 ? 3 ) ? 1 ? 0
2 x2 y2 2 y 3.(2011 浙江)已知椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0)与双曲线 C2:x - =1 有公共的焦点, a b 4

C2 的一条渐近线与以 C1 的长轴为直径的圆相交于 A, 两点. C1 恰好将线段 AB 三等分, B 若 则( ) B.a2=13 1 C.b2= 2 D.b2=2

13 A.a2= 2

?y=2x, ? 解:依题意 a -b =5,根据对称性,不妨取一条渐近线 y=2x,由?x2 y2 解得 x= ? ?a2+b2=1,
2 2

3 / 10

±

ab , 4a2+b2

2 5ab 2 5ab 2a 2 2,又 C1 把 AB 三等分,所以 2 2= 3 ,两边平方并整 4a +b 4a +b 1 理得 a2=11b2,代入 a2-b2=5 得 b2= ,故选 C. 2 故被椭圆截得的弦长为 考点二:离心率问题 4、双曲线

x2 y 2 ? ? 1?a ? 0, b ? 0? 的右焦点 F2 到过点 A?a,0? , B?0, b? 的直线的距离等于 a 2 b2

双曲线虚半轴长的一半,求双曲线的离心率.

5、(2010 辽宁)设双曲线的一个焦点为 F,虚轴的一个端点为 B,如果直线 FB 与该双曲线的 一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为( A. 2 B. 3 C. 3+1 2 ). D. 5+1 2

x2 y2 b 解:设双曲线方程为 2- 2=1(a>0,b>0),F(c,0),B(0,b),则 kBF=- ,渐近线方程为 a b c b y=± x, a 5+1 bb 1± 5 ∴- ·=-1,即 b2=ac,c2-a2=ac,∴e2-e-1=0,解得 e= .又 e>1,∴e= . ca 2 2

x2 y2 ? ? 1 的离心率 e 的取值范围是 6、设 a ? 1 ,则双曲线 2 a ?a ? 1?2
(A)

?

2 ,2

?

(B)

?

2, 5

?

(C) ?2,5?
2

(D) 2, 5

?

?

7.(2012 浙江)如图,F1,F2 分别是双曲线 C: 轴的端点,直

x y2 ? 2 ? 1(a,b>0)的左、右焦点,B 是虚 a2 b

线 F1B 与 C 的两条渐近线分别交于 P,Q 两点,线段 PQ 的垂直平分线与 x 轴交与点 M,若 |MF2|=|F1F2|, 则 C 的离心率是 A.

2 3 3

B。

6 2

C. 2

D.

3

4 / 10

b ? ? y ? c x ? b, b ? 解:由题意知直线 F1B 的方程为: y ? x ? b ,联立方程组 ? c ?x ? y ? 0 ?a b ? b ? ? y ? c x ? b, ac bc ac bc ? 得点 Q ( 得点 P (? , ) ,联立方程组 ? , ) ,所以 PQ 的中点坐 c?a c?a c?a c?a ?x ? y ? 0 ?a b ? 2 2 ac c c2 c a 2c 标为 ( 2 , ) ,所以 PQ 的垂直平分线方程为: y ? ? ? ( x ? 2 ) ,令 y ? 0 ,得 b b b b b 2 2 a a x ? c(1 ? 2 ) ,所以 c(1 ? 2 ) ? 3c , b b
所以 a 2 ? 2b2 ? 2c 2 ? 2a 2 ,即 3a 2 ? 2c 2 ,所以 e ?

6 。故选 B 2

x2 y2 8.(2012 湖北)如图,双曲线 2- 2=1(a,b>0)的两顶点为 A1,A2,虚轴两 a b 端点为 B1,B2,两焦点为 F1,F2.若以 A1A2 为直径的圆内切于菱形 F1B1F2B2, 切点分别为 A,B,C,D.则 (1) 双曲线的离心率 e=__________. S1 (2) 菱形 F1B1F2B2 的面积 S1 与矩形 ABCD 的面积 S2 的比值 =__________. S2 解:(1)由图可知,点 O 到直线 F1B2 的距离 d 与圆 O 的半径 OA1 相等,又直线 F1B2 的方程 为 x y + =1, -c b bc 2 2 2 2 2=a,整理得得 c -a =ac.所以 e -e-1=0,解得 e= b +c

