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无棣县三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

无棣县三中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1. 定义集合运算:A*B={z|z=xy,x∈A,y∈B}.设 A={1,2},B={0,2},则集合 A*B 的所有元素之和为

()

A.0

B.2

C.3

D.6

2. 已知函数 f(x)的定义域为 R,其导函数 f′(x)的图象如图所示,则对于任意 x1,x2∈R( x1≠x2), 下列结论正确的是( )

①f(x)<0 恒成立;

②(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]<0; ③(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]>0;









A.①③ B.①③④ C.②④ D.②⑤

3. 在如图 5×5 的表格中,如果每格填上一个数后,每一横行成等差数列,每一纵列成等比数列,那么 x+y+z

的值为( )

1

2

0.5

1

x

y

z

A.1 B.2 C.3

D.4

4. 某公园有 P,Q,R 三只小船,P 船最多可乘 3 人,Q 船最多可乘 2 人,R 船只能乘 1 人,现有 3 个大人 和 2 个小孩打算同时分乘若干只小船,规定有小孩的船必须有大人,共有不同的乘船方法为( )

A.36 种

B.18 种

C.27 种

D.24 种

5. 已知△ABC 是锐角三角形,则点 P(cosC﹣sinA,sinA﹣cosB)在(



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A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

6. 过抛物线 y2=4x 焦点的直线交抛物线于 A,B 两点,若|AB|=10,则 AB 的中点到 y 轴的距离等于(



A.1

B.2

C.3

D.4

7. 若函数 f ? x? ?

2

sin

?

2x

?

?

?

? ??

?

?

? 2

? ??

的图象关于直线

x

?? 12

对称,且当

x1

,x2

?

? ??

?

17? 12

,?

2? 3

? ??



x1

?

x2 时,

f

? x1 ? ?

f

? x2 ? ,则

f

? x1

?

x2 ? 等于(



A. 2

B. 2 2

C. 6 2

D. 2 4

8. 在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,a=5,b=4,cosC= ,则△ABC 的面积是( )

A.16 B.6 C.4 D.8

9. 幂函数 y=f(x)的图象经过点(﹣2,﹣ ),则满足 f(x)=27 的 x 的值是( )

A. B.﹣ C.3 D.﹣3

10.已知 x,y 满足

时,z=x﹣y 的最大值为( )

A.4 B.﹣4 C.0 D.2

11.若椭圆

和圆

为椭圆的半焦距),有四个不同的交点,则

椭圆的离心率 e 的取值范围是( )

A.

B.

C.

D.

12.已知 e 是自然对数的底数,函数 f(x)=ex+x﹣2 的零点为 a,函数 g(x)=lnx+x﹣2 的零点为 b,则下列

不等式中成立的是( )

A.a<1<b

B.a<b<1

C.1<a<b

D.b<1<a

二、填空题
13.如图,一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为 2 的正三角形,俯视如图是一个圆,那么该几何体的 体积是


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14.若正数 m、n 满足 mn﹣m﹣n=3,则点(m,0)到直线 x﹣y+n=0 的距离最小值是

15.函数 f ? x? ? xex 在点 ?1, f ?1?? 处的切线的斜率是

.

16.长方体 ABCD﹣A1B1C1D1的棱 AB=AD=4cm,AA1=2cm,则点 A1到平面 AB1D1的距离等于

17.平面向量 , 满足|2 ﹣ |=1,| ﹣2 |=1,则 的取值范围



. cm.

18.已知 tanβ= ,tan(α﹣β)= ,其中 α,β 均为锐角,则 α= .
三、解答题
19.(本小题满分 12 分)△ABC 的三内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,AD 是 BC 边上的中线. (1)求证:AD=12 2b2+2c2-a2; (2)若 A=120°,AD= 219,ssiinn CB=35,求△ABC 的面积.

