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闻喜县一中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

闻喜县一中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 底面为矩形的四棱锥 P?ABCD 的顶点都在球 O 的表面上,且 O 在底面 ABCD 内,PO⊥平面 ABCD,当四 棱锥 P?ABCD 的体积的最大值为 18 时,球 O 的表面积为( A.36π C.60π 2. B.48π D.72π ) )

座号_____

姓名__________

分数__________

下列命题正确的是(

A.很小的实数可以构成集合. B.集合 ? y | y ? x 2 ? 1? 与集合 ?? x, y ? | y ? x 2 ? 1? 是同一个集合. C.自然数集 N 中最小的数是. D.空集是任何集合的子集.
3. 在△ABC 中,a=1,b=4,C=60°,则边长 c=( A.13 B. C. D.21 对称”是“θ=﹣ ”的( ) 4. 若 f(x)=sin(2x+θ),则“f(x)的图象关于 x= A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ) C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 5. 函数 f(x)= ﹣x 的图象关于( )

A.y 轴对称 B.直线 y=﹣x 对称 C.坐标原点对称 D.直线 y=x 对称 6. 若直线 y=kx﹣k 交抛物线 y2=4x 于 A,B 两点,且线段 AB 中点到 y 轴的距离为 3,则|AB|=( A.12 B.10 C.8 D.6 ) D. ?2,5? ) D. x ? y ? 2 ? 0   7. 已知全集 U ? ?1, 2,3, 4,5, 6, 7? , A ? ?2, 4, 6? , B ? ?1,3,5, 7? ,则 A ? (? U B) ? ( A. ?2, 4, 6?
2



B. ?1,3,5?

C. ?2, 4,5?

8. 已知抛物线 C : y ? 8 x 的焦点为 F , P 是抛物线 C 的准线上的一点,且 P 的纵坐标为正数,

??? ? ??? ? Q 是直线 PF 与抛物线 C 的一个交点,若 PQ ? 2 QF ,则直线 PF 的方程为(
B. x ? y ? 2 ? 0 C. x ? y ? 2 ? 0

A. x ? y ? 2 ? 0 9. 已知 P(x,y)为区域 ( )

内的任意一点,当该区域的面积为 4 时,z=2x﹣y 的最大值是

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A.6

B.0

C.2

D.2 )

10.一个几何体的三视图如图所示,如果该几何体的侧面面积为 12π,则该几何体的体积是(

A.4π A.1 B.2

B.12π C.3 D.4

C.16π

D.48π )

11.满足集合 M?{1,2,3,4},且 M∩{1,2,4}={1,4}的集合 M 的个数为(

12.双曲线: A.

的渐近线方程和离心率分别是( B. C.

) D.

二、填空题
13.已知等比数列{an}是递增数列,Sn 是{an}的前 n 项和.若 a1,a3 是方程 x2﹣5x+4=0 的两个根,则 S6=  . 14.向量 =(1,2,﹣2), =(﹣3,x,y),且 ∥ ,则 x﹣y=      . 15.长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的 8 个顶点都在球 O 的表面上,E 为 AB 的中点,CE=3,异面直线 A1C1 与 CE 所成角的余弦值为 ,且四边形 ABB1A1 为正方形,则球 O 的直径为  . =  .

16.i 是虚数单位,化简:

17.当 a>0,a≠1 时,函数 f(x)=loga(x﹣1)+1 的图象恒过定点 A,若点 A 在直线 mx﹣y+n=0 上,则 4m+2n 的最小值是  . 18.递增数列{an}满足 2an=an﹣1+an+1,(n∈N*,n>1),其前 n 项和为 Sn,a2+a8=6,a4a6=8,则 S10=  .

三、解答题
19.(本小题满分 12 分)如图所示,已知 AB ? 平面 ACD , DE ? 平面 ACD , ?ACD 为等边 三角形, AD ? DE ? 2 AB , F 为 CD 的中点. (1)求证: AF // 平面 BCE ; (2)平面 BCE ? 平面 CDE .

