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【精品PPT】2018-2019学年度最新高中数学苏教版必修5课件:第一章 解三角形 1.2.2


阶 段 一

阶 段 三

第 2 课时

余弦定理(2)
学 业 分 层 测 评

阶 段 二

1.理解余弦定理,能用余弦定理确定三角形的形状. 2.熟练边角互化.(重点)

[基础· 初探] 教材整理 射影定理和平行四边形的性质定理 阅读教材 P16~P17,完成下列问题. 1.射影定理 在△ABC 中, (1)bcos C+ccos B= a ; (2)ccos A+acos C= b ; (3)acos B+bcos A= c .

2.平行四边形性质定理 平行四边形两条对角线平方的和等于 四边平方的和 .

1 2 2 2 2 ? AB + AC ? - BC 特别地,若 AM 是△ABC 中 BC 边上的中线,则 AM= 2 .

1.在△ABC 中,若 BC=3,则 ccos B+bcos C=________. 【解析】 ccos B+bcos C=BC=3. 【答案】 3

2. 若△ABC 中, AB=1, AC=3, ∠A=60° , 则 BC 边上的中线 AD=________.

【解析】 在△ABC 中,由余弦定理可知 BC= 7. 1 ∴AD=2 2?AB2+AC2?-BC2 1 =2 2?1+9?-7 13 = 2 .
【答案】 13 2

[质疑· 手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问1:____________________________________________________ 解惑:_____________________________________________________ 疑问2:____________________________________________________ 解惑:_____________________________________________________ 疑问3:____________________________________________________ 解惑:_____________________________________________________

[小组合作型]

利用正、余弦定理解决实际问题

某巡逻艇在 A 处发现北偏东 45° 相距 9 海里的 C 处有一艘走私船, 正 沿南偏东 75° 的方向以 10 n mile/h 的速度向我海岸行驶,巡逻艇立即以 14 n mile/h 的速度沿着直线方向追去,问巡逻艇应该沿什么方向去追?需要多少时间才追赶
? 上该走私船?? ?已知sin ?

5 3? ? 38° 13′= 14 ? ?

【精彩点拨】 先画出示意图,再借助正、余弦定理求解.

【自主解答】

如图,设该巡逻艇沿 AB 方向经过 x h 后在 B 处追上走私船,

则 CB=10x,AB=14x,AC=9,∠ACB=75° +45° =120° ,由余弦定理,得(14x)2 =92+(10x)2-2×9×10xcos 120° ,

化简得 32x2-30x-27=0, 3 9 即 x=2或 x=-16(舍去), ∴巡逻艇需要 1.5 h 才追赶上该走私船. ∴BC=10x=15,AB=14x=21.

在△ABC 中,由正弦定理,得 BCsin 120° 15 3 5 3 sin∠BAC= =21× 2 = 14 . AB ∴∠BAC=38° 13′,或∠BAC=141° 47′(钝角不合题意,舍去), ∴38° 13′+45° =83° 13′. 答:巡逻艇应该沿北偏东 83° 13′方向去追,经过 1.5 h 才追赶上该走私船.

准确理解应用题中的有关名称、术语,如仰角、俯角、方位角等,将要求解 的问题归纳到一个或几个三角形中,通过合理运用余弦定理等解三角形的有关知 识,建立数学模型,然后正确求解.

[再练一题] 1.两船同时从 A 港出发,甲船以 20 n mile/h 的速度向北偏东 80° 的方向航行, 乙船以 12 n mile/h 的速度向北偏西 40° 方向航行, 求一小时后, 两船相距多少 n mile.
【解】 一小时后甲船到 B 处,乙船到 C 处,如图,△ABC 中,AB=20,AC =12,∠CAB=40° +80° =120° ,

由余弦定理, 得 BC2=202+122-2×20×12· cos 120° =784, ∴BC=28(n mile). 即一小时后,两船相距 28 n mile.