即 bx-cy+bc=0.所以 d= 5+1 (负值舍去). 2

(2)连接 OB(图略),设 BC 与 x 轴的交点为 E,由勾股定理得|BF1|= c2-a2=b. |F1B||OB| ab a2 = ,则|OE|= |OB|2-|BE|2 = . |F1O| c c 4a3b 1 S1 c3 1 进一步得到 S2=2|OE|· 2|EB|= 2 . 又因为 S1= |F1F2||B1B2|=2bc,所以 = 3= e3 c 2 S2 2a 2 5+2 = . 2 由等面积法得|BE|=
9. (2013 重庆)设双曲线 C 的中心为点 O ,若有且只有一对相较于点 O 、所成的角为 60 的
0

直线 A1 B1 和 A2 B2 ,使 A1 B1 ? A2 B2 ,其中 A1 、 B1 和 A2 、 B2 分别是这对直线与双曲线 C 的 交点,则该双曲线的离心率的取值范围是 zhangwlx ( )

5 / 10

A. (

2 3 , 2] 3

B. [

2 3 , 2) 3

C. (

2 3 , ??) 3

D. [

2 3 , ??) 3

b 3 b 解:设双曲线的焦点在 x 轴上,则由作图易知双曲线的渐近线的斜率 必须满足 < ≤ 3, a 3 a 1 ?b? 所以 < ? ? ≤3, 3 ?a? 4 2 ?b? <1+ ? ? ≤4,即有 3 3 ?a? 2 以 3 3<e≤2.
2 2

3< 1 ? ?

c ?b? ?b? ? ≤2.又双曲线的离心率为 e=a= 1 ? ? ? ,所 ?a? ?a?

2

2

10. (2011 江西)P( x0 , y 0 )( x0 ? ?a) 是双曲线 E :

x2 y2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 上一点,M , a2 b2

1 N 分别是双曲线 E 的左、右顶点,直线 PM , PN 的斜率之积为 . 5
(Ⅰ)求双曲线的离心率;

x2 y2 解 : 1 ) 点 P( x0 , y 0 )( x0 ? ?a) 是 双 曲 线 E : 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 上 , 有 ( a b
x0 y ? 02 ? 1 , 2 a b
由题意又有
2 2

y0 y0 1 c 30 ? ? , 可得 a 2 ? 5b 2 , 2 ? a 2 ? b 2 ? 6b 2 则 e ? ? c x0 ? a x0 ? a 5 a 5

题型三:求双曲线的方程

x2 y2 ? 11、求与双曲线 =1 有公共渐近线,并且经过点 P ? 3,4 3 的双曲线方程. 9 16

?

?

x2 y2 ? 12、求与双曲线 =1 有公共渐近线,且焦距为 20 的双曲线方程. 9 16

x2 y2 x2 y2 13.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)和椭圆 + =1 有相同的焦点,且双曲线的离心率 a b 16 9 是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为__________.

6 / 10

解:由题意知,椭圆的焦点坐标是(± 7,0),离心率是

7 2 7 c .故在双曲线中 c= 7,e= = , 4 4 a

x2 y2 故 a=2,b2=c2-a2=3,故所求双曲线的方程是 - =1. 4 3 6 14.双曲线 S 的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率 e= ,直线 3x-3y+5=0 上的点与 2 4 3 双曲线 S 的右焦点的距离的最小值等于 . 求双曲线 S 的方程; 3 x2 y2 解:(1)根据已知设双曲线 S 的方程为 2- 2=1(a>0,b>0). a b c 6 6 a2 ∵e= = ,∴c= a,b2=c2-a2= . a 2 2 2 ∴双曲线 S 的方程可化为 x2-2y2=a2,

4 3 ∵直线 3x-3y+5=0 上的点与双曲线 S 的右焦点的距离的最小值等于 ,右焦点为 3

? 6 ? a, 0 ? , ? ? 2 ? ? ?



? 3× 6a+5? 2 ? ? 4 3
2 3 = 3

,解方程得 a= 2.

∴双曲线 S 的方程为 x2-2y2=2.

15、已知双曲线的中心在原点,焦点 F1、F2 在坐标轴上,离心率为 2,且过点(4,- 10). (1)求双曲线方程; 的面积. 解:(1)∵e= 2,∴可设双曲线方程为 x2-y2=λ. ∵过点(4,- 10),∴16-10=λ,即 λ=6. ∴双曲线方程为 x2-y2=6. (2)若点 M(3,m)在双曲线上,求证: MF1 ? MF2 ;

???? ?