20.本小题满分 12 分某商店计划每天购进某商品若干件,商店每销售 1 件该商品可获利 50 元.若供大于求,剩 余商品全部退回,但每件商品亏损 10 元;若供不应求,则从外部调剂,此时每件调剂商品可获利 30 元. Ⅰ若商店一天购进该商品 10 件,求当天的利润 y 单位:元关于当天需求量 n 单位:件,n∈N 的函数解析式; Ⅱ商店记录了 50 天该商品的日需求量单位:件,整理得下表:
日需求量 n 8 9 10 11 12
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频数 9 11 15 10 5 ①假设该店在这 50 天内每天购进 10 件该商品,求这 50 天的日利润单位:元的平均数; ②若该店一天购进 10 件该商品,以 50 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,求当天的利润在区间
[400,550] 内的概率.

21.已知全集 U=R,函数 y= + (1)集合 A,B; (2)(? UA)∩B.

的定义域为 A,B={y|y=2x,1≤x≤2},求:

22.在四棱锥 E﹣ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 1 的正方形,AC 与 BD 交于点 O,EC⊥底面 ABCD,F 为
BE 的中点. (Ⅰ)求证:DE∥平面 ACF; (Ⅱ)求证:BD⊥AE.

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23.已知数列{an}满足 a1=3,an+1=an+p?3n(n∈N*,p 为常数),a1,a2+6,a3 成等差数列. (1)求 p 的值及数列{an}的通项公式; (2)设数列{bn}满足 bn= ,证明 bn≤ .
24.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲
选修 4 ?1:几何证明选讲 如图, A, B,C 为 ? 上的三个点, AD 是 ?BAC 的平分线,交 ? 于 点 D ,过 B 作 ? 的切线交 AD 的延长线于点 E . (Ⅰ)证明: BD 平分 ?EBC ;
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(Ⅱ)证明: AE ? DC ? AB? BE .

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无棣县三中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】D 【解析】解:根据题意,设 A={1,2},B={0,2}, 则集合 A*B 中的元素可能为:0、2、0、4, 又有集合元素的互异性,则 A*B={0,2,4}, 其所有元素之和为 6; 故选 D. 【点评】解题时,注意结合集合元素的互异性,对所得集合的元素的分析,对其进行取舍. 2. 【答案】 D 【解析】解:由导函数的图象可知,导函数 f′(x)的图象在 x 轴下方,即 f′(x)<0,故原函数为减函数, 并且是,递减的速度是先快后慢.所以 f(x)的图象如图所示. f(x)<0 恒成立,没有依据,故①不正确; ②表示(x1﹣x2)与[f(x1)﹣f(x2)]异号,即 f(x)为减函数.故②正确; ③表示(x1﹣x2)与[f(x1)﹣f(x2)]同号,即 f(x)为增函数.故③不正确, ④⑤左边边的式子意义为 x1,x2 中点对应的函数值,即图中点 B 的纵坐标值, 右边式子代表的是函数值得平均值,即图中点 A 的纵坐标值,显然有左边小于右边, 故④不正确,⑤正确,综上,正确的结论为②⑤. 故选 D.
3. 【答案】A 【解析】解:因为每一纵列成等比数列,
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所以第一列的第 3,4,5 个数分别是 , , . 第三列的第 3,4,5 个数分别是 , , . 又因为每一横行成等差数列,第四行的第 1、3 个数分别为 , , 所以 y= , 第 5 行的第 1、3 个数分别为 , . 所以 z= . 所以 x+y+z= + + =1. 故选:A. 【点评】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式等基础知识,考查运算求解能力.

