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高中数学第四讲数学归纳法证明不等式4.1数学归纳法素材1新人教A版选修4


一 数学归纳法 知识梳理 数学归纳法 (1)先证明当 n 取______时命题成立,然后假设当 n=k(k∈N+,______)时命题成立,证明当 n=______时命题成立,这种证明方法叫做数学归纳法. 2 2 2 (2)1+2 +3 +?+n =______. 知识导学 数学归纳法是证明与正整数 n 相关命题的一种方法. 如果把要证明的命题记作 P(n),那么数学归纳法的证明步骤为: (1)证明当 n 取对命题适用的第一个正整数 n0 时,P(n0)正确. (2)假设 n=k(k∈N+,且 k≥n0)时,命题正确,即 P(k)正确,证明当 n=k+1 时命题成立, 即 P(k+1)正确. (3)根据(1)(2),得当 n≥n0 且 n∈N+时,P(n)正确. 运用数学归纳法证题时,以上三个步骤缺一不可,步骤(1)是奠基,称之为归纳基础;步 骤 (2) 反映了无限递推关系, 即命题的正确性具有传递性.若只有步骤 (1) , 而无步骤 (2) , 只有证明了命题在特殊情况下的正确性是不完全归纳法.若只有步骤 (2) , 而没有步骤 (1) , 那么假设 n=k 成立,即 P(k)成立,就没有根据的,缺少递推的基础,也无法进行递推.有 了步骤(1)和步骤(2)使递推成为可能.步骤(3)是将步骤(1)和步骤(2)结合完成数 学归纳法中递推的全程过程.因此三个步骤缺一不可. 应用数学归纳法要运用“归纳假设”,没有运用“归纳假设”的证明不是数学归纳法. 疑难突破 1.数学归纳法及其证明思路 归纳法是指由一系列有限的特殊事例得出的一般结论的推理方法.它包括不完全归纳法 和完全归纳法. 不完全归纳法是根据事物的部分(而不是全部)特殊事例得出的一般结论的推理方法. 比如在学习数列的知识时, 我们可以通过观察数列的前几项来写数列的通项公式, 这个过程 就是用的不完全归纳法, 我们知道仅根据一系列有限的特殊事例所得出的一般结论有时是不 2 2 正确的.例如,一个数列的通项公式是 an=(n -5n+5) ,容易验证 a1=1,a2=1,a3=1,a4=1.但如果 2 2 由此作出结论——对任何 n∈N+,an=(n -5n+5) =1 都成立, 那就是错误的, 事实上, a5=25≠1. 完全归纳法是根据事物的所有特殊事例得出一般结论的推理方法. 数学归纳法常与不完全归纳法结合起来使用, 用不完全归纳法发现规律, 用数学归纳法 证明结论. 2.运用数学归纳法时,在“假设与递推”的步骤中发现具体问题中的递推关系 数学归纳法一般被使用证明某些涉及正整数 n 的命题,n 可取无限多值,但不能简单地 说所有涉及正整数 n 的命题都可以用数学归纳法证明, 例如用数学归纳法证明 (1+ 1 n ) (n∈N+) n 的单调性就难以实现,一般说来,从 k=n 到 k=n+1 时,如果问题中存在可利用的递推关系, 则数学归纳法有用武之地,否则使用数学归纳法就有困难. 在运用数学归纳法时,要注意起点 n,并非一定取 1,也可能取 0,2 等值,要看清题 目,比如证明凸 n 边形的内角和 f(n)=(n-2)×180°,这里面的 n 应不小于 3,即 n≥3, 第一个值 n0=3. 归纳假设的利用是数学归纳法证明的关键, 这也是能否由“n=k”递推到“n=k+1”的关 键,在证明过程中,需根据命题的变化或者在步骤的变化中,从数学式子的结构特点上,利 1 用拼凑的方法,凑假设,凑结论,从而使“递推关系”得以顺利进行,命题得以证明. 典题精讲 n 【例 1】 用数学归纳法证明

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