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20.(本小题满分 10 分) 已知圆 P 过点 A(1,0) , B ( 4,0) . (1)若圆 P 还过点 C (6,?2) ,求圆 P 的方程; (2)若圆心 P 的纵坐标为,求圆 P 的方程.

21.已知定义域为 R 的函数 (1)求 f(x);

是奇函数.

(2)判断函数 f(x)的单调性(不必证明); (3)解不等式 f(|x|+1)+f(x)<0.

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22.设集合 A={x|0<x﹣m<3},B={x|x≤0 或 x≥3},分别求满足下列条件的实数 m 的取值范围. (1)A∩B=?; (2)A∪B=B.

23.已知命题 p:x2﹣2x+a≥0 在 R 上恒成立,命题 q: 为假,求实数 a 的取值范围.  

若 p 或 q 为真,p 且 q

24.(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,∠A,∠B,∠C 所对的边分别是 a、b、c,不等式 x2cos C+4xsin C+6≥0 对一切实数 x 恒 成立. (1)求 cos C 的取值范围; (2)当∠C 取最大值,且△ABC 的周长为 6 时,求△ABC 面积的最大值,并指出面积取最大值时△ABC 的 形状. 【命题意图】考查三角不等式的求解以及运用基本不等式、余弦定理求三角形面积的最大值等.

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闻喜县一中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】 【解析】选 A.设球 O 的半径为 R,矩形 ABCD 的长,宽分别为 a,b, 则有 a2+b2=4R2≥2ab,∴ab≤2R2, 又 V 四棱锥 P-ABCD=1S 矩形 ABCD·PO 3 2 3 1 = abR≤ R . 3 3 2 3 ∴ R =18,则 R=3, 3 ∴球 O 的表面积为 S=4πR2=36π,选 A. 2. 【答案】D 【解析】 试题分析:根据子集概念可知,空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,所以选项 D 是正确,故 选 D. 考点:集合的概念;子集的概念. 3. 【答案】B 【解析】解:∵a=1,b=4,C=60°, ∴由余弦定理可得:c= 故选:B.   4. 【答案】B 【解析】解:若 f(x)的图象关于 x= 则 2× +θ= +kπ, 不一定成立, 对称, = = .

解得 θ=﹣

+kπ,k∈Z,此时 θ=﹣

反之成立, 即“f(x)的图象关于 x= 故选:B 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,结合三角函数的对称性是解决本题的关键.   5. 【答案】C 对称”是“θ=﹣ ”的必要不充分条件,

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【解析】解:∵f(﹣x)=﹣ +x=﹣f(x) ∴ 是奇函数,所以 f(x)的图象关于原点对称

故选 C.   6. 【答案】C 【解析】解:直线 y=kx﹣k 恒过(1,0),恰好是抛物线 y2=4x 的焦点坐标, 设 A(x1,y1) B(x2,y2) 抛物 y2=4x 的线准线 x=﹣1,线段 AB 中点到 y 轴的距离为 3,x1+x2=6, ∴|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=8, 故选:C. 【点评】本题的考点是函数的最值及其几何意义,主要解决抛物线上的点到焦点的距离问题,利用抛物线的定 义将到焦点的距离转化为到准线的距离.   7. 【答案】A

考点:集合交集,并集和补集. 【易错点晴】集合的三要素是:确定性、互异性和无序性.研究一个集合,我们首先要看清楚它的研究对象, 是实数还是点的坐标还是其它的一些元素,这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式,我们首先用 十字相乘法分解因式,求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中,要注意分母不能为零.元素与集合之间是 属于和不属于的关系,集合与集合间有包含关系. 在求交集时注意区间端点的取舍. 熟练画数轴来解交集、并 集和补集的题目. 8. 【答案】B 【 解 析 】

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考点:抛物线的定义及性质. 【易错点睛】抛物线问题的三个注意事项:(1)求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求 p 的值,但首 先要判断抛物线是否为标准方程,若是标准方程,则要由焦点位置(或开口方向)判断是哪一种标准方 程.(2)注意应用抛物线定义中的距离相等的转化来解决问题.(3)直线与抛物线有一个交点,并不表明直 线与抛物线相切,因为当直线与对称轴平行(或重合)时,直线与抛物线也只有一个交点. 9. 【答案】A 解析:解:由 作出可行域如图,