?????

(3)求△F1MF2

(2)∵ MF1 =(-3-2 3,-m), MF2 =(2 3-3,-m), ∴ MF1 ? MF2 =(3+2 3)×(3-2 3)+m2=-3+m2, ∵M 点在双曲线上,∴9-m2=6,即 m2-3=0,∴ MF1 ? MF2 ? 0

???? ?

?????

???? ???? ? ?

???? ????? ?

∴ MF1 ? MF2 .

???? ?

?????

(3)△F1MF2 的底|F1F2|=4 3,△F1MF2 的高 h=|m|= 3,∴S△F1MF2=6. 题型四:双曲线第二定义及其应用 16、在给定双曲线中,过焦点且垂直于实轴的弦长为 2 ,焦点到相应准线的距离为 双曲线的离心率为

1 ,则 2

A.

2 2

B. 2

C.

2

D. 2 2

7 / 10

17 、 已 知 双 曲 线

x2 y 2 ? ? 1 的 右 焦 点 F , 点 A?9,2? , 试 在 双 曲 线 上 求 一 点 M , 使 9 16

MA ?

3 MF 的值最小,并求这个最小值。 5

18、 已知双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1 b ? N ? 的两个焦点 F1 , F2 ,P 点在双曲线上,又 PF1 、 F1F2 、 4 b

?

?

PF2 成等比数列,并且 PF2 ? 4 ,如图所示,求双曲线方程。

五、能力提升 1.双曲线的两条渐近线的夹角为 60 ,该双曲线的离心率为
?





(A)

2 3 或2 3

(B)

2 2 或 2 3

(C)

3或2

(D)

3或 2

2.双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的 2 倍,且一个顶点的坐标为(0,2),则双曲 线的标准方程为
8 / 10

(A)

x2 y 2 ? ?1 4 4

(B)

y2 x2 ? ?1 4 4

(C)

y2 x2 ? ?1 4 8

(D)

x2 y 2 ? ?1 8 4

3.已知双曲线

x2 y2 5 ?1 ,A、F 分别是它的左顶点和右 ? 2 ? 1?a ? 0, b ? 0? 的离心率为 2 2 a b
) (C) 90
?

焦点,设 B(0,b),则∠ABF 为( (A) 30
?

(B)60

?

(D) 120

?

x2 y2 4. 若在双曲线 2 ? 2 ? 1?a ? 0, b ? 0? 的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个,则 a b
双曲线的离心率 e 的取值范围是( (A) e> 2
2

) (C) e>2 (D) 1<e<2

(B) 1<e< 2
2

5.双曲线与椭圆 4 x ? 3 y ? 1 有相同的焦点,它的一条渐近线方程为 x ? y ? 0 ,则双曲线 ) (A) x ? y ?
2 2

方程为 (

1 80

(B) y ? x ?
2 2

1 160

(C) y ? x ?
2 2

1 24

(D)

x2 ? y 2 ?

1 96
x2 y 2 ? ? 1 上一点 M 到右准线的距离是 10, F2 是右焦点, N 是 MF2 的中 25 24

6.已知双曲线

点,O 为坐标原点,则 ON 等于() (A)2 (B) 2 或 7 (C)7 或 12 (D) 2 或 12

点到一条渐近线的距离,则该双曲线的离心率为()

120 ,则双曲线的离心率 7.双曲线虚轴的一个端点为 M,两个焦点为 F1 , F2 , ?F1MF2 ?`
?





8、如图,已知 F1 , F2 为双曲线

x2 y2 ? ? 1?a ? 0, b ? 0? 的焦点,过 F2 作垂直于 x 轴的直线 a2 b2
?

交双曲线于点 P ,且 ?PF1F2 ?`30 ,求双曲线的渐近线方程.

9 / 10

9. 求以过原点且与圆 x ? y ? 4 x ? 3 ? 0 相切的两直线为渐近线, 且过椭圆 y ? 4 x ? 4 两
2 2 2 2

焦点的双曲线方程.

10、双曲线的渐近线为 y ? ?

3 x ,双曲线的同一支上的两点 M、N 到焦点 F 的距离之和为 4

16,求 MN 的中点 E 到相应于 F 的准线的距离.

11、双曲线 x ? y ? a 的两个焦点分别为 F1、F2,P 为双曲线上的任意一点,求证: PF1 、
2 2 2

PO 、 PF2 成等比数列.

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