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100测评网2009年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)

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绝密★启用前

试卷类型:B

2009 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 数学(理科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签宇笔将自己的姓名和考生号、试室 号、座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应 位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处” 。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息 点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试卷 上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目 指定区域内相应位置上; 如需改动, 先划掉原来的答案, 然后再写上新的答案; 不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点,再作答。 漏涂、错涂、多涂的,答案无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 参考公式:锥体的体积公式 V ?
1 3 s h ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.巳知全集 U ? R ,集合 M ? { x ? 2 ? x ? 1 ? 2} 和 N ? { x x ? 2 k ? 1, k ? 1, 2, ? } 的关系 的韦恩(Venn)图如图 1 所示,则阴影部分所示的集合的元素共有 A.3个 B.2个 C.1个 D.无穷个 2.设 z 是复数, a ( z ) 表示满足 z ? 1 的最小正整数 n ,则对虚数单
n

位 i , a (i ) ? A.8 B.6
x

C.4

D.2

3.若函数 y ? f ( x ) 是函数 y ? a ( a ? 0 , 且 a ? 1) 的反函数,其图像经过点 ( a , a ) ,则
f (x) ?

A. lo g 2 x

B. lo g 1 x
2

C.

1 2
x

D. x

2

4.巳知等比数列 { a n } 满足 a n ? 0 , n ? 1, 2 ,? ,且 a 5 ? a 2 n ? 5 ? 2 ( n ? 3 ) ,则当 n ? 1 时,
2n

lo g 2 a 1 ? lo g 2 a 3 ? ? ? lo g 2 a 2n ? 1 ?

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A. n ( 2 n ? 1)

B. ( n ? 1)

2

C. n

2

D. ( n ? 1)

2

数学(理科)试题 8 第 1 页(共 4 页) 5.给定下列四个命题: ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; ②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③垂直于同一直线的两条直线相互平行; ④若两个平面垂直, 那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其 中,为真命题的是 A.①和② B.②和③ C..③和④ D.②和④ 6.一质点受到平面上的三个力 F1 , F 2 , F3 (单位:牛顿)的作用而处于平衡状态.已知 F1 , F 2 成 6 0 角,且 F1 , F 2 的大小分别为2和4,则 F 3 的大小为 A.6 B.2 C. 2 5 D. 2 7
0

7.2010 年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分 别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作,若其中小张和小赵只能从事前两项工作,其 余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有 A.36 种 B.12 种 C.18 种 D.48 种 8.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线〈假定为直线)行驶.甲车、乙车的 速度曲线分别为 v甲 和 v乙 (如图 2 所示) .那么对于图中给定的 t 0 和 t1 ,下列判断中一定正确 的是 A.在 t1 时刻,甲车在乙车前面 B. t1 时刻后,甲车在乙车后面 C.在 t 0 时刻,两车的位置相同 D. t 0 时刻后,乙车在甲车前面 二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分, 满分 30 分. (一)必做题(9~12题) 9.随机抽取某产品 n 件,测得其长度分别为 a 1 , a 2 , ? , a n ,则图 3 所示的程序框图输出的 s ? ,表示的样本的数字特征 是 . (注:框图中的赋值符号“=” 也可以写成 “←” “:=” ) 10.若平面向量 a, b 满足 a ? b ? 1 , a ? b 平行于 x 轴,
b ? ( 2 ,? 1 ) ,则 a ?



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11.巳知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为

3 2

,且 G 上一点到 G 的两

个焦点的距离之和为 12,则椭圆 G 的方程为 . 数学(理科)试题 B 第 2 页(共 4 页) 12.已知离散型随机变量 X 的分布列如右表.若 E X ? 0 , ,b ? . D X ? 1 ,则 a ? (二)选做题(13 ~ 15 题,考生只能从中选做两题) 13 .( 坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 ) 若 直 线
? x ? 1 ? 2t, l1 : ? ( t 为 参 数 ) 与直线 l 2 ? y ? 2 ? kt. ? x ? s, :? ( s 为参数) ? y ? 1 ? 2s .