4. 【答案】

C

【解析】 排列、组合及简单计数问题. 【专题】计算题;分类讨论. 【分析】根据题意,分 4 种情况讨论,①,P 船乘 1 个大人和 2 个小孩共 3 人,Q 船乘 1 个大人,R 船乘 1 个大 1 人,②,P 船乘 1 个大人和 1 个小孩共 2 人,Q 船乘 1 个大人和 1 个小孩,R 船乘 1 个大 1 人,③,P 船乘 2 个大人和 1 个小孩共 3 人,Q 船乘 1 个大人和 1 个小孩,④,P 船乘 1 个大人和 2 个小孩共 3 人,Q 船乘 2 个大人,分别求出每种情况下的乘船方法,进而由分类计数原理计算可得答案. 【解答】解:分 4 种情况讨论, ①,P 船乘 1 个大人和 2 个小孩共 3 人,Q 船乘 1 个大人,R 船乘 1 个大 1 人,有 A33=6 种情况,
②,P 船乘 1 个大人和 1 个小孩共 2 人,Q 船乘 1 个大人和 1 个小孩,R 船乘 1 个大 1 人,有 A33×A22=12 种 情况, ③,P 船乘 2 个大人和 1 个小孩共 3 人,Q 船乘 1 个大人和 1 个小孩,有 C32×2=6 种情况, ④,P 船乘 1 个大人和 2 个小孩共 3 人,Q 船乘 2 个大人,有 C31=3 种情况, 则共有 6+12+6+3=27 种乘船方法, 故选 C. 【点评】本题考查排列、组合公式与分类计数原理的应用,关键是分析得出全部的可能情况与正确运用排列、 组合公式. 5. 【答案】B

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【解析】解:∵△ABC 是锐角三角形, ∴A+B> ,

∴A>

﹣B,

∴sinA>sin(

﹣B)=cosB,

∴sinA﹣cosB>0, 同理可得 sinA﹣cosC>0, ∴点 P 在第二象限. 故选:B

6. 【答案】D

【解析】解:抛物线 y2=4x 焦点(1,0),准线为 l:x=﹣1, 设 AB 的中点为 E,过 A、E、B 分别作准线的垂线, 垂足分别为 C、G、D,EF 交纵轴于点 H,如图所示: 则由 EG 为直角梯形的中位线知,

EG=

=

= =5,

∴EH=EG﹣1=4, 则 AB 的中点到 y 轴的距离等于 4. 故选 D.

【点评】本题考查抛物线的定义、标准方程,以及简单性质的应用,体现了数形结合的数学思想.

7. 【答案】C









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点:函数的图象与性质.

【方法点晴】本题主要考查函数的图象与性质,涉及数形结合思想、函数与方程思想、转化化归思想,考查逻

辑推理能力、化归能力和计算能力,综合程度高,属于较难题型.首先利用数形结合思想和转化化归思想可得

2? ? ? ? ? ? ? k? ?k ?Z? ,解得? ? ? ,从而 f ? x? ?

12

2

3

2

sin

? ??

2x

?

? 3

? ??

,再次利用数形结合思想和转化化归思想

可得 ? x1

,f

? x1 ??

,? x2

,f

?

x2

?

?

关于直线

x

?

?

11? 12

对称,可得 x1 ? x2

? ?11? 6

,从而

f ? x1 ? x2 ? ?

2

sin

? ??

? 11? 3

?

? 3

? ??

?

6. 2

8. 【答案】D

【解析】解:∵a=5,b=4,cosC= ,可得:sinC=

=,

∴S△ABC= absinC= 故选:D.

=8.

9. 【答案】A

【解析】解:设幂函数为 y=xα,因为图象过点(﹣2,﹣ ),所以有 所以幂函数解析式为 y=x﹣3,由 f(x)=27,得:x﹣3=27,所以 x= . 故选 A.

=(﹣2)α,解得:α=﹣3

10.【答案】A

【解析】解:由约束条件

作出可行域如图,

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联立

,得 A(6,2),

化目标函数 z=x﹣y 为 y=x﹣z, 由图可知,当直线 y=x﹣z 过点 A 时,直线在 y 轴上的截距最小,z 有最大值为 4. 故选:A. 【点评】本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.

11.【答案】 A

【解析】解:∵椭圆 且它们有四个交点,

和圆

为椭圆的半焦距)的中心都在原点,

∴圆的半径





,得 2c>b,再平方,4c2>b2,

在椭圆中,a2=b2+c2<5c2,







,得 b+2c<2a,

再平方,b2+4c2+4bc<4a2, ∴3c2+4bc<3a2, ∴4bc<3b2, ∴4c<3b, ∴16c2<9b2, ∴16c2<9a2﹣9c2, ∴9a2>25c2,

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综上所述,



故选 A.