由图可得 A(a,﹣a),B(a,a), 由 ∴A(2,﹣2), 化目标函数 z=2x﹣y 为 y=2x﹣z, ∴当 y=2x﹣z 过 A 点时,z 最大,等于 2×2﹣(﹣2)=6. 故选:A. 10.【答案】B 【解析】解:由三视图可知几何体是底面半径为 2 的圆柱, ∴几何体的侧面积为 2π×2×h=12π,解得 h=3, ,得 a=2.

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∴几何体的体积 V=π×22×3=12π. 故选 B. 【点评】本题考查了圆柱的三视图,结构特征,体积,表面积计算,属于基础题.   11.【答案】B 【解析】解:∵M∩{1,2,4}={1,4}, ∴1,4 是 M 中的元素,2 不是 M 中的元素. ∵M?{1,2,3,4}, ∴M={1,4}或 M={1,3,4}. 故选:B.   12.【答案】D 【解析】解:双曲线: 的 a=1,b=2,c= =

∴双曲线的渐近线方程为 y=± x=±2x;离心率 e= = 故选 D  

二、填空题
13.【答案】63 【解析】解:解方程 x2﹣5x+4=0,得 x1=1,x2=4. 因为数列{an}是递增数列,且 a1,a3 是方程 x2﹣5x+4=0 的两个根, 所以 a1=1,a3=4. 设等比数列{an}的公比为 q,则 则 故答案为 63. 【点评】本题考查了等比数列的通项公式,考查了等比数列的前 n 项和,是基础的计算题.   14.【答案】 ﹣12 . ,所以 q=2. .

【解析】解:∵向量 =(1,2,﹣2), =(﹣3,x,y),且 ∥ , ∴ = = ,

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解得 x=﹣6,y=6, x﹣y=﹣6﹣6=﹣12. 故答案为:﹣12. 【点评】本题考查了空间向量的坐标表示与共线定理的应用问题,是基础题目.   15.【答案】 4 或  .

【解析】解:设 AB=2x,则 AE=x,BC= ∴AC= , ×



由余弦定理可得 x2=9+3x2+9﹣2×3× ∴x=1 或 或 AB=2 , ,球 O 的直径为 ,球 O 的直径为 .



∴AB=2,BC=2 故答案为:4 或

=4, = .

,BC=

  16.【答案】 ﹣1+2i . 【解析】解: 故答案为:﹣1+2i.   17.【答案】 2  . =

【解析】解:整理函数解析式得 f(x)﹣1=loga(x﹣1),故可知函数 f(x)的图象恒过(2,1)即 A(2,1), 故 2m+n=1. ∴4m+2n≥2 当且仅当 4m=2n =2 ,即 2m=n,
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=2



即 n= ,m= 时取等号. ∴4m+2n 的最小值为 2 故答案为:2   18.【答案】 35 . 【解析】解:∵2an=an﹣1+an+1,(n∈N*,n>1), ∴数列{an}为等差数列, 又 a2+a8=6,∴2a5=6,解得:a5=3, 又 a4a6=(a5﹣d)(a5+d)=9﹣d2=8, ∴d2=1,解得:d=1 或 d=﹣1(舍去) ∴an=a5+(n﹣5)×1=3+(n﹣5)=n﹣2. ∴a1=﹣1, ∴S10=10a1+ 故答案为:35. 【点评】本题考查数列的求和,判断出数列{an}为等差数列,并求得 an=2n﹣1 是关键,考查理解与运算能力, 属于中档题.   =35. .

