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培奥艺术生文化课辅导高考复读班2014年1月上学期期末考试数学(文科)试卷


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培英育才、奥博强能

第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.
1.已知复数 z ? A.l

1 ? 3i ,则 z 的实部为 1? i
B.2 C. -2 D. -1

2.设全集 U ? R ,集合 M ? {x | ?2 ? x ? 1} , N ? {x | 0 ? x ? 3} ,则 N ? (CU M ) 等于 A. {x | 0 ? x ? 1} B. {x | 1 ? x ? 3} C. {x | ?2 ? x ? 0} D. {x | x ? ?2或x ? 3}

3.为了调查城市 PM2.5 的情况,按地域把 48 个城市分成大型、 中型、 小型三组,对应的城市数分别为 8,16,24. 若用分层抽样的方法抽取 12 个城市,则中型组中应抽取的城市数为 A.3 B.4 C.5 D.6

4.执行右面的程序框图.若输入 n=7,则输出的值为

A.2

B.3

C.4

D.5

1

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5.已知 {an } 为等差数列,且 a2 ? a8 ? 8 , a6 ? 5 , 则 Sl0 的值为 A.50 B.45 C.55 D.40

6.函数 y ? (e x ? e? x ) ? sin x 的图象大致是

7.把函数 y ? sin( 2 x ?

? ? ) 的图象向右平移 个单位,再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,则所 6 3
B. y ? sin 4 x

得图象对应的函数解析式是 A. y ? sin x C. y ? sin( 4 x ?

? ) 3

D. y ? sin( x ?

? ) 6

8.已知命题 p: ?a ? R ,且 a>0,有 a ? A.p 是假命题 C. p ∧(?q) 是真命题

1 ? 2 ,命题 q: ?x ? R , sin x ? cos x ? 3 ,则下列判断正确的是 a
B.q 是真命题 D. (?p) ∧q 是真命题

9.已知直线 l1: (1 ? a) x ? ay ? 2 ? 0 ,l2: ax ? (2a ? 1) y ? 3 ? 0 ,若 l1 ? l2 ,则 a 的值为 A.0 或 2 B.0 或一 2 C.2 D.-2

? y ? 1, ? 10.若变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 0, 则 z ? x ? 3 y 的最大值为 ? x ? y ? 2 ? 0, ?
A.4 11.已知双曲线 离心率等于 B.3 C.2 D.1

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两条渐近线均与圆 C:x 2 ? y 2 ? 6 x ? 5 ? 0 相切,则该双曲线 a 2 b2

A.

3 2

B.

6 2

C.

3 5 5

D.

5 5

?x 12.设函数 y ? f ( x) 对任意的 x ? R 满足 f (4 ? x) ? f (? x) ,当 x ? (??,2] 时,有 f ( x) ? 2 ? 5 .若函数

f ( x) 在区间 (k , k ? 1)(k ? Z) 上有零点,则 k 的值为
A.-3 或 7 B.-4 或 7 C. -4 或 6 D.-3 或 6

2

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第Ⅱ卷(共 90 分)

二、填空题(每题 4 分,满分 16 分,将答案填在答题纸上)
13.已知两点 A(?1,0) , B(1,3) ,向量 a ? (2k ? 1,2) ,若 AB // a ,则实数 k 的值为 .

14.若 a1 , a2 ,?a10 这 10 个数据的样本平均数为 x ,方差为 0.33,则 a1 , a2 ,?a10 , x 这 11 个数据的方差为 ________..

15.一个正三棱柱的三视图如图所示,如果左视图的面积为 6 3 ,则这个三棱柱的体积为________.

16.给出下列命题 ①在△ABC 中,A>B 是 sinA>sinB 的充要条件; ②设 m,n 是两条直线,α ,β 是空间中两个平面.若 m ? ? , n ? ? , m ? n则? ? ? ; ③函数 f(x)= cos x 是周期为 2 ? 的偶函数; ④已知定点 A(1,1),抛物线 y
2

? 4 x 的焦点为 F,点 P 为抛物线上任意一点,则 | PA | ? | PF | 的最小值为 2;

以上命题正确的是________(请把正确命题的序号都写上)

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(本小题满分 12 分)已知△ABC 的三内角 A,B,C 所对三边分别为 a,b,c,且 cos( ? A) ?

? 4

2 . 10

3

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(Ⅰ)求 sinA 的值; (Ⅱ)若△ABC 的面积 S=12,b=6,求 a 的值. 18.(本小题满分 12 分)一个盒子中装有形状大小相同的 5 张卡片,上面分别标有数字 1,2,3,4,5,甲乙两人 分别从盒子中随机不放回的各抽取一张. (Ⅰ)写出所有可能的结果,并求出甲乙所抽卡片上的数字之和为偶数的概率; (Ⅱ)以盒子中剩下的三张卡片上的数字作为边长来构造三角形,求出能构成三角形的概率. 19.(本小题满分 12 分)在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,AD⊥AB,△ABC 是正三角形,AC 与 BD 的交点 M 恰好是 AC 中点,N 为线段 PB 的中点,G 在线段 BM 上,且 (Ⅰ)求证: AB⊥PD; (Ⅱ)求证:GN//平面 PCD.

BG ? 2. GM

20.设正项数列 { an } 为等比数列,它的前 n 项和为 Sn,a1=1,且 a1 ? S2 ? a3 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)已知 { an } 是首项为 1,公差为 2 的等差数列,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn.
n

b

21.(本小题满分 12 分)

x2 y2 6 已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 的离心率为 ,长轴长为 2 3 . a b 3
(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)若直线 y ? kx ?

1 交椭圆 C 于 A、 B 两点,试问: 在 y 轴正半轴上是否存在一个定点 M 满足 MA ? MB , 2

若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由. 22.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ?

1 3 1 2 x ? ax ? 3 x , g ( x) ? x ln x 3 2

4

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(Ⅰ)当 a=4 时,求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)求函数 g(x)在区间 [t , t ? 1](t ? 0) 上的最小值;
' (Ⅲ)若存在 x1 , x 2 ? [ , e]( x1 ? (其 ? x 2 ) ,使方程 f ? ? x ? ? 2g ? x ? f ( x) ? 2 g ( x) 成立,求实数 a 的取值范围

1 e

中 e=2.71828…是自然对数的底数)

5


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