12.【答案】A

【解析】解:由 f(x)=ex+x﹣2=0 得 ex=2﹣x, 由 g(x)=lnx+x﹣2=0 得 lnx=2﹣x, 作出计算 y=ex,y=lnx,y=2﹣x 的图象如图: ∵函数 f(x)=ex+x﹣2 的零点为 a,函数 g(x)=lnx+x﹣2 的零点为 b, ∴y=ex 与 y=2﹣x 的交点的横坐标为 a,y=lnx 与 y=2﹣x 交点的横坐标为 b, 由图象知 a<1<b, 故选:A.

【点评】本题主要考查函数与方程的应用,利用函数转化为两个图象的交点问题,结合数形结合是解决本题的 关键.
二、填空题
13.【答案】 .
【解析】解:此几何体是一个圆锥,由正视图和侧视图都是边长为 2 的正三角形,其底面半径为 1,且其高为 正三角形的高 由于此三角形的高为 ,故圆锥的高为
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此圆锥的体积为

=

故答案为
【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积,考查对三视图的理解与应用,主要考查三视图与实物图 之间的关系,用三视图中的数据还原出实物图的数据,再根据相关的公式求表面积与体积,本题求的是圆锥的 体积.三视图的投影规则是:“主视、俯视 长对正;主视、左视高平齐,左视、俯视 宽相等”.三视图是新课 标的新增内容,在以后的高考中有加强的可能.

14.【答案】



【解析】解:点(m,0)到直线 x﹣y+n=0 的距离为 d=



∵mn﹣m﹣n=3,

∴(m﹣1)(n﹣1)=4,(m﹣1>0,n﹣1>0),

∴(m﹣1)+(n﹣1)≥2



∴m+n≥6,

则 d=

≥3 .

故答案为: . 【点评】本题考查了的到直线的距离公式,考查了利用基本不等式求最值,是基础题.

15.【答案】 2e
【解析】
试题分析: f ? x? ? xex,? f '? x? ? ex ? xex ,则 f '?1? ? 2e ,故答案为 2e .
考点:利用导数求曲线上某点切线斜率.
16.【答案】

【解析】解:由题意可得三棱锥 B1﹣AA1D1 的体积是

=,

三角形 AB1D1 的面积为 4 ,设点 A1 到平面 AB1D1 的距离等于 h,则



则 h=

故点 A1 到平面 AB1D1 的距离为 .

故答案为: .

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17.【答案】 [ ,1] .

【解析】解:设两个向量的夹角为 θ,

因为|2 ﹣ |=1,| ﹣2 |=1,

所以





所以



=

所以 5

=1,所以

,所以 5a2﹣1∈[

],

[ ,1],

所以



故答案为:[ ,1]. 【点评】本题考查了向量的模的平方与向量的平方相等的运用以及通过向量的数量积定义,求向量数量积的范 围.

18.【答案】



【解析】解:∵tanβ= ,α,β 均为锐角,

∴tan(α﹣β)=

=

= ,解得:tanα=1,

∴α= .
故答案为: . 【点评】本题考查了两角差的正切公式,掌握公式是关键,属于基础题.
三、解答题
19.【答案】 【解析】解:

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(1)证明:∵D 是 BC 的中点,
∴BD=DC=a2. 法一:在△ABD 与△ACD 中分别由余弦定理得 c2=AD2+a42-2AD· a2cos∠ADB,① b2=AD2+a42-2AD·a2·cos∠ADC,② ①+②得 c2+b2=2AD2+a22,
即 4AD2=2b2+2c2-a2,
∴AD=12 2b2+2c2-a2.

法二:在△ABD 中,由余弦定理得 AD2=c2+a42-2c·a2cos B

=c2+a42-ac·a2+2ca2c-b2

2b2+2c2-a2



4



∴AD=12 2b2+2c2-a2.

(2)∵A=120°,AD=12 19,ssiinn CB=35,

由余弦定理和正弦定理与(1)可得

a2=b2+c2+bc,①

2b2+2c2-a2=19,② bc=35,③

联立①②③解得 b=3,c=5,a=7,

∴△ABC

的面积为

S=12bc

sin

A=12×3×5×sin

120°=154

3 .

