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【拿高分,选好题】高中新课程数学(苏教)二轮复习 专项突破《必考问题1 函数的图象》专题训练


训练 1

函数的图象和性质

(参考时间:80 分钟)
一、填空题 1.设函数 f(x)= 3-2x-x2的定义域为集合 A,则集合 A∩Z 中元素的个数是 ________. 2.(2012· 南京学情调研)已知函数 f(x)是 R 上的奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x , 则 f(-4)的值是________.

?1 ?x>0? 3.(2012· 扬州质检)定义符号函数 sgn x=?0 ?x=0? ?-1 ?x<0?
-1)sgn x 的解集是________.

,则不等式:x+2>(2x

-2x+1 4.(2012· 天一、淮阴、海门中学调研)已知定义域为 R 的函数 f(x)= x+1 是奇 2 +a 函数,则 a=________. 5.(2012· 苏州模拟,5)已知 a=20.5,b=2.10.5,c=log21.5,则 a,b,c 的大小关 系是________.
1-x ?3 ,x≤0 6.(2012· 苏州模拟,6)设函数 f(x)=? ,则 f(f(-1))=________. ?f?x-1?,x>0

7 . 设函 数 y= f(x) 的定 义 域是 R, 对 于给定 的 正数 K , 定义 函数 fK(x) = ?f?x? ?f?x?≤K? ? ,给出函数 f(x)=-x2+2,若对于任意的 x∈(-∞,+∞), ?K ?f?x?>K? 恒有 fK(x)=f(x),则 K 的取值范围是________. 8.二次函数 f(x)满足 f(3+x)=f(3-x),又 f(x)是[0,3]上的增函数,且 f(a)≥f(0), 那么实数 a 的取值范围是________. 9.(2011· 苏北四市调研)已知函数 f(x)=|x+1|+|x+2|+…+|x+2 011|+|x-1|+|x -2|+…+|x-2 011|(x∈R)且 f(a2-3a+2)=f(a-1),则满足条件的所有整数 a 的和是________. 10.(2012· 常州调研,10)对于函数 y=f(x)(x∈R),给出下列命题:

(1)在同一直角坐标系中,函数 y=f(1-x)与 y=f(x-1)的图象关于直线 x=0 对称; (2)若 f(1-x)=f(x-1),则函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称; (3)若 f(1+x)=f(x-1),则函数 y=f(x)是周期函数; (4)若 f(1-x)=-f(x-1),则函数 y=f(x)的图象关于点(0,0)对称. 其中所有正确命题的序号是________. 二、解答题 11.(2012· 苏州模拟)已知函数 f(x)= 于原点对称. (1)写出函数 g(x)的解析式; (2)记 y=g(x)的定义域为 A,不等式 x2-(2a-1)x+a(a-1)≤0 的解集为 B.若 A 是 B 的真子集,求 a 的取值范围. 12.(2011· 苏州模拟)已知函数 f(x)= (1)判断 f(x)的单调性; (2)验证性质 f(-x)=-f(x),当 x∈(-1,1)时,并应用该性质求 f(1-m)+f(1- m2)<0 的实数 m 的范围. 13.(2012· 无锡调研)定义在 R 上的单调函数 y=f(x)满足 f(2)=3,且对任意 x,y ∈R 都有 f(x+y)=f(x)+f(y). (1)试求 f(0)的值并证明函数 y=f(x)为奇函数; (2)若 f(m·x)+f(3x-9x)<3 对任意 x∈R 恒成立,求实数 m 的取值范围. 3 14.(2012· 阜宁调研)已知函数 f(x)=x3-3|x-a|+λ·sin(π·x),其中 α,λ∈R. (1)当 a=0 时,求 f(1)的值并判断函数 f(x)的奇偶性; (2)当 a=0 时,若函数 y=f(x)的图象在 x=1 处的切线经过坐标原点,求 λ 的值; (3)当 λ=0 时,求函数 f(x)在[0,2]上的最小值. 参考答案: 训练 1 函数的图象和性质 1.解析 要使函数 f(x)= 3-2x-x2有意义,则 3-2x-x2≥0,解得-3≤x≤1, 所以集合 A=[-3,1],故 A∩Z={-3,-2,-1,0,1},有 5 个元素. a · x-a-x)(a>0,且 a≠1). (a a -1
2

2x-1 ,若函数 y=g(x)与 y=f(x)的图象关 1-x

答案 2.解析

5 因为函数 f(x)是 R 上的奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x ,所以 f(-4)

=-f(4)=-4 =-2. 答案 -2 3.解析 ?x>0, ?x=0, 由条件可得 x+2>(2x-1)sgn x?? 或? 0 或 ?x+2>2x-1 ?x+2>?2x-1?