触新的教材相信不管是对于同学自己 而言还 是对于 家长朋 友们而 言,可 能都还 需要一 定的时 间去适 应,但 学习是 一刻也 不能松 懈的事 情,新 学期除 了适应 教材的 变化以 外,一 些试题 的变化 也必须 适应, 因此就 必须在 课下进 行一些 练习。 但是问 题就来 了,很 多家长 朋友都 表示孩 子现在 换了教 材,但 是自己 找到的 课外练 习题却 还是原 来的教 材版本 的,不 适应孩 子的教 材,不 知道该 怎么办 才好了 ,眼看 孩子马 上就要 结束第 一单元 的学习 了,可 是一直 没找大 适合的 资料, 没办法 进行课 后的巩 固练习 了。

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利用正、余弦定理判断三角形的形状

在△ABC 中,已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且 2cos Asin B=sin C, 试确定△ABC 的形状. 【导学号:91730012】
余弦定理 【精彩点拨】 (a+b+c)(a+b-c)=3ab――――――→求 C;
法一:恒等变换 2cos Asin B=sin C ――――――――→ 求 A 与 B 的关系. 法二:正、余弦定理

【自主解答】

∵(a+b+c)(a+b-c)=3ab,

∴a2+b2-c2=ab, ∴2abcos C=ab, 1 ∴cos C=2, π ∴C=3.

法一:又 2cos Asin B=sin C=sin(A+B) =sin Acos B+cos Asin B, ∴sin Acos B-cos Asin B=0, ∴sin(A-B)=0, ∴A=B, π ∴A=B=C=3, ∴△ABC 为等边三角形.

法二:由 2cos Asin B=sin C 可知 b2+c2-a2 2b× 2bc =c, 即 b2=a2,∴a=b, π ∴A=B=C=3, ∴△ABC 为等边三角形.

利用正、余弦定理判定三角形形状的策略

[再练一题]

2.在△ABC 中,若 B=60° ,2b=a+c,试判断△ABC 的形状.
【解】 法一 根据余弦定理得 b2=a2+c2-2accos B.

∵B=60° ,2b=a+c,
?a+c? ?2 2 2 ∴? = a + c -2accos ? 2 ? ? ?

60° ,

整理得(a-c)2=0,∴a=c. 又∵2b=a+c,∴2b=2a,即 b=a. ∴△ABC 是正三角形.

法二

根据正弦定理,

2b=a+c 可转化为 2sin B=sin A+sin C. 又∵B=60° ,∴A+C=120° ,∴C=120° -A, ∴2sin 60° =sin A+sin(120° -A), 整理得 sin(A+30° )=1,∴A=60° , C=60° ,∴△ABC 是正三角形.

[探究共研型]

利用正、余弦定理度量平面图形
探究 1 在△ABC 中,若 AD⊥BC,则 ABcos B+ACcos C 的值为多少?
【提示】 如图,易知 ABcos B=BD,ACcos C=CD,又 BD+CD=BC,

故 ABcos B+ACcos C=BC.

探究 2 在△ABC 中,若 AD 是∠BAC 的平分线,则 BD 与 DC 有什么关系? 【提示】 BD∶DC=AB∶AC.
探究 3 在△ABC 中,若 AD 是 BC 边上的中线,则 AD 与 AB,AC,BC 间存 在怎样的等量关系?

【提示】 4AD2=2(AB2+AC2)-BC2.

(2015· 全国卷Ⅱ)△ABC 中, D 是 BC 上的点, AD 平分∠BAC, △ABD 面积是△ADC 面积的 2 倍. sin B (1)求sin C; 2 (2)若 AD=1,DC= 2 ,求 BD 和 AC 的长.
【精彩点拨】 (1)利用正弦定理和三角形的面积公式求解即可.(2)利用余弦 定理和(1)中得到的结论求解.

【自主解答】

1 1 (1)S△ABD=2AB· ADsin∠BAD,S△ADC=2AC· ADsin∠CAD.