即△ABC 的面积为145 3.

20.【答案】

【解析】:Ⅰ当日需求量 n ?10 时,利润为 y ? 50?10 ? (n ?10)?30 ? 30n ? 200 ;

当需求量 n ?10时,利润 y ? 50? n ? (10 ? n)?10 ? 60n ?100 .

所以利润

y

与日需求量

n

的函数关系式为:

y

?

?30n ? 200, n ??60n ?100, n

?10, n ?10, n

? ?

N N

Ⅱ50 天内有 9 天获得的利润 380 元,有 11 天获得的利润为 440 元,有 15 天获得利润为 500 元,有 10 天获得

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的利润为 530 元,有 5 天获得的利润为 560 元.

① 3 8 0? 9? 4 ?4 0 ?1 1 ?5 0 ?0 1 5? 5?3 0 ?1 0? 457670. 2 5 50

② 若利润在区间[400,550] 内的概率为 P ? 11?15 ?10 ? 18

50

25

21.【答案】

【解析】解:(1)由

,解得 0≤x≤3

A=[0,3], 由 B={y|y=2x,1≤x≤2}=[2,4], (2))?UA=(﹣∞,0)∪[3,+∞), ∴(?UA)∩B=(3,4]

22.【答案】
【解析】
【分析】(Ⅰ)连接 FO,则 OF 为△BDE 的中位线,从而 DE∥OF,由此能证明 DE∥平面 ACF. (Ⅱ)推导出 BD⊥AC,EC⊥BD,从而 BD⊥平面 ACE,由此能证明 BD⊥AE. 【解答】证明:(Ⅰ)连接 FO,∵底面 ABCD 是正方形,且 O 为对角线 AC 和 BD 交点, ∴O 为 BD 的中点, 又∵F 为 BE 中点, ∴OF 为△BDE 的中位线,即 DE∥OF, 又 OF?平面 ACF,DE?平面 ACF, ∴DE∥平面 ACF. (Ⅱ)∵底面 ABCD 为正方形,∴BD⊥AC, ∵EC⊥平面 ABCD,∴EC⊥BD, ∴BD⊥平面 ACE,∴BD⊥AE.

23.【答案】

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【解析】(1)解:∵数列{an}满足 a1=3,an+1=an+p?3n(n∈N*,p 为常数), ∴a2=3+3p,a3=3+12p, ∵a1,a2+6,a3 成等差数列.∴2a2+12=a1+a3,即 18+6p=6+12p 解得 p=2. ∵an+1=an+p?3n, ∴a2﹣a1=2?3,a3﹣a2=2?32,…,an﹣an﹣1=2?3n﹣1, 将这些式子全加起来 得 an﹣a1=3n﹣3, ∴an=3n.
(2)证明:∵{bn}满足 bn= ,∴bn= .

设 f(x)= ,则 f′(x)=

,x∈N*,

令 f′(x)=0,得 x= ∈(1,2) 当 x∈(0, )时,f′(x)>0;当 x∈( ,+∞)时,f′(x)<0, 且 f(1)= ,f(2)= , ∴f(x)max=f(2)= ,x∈N*. ∴bn≤ . 【点评】本题考查数列的通项公式的求法,考查不等式的证明,解题时要认真审题,注意构造法的合理运用.

24.【答案】
【解析】【解析】(Ⅰ)因为 BE 是⊙ O 的切线,所以 ?EBD ? ?BAD …………2 分 又因为 ?CBD ? ?CAD, ?BAD ? ?CAD ………………4 分 所以 ?EBD ? ?CBD ,即 BD 平分 ?EBC .………………5 分 (Ⅱ)由⑴可知 ?EBD ? ?BAD ,且 ?BED ? ?BED , ?BDE ∽ ?ABE ,所以 BE ? BD ,……………………7 分
AE AB 又因为 ?BCD ? ?BAE ? ?DBE ? ?DBC , 所以 ?BCD ? ?DBC , BD ? CD .……………………8 分 所以 BE ? BD ? CD ,……………………9 分
AE AB AB 所以 AE ? DC ? AB ? BE .……………………10 分

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