?x<0 3+ 33 ? -1 ,解得 0<x<3 或 x=0 或- 4 <x<0,所以原不等 ?x+2>?2x-1? 3+ 33 式的解集为{x|- 4 <x<3}. 3+ 33 答案 {x|- 4 <x<3} -2x+1 4.解析 因为函数 f(x)= x+1 是定义域为 R 的奇函数,所以 f(-1)=-f(1), 2 +a 1 -2+1 -2+1 即 =- ,解得 a=2. 1+a 4+a 答案 2 5.解析 因为 y=x0.5,x∈(0,+∞)是增函数,所以 b=2.10.5>a=20.5>1,又 2 由对数函数性质可知 c=log21.5<log2=1,所以 a,b,c 的大小关系是 b>a >c. 答案 b>a>c 6.解析 由题意可得 f(-1)=32=9,所以 f(f(-1))=f(9)=f(8)=…=f(0)=3. 答案 3 7.解析 ∵fK(x)=f(x)恒成立,∴f(x)≤K 恒成立,∴K≥[f(x)]max,又 f(x)=-x2 +2 的最大值是 2,∴k≥2. 答案 [2,+∞) 8.解析 因为 f(3+x)=f(3-x),所以 y=f(x)关于 x=3 对称,又因为 f(x)是[0,3] 上的增函数.所以 f(x)是[3,6]上的减函数,又因为 f(a)≥f(0),所以 0≤a≤6. 答案 [0,6] 9.解析 原有函数结构直接简化为 f(x)=|x+1|+|x-1|,不改变问题本质,f(x) 为偶函数,且在-1≤x≤1 时,f(x)函数值始终为 2,∴当 f(a2-3a+2)=f(a - 1) 时 , 可 能 情 形 有 : a2 - 3a + 2 = a - 1 或 a2 - 3a + 2 = 1 - a 或 2 ?-1≤a -3a+2≤1, ? 从而整数 a 可有 1,2,3,其和为 6. ?-1≤a-1≤1, 答案 6 10.解析 (1)错,例如 y=x; (2)错,关于直线 x=0 对称; (3)对,令 x+1=t,则 f(t)=f(t-2),∴周期为 2. (4)对,令 1-x=t,则 f(t)=-f(-t),为奇函数. 综上,正确命题为(3)和(4). 答案 (3)(4)