垂直,则 k ?


x ?1 x?2 ? 1 的实数解为

14. (不等式选讲选做题)不等式



15.(几何证明选讲选做题)如图 4,点 A , B , C 是圆 O 上的点, 且
A B ? 4, ? A C B ? 4 5 ,则圆 O 的面积等于
0



三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证 明过程和演算步骤, 16.(本小题满分12分) 已知向量 a ? (sin ? , ? 2 ) 与 b ? (1, co s ? ) 互相垂直,其中 ? ? ( 0 , (1)求 sin ? 和 co s ? 的值; (2)若 s in (? ? ? ) ?
10 10 ,0 ? ? ?

?
2

).

?
2

,求 c o s ? 的值.

17. (本小题满分12分) 根据空气质量指数 API(为整数)的不同,可将空气质量分级如下表: 对 某 城 市 一 年 ( 365 天 ) 的 空 气 质 量 进 行 监 测 , 获 得 API 数 据 按 照 区 间
[0, 5 0 ], (5 0,1 0 0 ], (1 0 0,1 5 0 ], (1 5 0, 2 0 0 ], ( 2 0 0 , 2 5 0 ], ( 2 5 0, 3 0 0 ] 进行分组,得到频率分布直

方图如图5

(1)求直方图中 x 的值; (2)计算一年屮空气质量分别为良和轻微污染的天数;

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(3)求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率. (结果用分数表示.已知
5 ? 7 8 1 2 5, 2 ? 1 2 8,
7 7

3 1825

?

2 365

?

7 1825

?

3 1825

?

8 9125

?

123 9125

, 365 ? 73 ? 5 )

数学〈理科)试题 B 第 3 页(共 4 页) 18. (本小题满分14分) 如图6,已知正方体 A B C D ? A1 B1 C 1 D 1 的棱长为2,点E是正方形 B C C 1 B1 的中心,点F、 G分别是棱 C 1 D 1 , A A1 的中点.设点 E 1 , G 1 分别是点E、G在平面 D C C 1 D 1 内的正投影. (1)求以E为顶点,以四边形 F G A E 在平面 D C C 1 D 1 内的 正投影为底面边界的棱锥的体积; (2)证明:直线 F G 1 ? 平 面 F E E 1 ; (3)求异面直线 E 1 G 1与 E A 所成角的正统值

19. (本小题满分14分) 已知曲线 C : y ? x 与直线 l : x ? y ? 2 ? 0 交于两点 A ( x A , y A ) 和 B ( x B , y B ) , x A ? x B . 且 记
2

曲线 C 在点 A 和点 B 之间那一段 L 与线段 A B 所围成的平面区域(含边界)为 D .设点
P ( s , t ) 是 L 上的任一点,且点 P 与点 A 和点 B 均不重合.

(1)若点 Q 是线段 A B 的中点,试求线段 P Q 的中点 M 的轨迹方程; (2)若曲线 G : x ? 2 a x ? y ? 4 y ? a ?
2 2 2

51 25

? 0 与点 D 有公共点,试求 a 的最小值.

20. (本小题满分14分) 已知二次函数 y ? g ( x ) 的导函数的图像与直线 y ? 2 x 平行,且 y ? g ( x ) 在 x ? ? 1 处取得 极小值 m ? 1( m ? 0 ) .设 f ( x ) ?
g (x) x



(1)若曲线 y ? f ( x ) 上的点 P 到点 Q (0, 2 ) 的距离的最小值为 2 ,求 m 的值; (2) k ( k ? R ) 如何取值时,函数 y ? f ( x ) ? kx 存在零点,并求出零点. 21. (本小题满分14分) 已知曲线 C n : x ? 2 n x ? y ? 0 ( n ? 1, 2, ? ) .从点 P ( ? 1, 0 ) 向曲线 C n 引斜率为 k n ( k n ? 0 )
2 2

的切线 l n ,切点为 Pn ( x n , y n ) .

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(1)求数列 { x n }与 { y n } 的通项公式; (2)证明: x1 ? x 3 ? x 5 ? ? ? x 2 n ? 1 ?
1 ? xn 1 ? xn ? xn yn

2 s in

数学(理科)试题B 第4页(共4页)


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