三、解答题
19.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析. 【解析】 试题分析:(1)推导出 AC ? BC , AC ? CC1 ,从而 AC ? 平面 BCC1 B1 ,连接 CA1 , NA1 ,则 B, A1 , N 三点 共线,推导出 CN ? BA1 , CN ? MN ,由线面垂直的判定定理得 CN ? 平面 BNM ;(2)连接 AC1 交 CA1 于 点 H ,推导出 AH ? BA1 , HQ ? BA1 ,则 ?AQH 是二面角 A ? BA1 ? C 的平面角.由此能求出二面角

C ? BN ? B1 的余弦值.
试题解析:(1)如图,取 CE 的中点 G ,连接 FG, BG . ∵ F 为 CD 的中点,∴ GF // DE 且 GF ? ∵ AB ? 平面 ACD , DE ? 平面 ACD , 又 AB ? ∴ AB // DE , ∴ GF // AB .

1 DE . 2

1 DE ,∴ GF ? AB . ∴四边形 GFAB 为平行四边形,则 AF // BG . (4 分) 2 ∵ AF ? 平面 BCE , BG ? 平面 BCE , ∴ AF // 平面 BCE (6 分)

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考点:直线与平面平行和垂直的判定. 20.【答案】(1) x ? y ? 5 x ? 7 y ? 4 ? 0 ;(2) ( x ? ) ? ( y ? 2) ?
2 2
2 2

5 2

25 . 4
2 2

【解析】 试题分析:(1)当题设给出圆上三点时,求圆的方程,此时设圆的一般方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,将 三点代入,求解圆的方程;(2)AB 的垂直平分线过圆心,所以圆心的横坐标为 段为半径,根据圆心与半径求圆的标准方程. 试题解析:(1)设圆 P 的方程是 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,则由已知得
2 2

5 ,圆心与圆上任一点连线 2

?12 ? 0 2 ? D ? 0 ? F ? 0 ? D ? ?5 ? 2 ? 2 ,解得 ? E ? 7 . ?4 ? 0 ? 4 D ? 0 ? F ? 0 ?6 2 ? (?2) 2 ? 6 D ? 2 E ? F ? 0 ?F ? 4 ? ?
故圆 P 的方程为 x ? y ? 5 x ? 7 y ? 4 ? 0 .
2 2

5 1? 4 5 ? ,故圆心 P( ,2) , 2 2 2 5 2 5 2 故圆 P 的半径 r ?| AP |? (1 ? ) ? (0 ? 2) ? , 2 2 5 2 25 2 故圆 P 的标准方程为 ( x ? ) ? ( y ? 2) ? . 2 4
(2)由圆的对称性可知,圆心 P 的横坐标为 考点:圆的方程 21.【答案】 【解析】解:(1)因为 f(x)是 R 上的奇函数,

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所以 f(0)=0,即 从而有 经检验,符合题意;…

=0,解得 b=1; ;…

(2)由(1)知,f(x)=

=﹣ +



由 y=2x 的单调性可推知 f(x)在 R 上为减函数; … (3)因为 f(x)在 R 上为减函数且是奇函数,从而不等式 f(1+|x|)+f(x)<0 等价于 f(1+|x|)<﹣f(x), 即 f(1+|x|)<f(﹣x); … 又因 f(x)是 R 上的减函数, 由上式推得 1+|x|>﹣x,… 解得 x∈R.…   22.【答案】 【解析】解:∵A={x|0<x﹣m<3},∴A={x|m<x<m+3}, (1)当 A∩B=?时;如图:

则 解得 m=0,



(2)当 A∪B=B 时,则 A?B, 由上图可得,m≥3 或 m+3≤0, 解得 m≥3 或 m≤﹣3.   23.【答案】 【解析】解:若 P 是真命题.则△=4﹣4a≤0∴a≥1; …(3 分) 若 q 为真命题,则方程 x2+2ax+2﹣a=0 有实根, ∴△=4a2﹣4(2﹣a)≥0,即,a≥1 或 a≤﹣2,…(6 分) 依题意得,当 p 真 q 假时,得 a∈?; …(8 分) 当 p 假 q 真时,得 a≤﹣2.…(10 分) 综上所述:a 的取值范围为 a≤﹣2.…(12 分)

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【点评】 本题考查复合函数的真假与构成其简单命题的真假的关系, 解决此类问题应该先求出简单命题为真时 参数的范围,属于基础题.   24.【答案】 【 解 析 】

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