11.解 (1)在函数 y=g(x)的图象上任取一点 P(x,y),则 P 关于原点的对称点 P′(-x,-y)在 y=f(x)的图象上, 2?-x?-1 -2x-1 -2x-1 则-y= = ?g(x)=- 1-?-x? x+1 x+1 2x+1 1? 1 ? (2)由- ≥0?-1<x≤-2,即 A=?-1,-2? ? ? x+1 2 x -(2a-1)x+a(a-1)≤0?a-1≤x≤a,即 B=[a-1,a] ?a-1≤-1 ? 1 因为 A 是 B 的真子集,故? 得-2≤a≤0 1 ?a≥-2 ? 1 所以 a 的取值范围为[-2,0]. 1 12.解 (1)设 x1<x2,x1-x2<0,1+ x x >0. a 1+ 2 1 ? a a ? ? 若 a>1, ax1<ax2, 2 >0, 则 所以 f(x1)-f(x2)= 2 · x1-ax2)·1+ax +x ?<0, (a a -1 a -1 ? 1 2? 即 f(x1)<f(x2),f(x)在(-∞,+∞)上为增函数; a 同理,若 0<a<1,则 ax1>ax2, 2 <0, a -1 1 ? a ? ? f(x1)-f(x2)= 2 (ax1-ax2)·1+ax +x ?<0, a -1 ? 1 2? 即 f(x1)<f(x2),f(x)在(-∞,+∞)上为增函数. 综上,f(x)在 R 上为增函数. a (2)f(x)= 2 (ax-a-x), a -1 a 则 f(-x)= 2 (a-x-ax),显然 f(-x)=-f(x). a -1 f(1-m)+f(1-m2)<0,即 f(1-m)<-f(1-m2)?f(1-m)<f(m2-1),函数为增函 数,且 x∈(-1,1), 故解-1<1-m<m2-1<1,可得 1<m< 2. 所以实数 m 的取值范围是(1, 2). 13.解 (1)∵f(x+y)=f(x)+f(y),① 令 x=y=0,代入①式,得 f(0+0)=f(0)+f(0),即 f(0)=0. 令 y=-x,代入①式,得 f(x-x)=f(x)+f(-x), 又 f(0)=0,则有 0=f(x)+f(-x), 即 f(-x)=-f(x)对任意 x∈R 成立,∴f(x)是奇函数. (2)∵f(2)=3,即 f(2)>f(0),又 f(x)在 R 上是单调函数,∴f(x)在 R 上是增函 数, ∵f(m·x)+f(3x-9x)<3,可化为:f[(m+1)·x-9x]<f(2), 3 3 x x ∴(m+1)3 -9 <2 对任意 x∈R 恒成立. 即 9x-(m+1)3x+2>0 对任意 x∈R 恒成立. 令 t=3x,则 t>0, 问题等价于:t2-(1+m)t+2>0 在(0,+∞)上恒成立,

m+1 令 g(t)=t2-(m+1)t+2,其对称轴方程为 t= 2 , m+1 当 2 <0,即 m<-1 时,g(t)在(0,+∞)上递增且 g(0)=2>0, ∴m<-1 满足题意. m+1 ?m+1? ?>0, 当 2 ≥0 时,即 m≥-1 时 g(t)min=g? ? 2 ? ∴-1≤m<2 2-1. 综上所述,实数 m 的取值范围为 m<2 2-1, 注:本题第(2)小问中,亦可用参变分离法: t2-(1+m)t+2>0 在(0,+∞)上恒成立, 2 可化为:m+1<t+ 在(0,+∞)上恒成立, t 2 2 令 g(t)=t+ t (t>0),则 g(t)≥2 t·=2 2, t ∴m<2 2-1, 综上所述,实数 m 的取值范围为 m<2 2-1. 14.解 (1)a=0 时,f(x)=x3-3|x|+λ·sin(π·x), f(-1)=-4f(1)=-2, ∴f(-1)≠f(1),f(-1)≠-f(1),∴f(x)是非奇非偶函数. (2)x>0 时 f(x)=x3-3x+λsin(πx), ∴f′(x)=3x2-3+λπcos(πx),∴在 x=1 处的切线方程为 y+2=-λπ(x-1), 2 ∵过原点,∴λ=π. (3)①当 a≤0 时,x∈[0,2]时,f(x)=x3-3x+3a, f′(x)=3x2-3, ∴f(x)在[0,1]上递减,在[1,2]上递增,∴ymin=f(1)=3a-2. ②当 a≥2 时,x∈[0,2]时,f(x)=x3+3x-3a,f′(x)=3x2+3>0,∴f(x)单调递 增,ymin=f(0)=-3a. 3 ?x +3x-3a,0≤x<a, ③当 0<a<2 时,f(x)=? 3 ?x -3x+3a,a≤x≤2. 当 0≤x<a 时,f′(x)=3x2+3>0,∴f(x)单调递增,ymin=f(0)=-3a, 当 a≤x≤2 时,f′(x)=3x2-3,∴f(x)在[0,1]上递减,在[1,2]上递增, ∴若 0<a≤1,则 ymin=f(1)=3a-2,当 1<a<2 时 ymin=f(a)=a3, 而 0<a≤1 时,3a-2-(-3a)=6a-2,∴x∈[0,2]时, ?f?0?=-3a,1<a≤1, ? 3 ymin=? 1 ?f?1?=3a-2,0<a≤3, ? 同样 1<a<2 时,∵a3>-3a,∴ymin=f(0)=-3a, 1 1 综上:a≤3时,ymin=f(1)=3a-2;a>3时,ymin=f(0)=-3a.


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