因为 S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD,所以 AB=2AC. sin B AC 1 由正弦定理,得sin C=AB=2. (2)因为 S△ABD∶S△ADC=BD∶DC,所以 BD= 2. 在△ABD 和△ADC 中,由余弦定理,知 AB2=AD2+BD2-2AD· BDcos∠ADB, AC2=AD2+DC2-2AD· DCcos∠ADC. 故 AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6. 由(1),知 AB=2AC,所以 AC=1.

1.平面几何中的面积、长度问题常借助正、余弦定理求解,合理转化已知条 件是求解此类问题的关键. 2.求解此类问题要特别注意隐含条件的挖掘,如(1)中隐含角平分线的性质定 理;(2)中隐含着∠ADB+∠ADC=180° .

[再练一题] 3.如图 121,△ABC 中,AB=AC=2,BC=2 3,点 D 在 BC 边上,∠ADC =45° ,求 AD 的长度.

图 121

【解】

在△ABC 中,∵AB=AC=2,BC=2 3,

AC2+BC2-AB2 3 由余弦定理,得 cos C= =2, 2AC· BC 1 ∴sin C=2. 在△ADC 中,由正弦定理得, AD AC sin C=sin∠ADC, 2 1 ∴AD= ×2= 2. 2 2

[构建· 体系]

1.在锐角△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a=4bsin A,则 cos B=________.

1 【解析】 ∵a=4bsin A,由正弦定理知 sin A=4sin Bsin A,∴sin B=4,cos B = 1-sin B=
2

?1? 1-?4?2= ? ?

15 4 .

【答案】

15 4

2.若平行四边形两邻边的长分别是 3和 6,它们的夹角是 45° ,则这个平行 四边形的两条对角线的长分别是________.

【解析】 两条对角线的长分别为 ? 3?2+? 6?2-2× 3× 6×cos 45° = 3和 ? 3?2+? 6?2-2× 3× 6×cos 135° = 15.
【答案】 3 15

3.已知 A,B 两地的距离为 10 km,B,C 两地的距离为 20 km,经测量,∠ ABC=120° ,则 A,C 两地的距离为________ km. 【导学号:91730013】
【解析】 AC2=102+202-2×10×20×cos 120° , ∴AC=10 7.

【答案】 10 7

4.在△ABC 中,B=60° ,b2=ac,则△ABC 的形状为________.

【解析】 ∵b2=a2+c2-2accos 60° =a2+c2-ac, ∴a2+c2-ac=ac, ∴a2-2ac+c2=0,∴a=c. 又∵B=60° ,∴△ABC 为正三角形.
【答案】 正三角形

5.如图 122 所示,在四边形 ABCD 中,BC=20,DC=40, B=105° ,C=60° ,D=150° ,求:

图 122 (1)AB 的长; (2)四边形 ABCD 的面积.

【解】 (1)连结 BD, 因为∠ABC=105° ,C=60° , ∠ADC=150° ,
所以 A=360° -105° -60° -150° =45° . 在△BCD 中,BD2=BC2+CD2-2BC· CDcos C 1 =20 +40 -2×20×40×2=1 200,
2 2

于是 BD=20 3. 因为 BD2+BC2=CD2,所以∠CBD=90° . 所以∠ABD=105° -90° =15° ,∠ADB=180° -45° -15° =120° .

AB BD 在△ABD 中, =sin A, sin∠ADB BDsin∠ADB 20 3sin 120° 所以 AB= = sin 45° =30 2. sin A 6- 2 (2)因为 sin 15° =sin(45° -30° )= 4 , 1 1 所以四边形 ABCD 的面积 S 四边形 ABCD=S△DBC+S△DBA=2×20×20 3+2×20 3 6- 2 ×30 2× 4 =50(9+ 3).

我还有这些不足: (1) (2) ________________________________________________________ ________________________________________________________

我的课下提升方案: (1) (2) ________________________________________________________ ________________________________________________________

学业分层测评(四)

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